-L'exploitation de \og systèmes chaotiques\fg{} pour générer des séquences
-pseudo-aléatoires est un sujet actif de recherche~\cite{915396,915385,5376454}.
-Ces systèmes sont choisis principalement
-en raison de leur imprévisibilité et de leur sensibilité aux conditions initiales.
-
-Souvent les travaux se limitent à itérer une fonction paramétrée
-\emph{chaotique} comme la fonction logistique~\cite{915396,915385}, ou encore
-celle du chat d'Arnold~\cite{5376454}\ldots Il reste à trouver les paramètres
-optimaux permettant d'éviter les attracteurs de telles fonctions et garantissant
-que les séquences de nombres produits suivent une loi de distribution uniforme.
-Pour vérifier la qualité des sorties produites il est usuel de soumettre les
-PRNG (Pseudo-Random Number Generator) à des tests statistiques tels
-DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10} et TestU01~\cite{LEcuyerS07}.
-
-Dans son acception vulgarisée,
-la notion de chaos est souvent réduite à celle de forte sensibilité
-aux conditions initiales (le fameux \og \emph{effet papillon}\fg{}):
-une fonction continue $k$ définie sur un espace métrique
-est dite \emph{fortement sensible aux conditions initiales} si pour tout
-point $x$ et pour toute valeur positive $\epsilon$
-il est possible de trouver un point $y$, arbitrairement proche
-de $x$, et un entier $t$ tels que la distance entre les
-$t^{\textrm{ièmes}}$ itérés de $x$ et de $y$
--- notés $k^t(x)$ et $k^t(y)$
--- est supérieure à $\epsilon$.
-Cependant, dans sa définition du chaos,
-Devaney~\cite{Devaney} impose à la fonction chaotique deux autres propriétés
-appelées \emph{transitivité} et \emph{régularité},
-Les fonctions citées plus haut ont été étudiées
-au regard de ces propriétés et ont été prouvées comme chaotiques sur $\R$.
-Cependant, rien ne garantit que ces propriétés sont préservées sur les nombres
-flottants qui est le domaine d'interprétation des nombres réels de $\R$.
-
-Pour éviter cette perte de chaos, nous avons présenté des PRNGs qui itèrent des
-fonctions continues $G_f$ sur un domaine discret $\{ 1, \ldots, n \}^{\Nats}
-\times \{0,1\}^n$ où $f$ est une fonction booléenne (\textit{i.e.}, $f :
-\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$). Ces générateurs sont
-$\textit{CIPRNG}_f^1(u)$ \cite{guyeuxTaiwan10,bcgr11:ip},
-$\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip} et
-$\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip} où \textit{CI} signifie
-\emph{Chaotic Iterations}.
-
-Dans~\cite{bcgr11:ip} nous avons tout d'abord prouvé que pour établir la nature
-chaotique de l'algorithme $\textit{CIPRNG}_f^1$, il est nécessaire et suffisant
-que le graphe des itérations asynchrones soit fortement connexe. Nous avons
-ensuite prouvé que pour que la sortie de cet algorithme suive une loi de
-distribution uniforme, il est nécessaire et suffisant que la matrice de Markov
-associée à ce graphe soit doublement stochastique. Nous avons enfin établi des
-conditions suffisantes pour garantir la première propriété de connexité. Parmi
-les fonctions générées, on ne retenait ensuite que celles qui vérifiait la
-seconde propriété. Dans~\cite{chgw14oip}, nous avons proposé une démarche
-algorithmique permettant d'obtenir directement un graphe d'itérations fortement
-connexe et dont la matrice de Markov est doublement stochastique. Le travail
-présenté ici généralise ce dernier article en changeant le domaine d'itération,
-et donc de métrique. L'algorithme obtenu possède les même propriétés théoriques
-mais un temps de mélange plus réduit.
-
+The exploitation of chaotic systems to generate pseudorandom sequences is
+an hot topic~\cite{915396,915385,5376454}. Such systems are fundamentally
+chosen due to their unpredictable character and their sensibility to initial conditions.
+In most cases, these generators simply consist in iterating a chaotic function like
+the logistic map~\cite{915396,915385} or the Arnold's one~\cite{5376454}\ldots
+It thus remains to find optimal parameters in such functions so that attractors are
+avoided, guaranteeing by doing so that generated numbers follow a uniform distribution.
+In order to check the quality of the produced outputs, it is usual to test the
+PRNGs (Pseudo-Random Number Generators) with statistical batteries like
+the so-called DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10}, or TestU01~\cite{LEcuyerS07}.
+
+%
+% Dans son acception vulgarisée,
+% la notion de chaos est souvent réduite à celle de forte sensibilité
+% aux conditions initiales (le fameux \og \emph{effet papillon}\fg{}):
+% une fonction continue $k$ définie sur un espace métrique
+% est dite \emph{fortement sensible aux conditions initiales} si pour tout
+% point $x$ et pour toute valeur positive $\epsilon$
+% il est possible de trouver un point $y$, arbitrairement proche
+% de $x$, et un entier $t$ tels que la distance entre les
+% $t^{\textrm{ièmes}}$ itérés de $x$ et de $y$
+% -- notés $k^t(x)$ et $k^t(y)$
+% -- est supérieure à $\epsilon$.
+% Cependant, dans sa définition du chaos,
+% Devaney~\cite{Devaney} impose à la fonction chaotique deux autres propriétés
+% appelées \emph{transitivité} et \emph{régularité},
+% Les fonctions citées plus haut ont été étudiées
+% au regard de ces propriétés et ont été prouvées comme chaotiques sur $\R$.
+% Cependant, rien ne garantit que ces propriétés sont préservées sur les nombres
+% flottants qui est le domaine d'interprétation des nombres réels de $\R$.
+%
+% Pour éviter cette perte de chaos, nous avons présenté des PRNGs qui itèrent des
+% fonctions continues $G_f$ sur un domaine discret $\{ 1, \ldots, n \}^{\Nats}
+% \times \{0,1\}^n$ où $f$ est une fonction booléenne (\textit{i.e.}, $f :
+% \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$). Ces générateurs sont
+% $\textit{CIPRNG}_f^1(u)$ \cite{guyeuxTaiwan10,bcgr11:ip},
+% $\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip} et
+% $\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip} où \textit{CI} signifie
+% \emph{Chaotic Iterations}.
+%
+% Dans~\cite{bcgr11:ip} nous avons tout d'abord prouvé que pour établir la nature
+% chaotique de l'algorithme $\textit{CIPRNG}_f^1$, il est nécessaire et suffisant
+% que le graphe des itérations asynchrones soit fortement connexe. Nous avons
+% ensuite prouvé que pour que la sortie de cet algorithme suive une loi de
+% distribution uniforme, il est nécessaire et suffisant que la matrice de Markov
+% associée à ce graphe soit doublement stochastique. Nous avons enfin établi des
+% conditions suffisantes pour garantir la première propriété de connexité. Parmi
+% les fonctions générées, on ne retenait ensuite que celles qui vérifiait la
+% seconde propriété. Dans~\cite{chgw14oip}, nous avons proposé une démarche
+% algorithmique permettant d'obtenir directement un graphe d'itérations fortement
+% connexe et dont la matrice de Markov est doublement stochastique. Le travail
+% présenté ici généralise ce dernier article en changeant le domaine d'itération,
+% et donc de métrique. L'algorithme obtenu possède les même propriétés théoriques
+% mais un temps de mélange plus réduit.
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