-Dans cet article, nous avons montré qu'une fonction $G_f$ est chaotique si et
-seulement la fonction booléenne $f$ a un graphe d'itérations chaotiques
-fortement connexe. L'originalité majeure repose sur le type d'itérations
-considéré, qui n'est pas limité à la mise à jour d'un seul élément par
-itération, mais qui est étendu à la mise à jour simultanée de plusieurs éléments
-du système à chaque itération. De plus, il a été prouvé que la sortie d'une
-telle fonction suit une loi de distribution uniforme si et seulement si la
-chaîne de Markov induite peut se représenter à l'aide d'une matrice doublement
-stochastique. Enfin, un algorithme permettant d'engendrer des fonctions qui
-vérifient ces deux contraintes a été présenté et évalué. Ces fonctions ont été
-ensuite appliquées avec succès à la génération de nombres pseudo-aléatoires.
-Les expériences sur une batterie de tests éprouvée ont pu confirmer la
-pertinence de l'approche théorique.
+% Dans cet article, nous avons montré qu'une fonction $G_f$ est chaotique si et
+% seulement la fonction booléenne $f$ a un graphe d'itérations chaotiques
+% fortement connexe. L'originalité majeure repose sur le type d'itérations
+% considéré, qui n'est pas limité à la mise à jour d'un seul élément par
+% itération, mais qui est étendu à la mise à jour simultanée de plusieurs éléments
+% du système à chaque itération. De plus, il a été prouvé que la sortie d'une
+% telle fonction suit une loi de distribution uniforme si et seulement si la
+% chaîne de Markov induite peut se représenter à l'aide d'une matrice doublement
+% stochastique. Enfin, un algorithme permettant d'engendrer des fonctions qui
+% vérifient ces deux contraintes a été présenté et évalué. Ces fonctions ont été
+% ensuite appliquées avec succès à la génération de nombres pseudo-aléatoires.
+% Les expériences sur une batterie de tests éprouvée ont pu confirmer la
+% pertinence de l'approche théorique.
+%
+In this article, we have proven that the most general chaotic iterations based PRNG
+satisfy the property of chaos as defined by Devaney. We then have shown how to generate
+such functions together with the number of iterations, leading to strongly connected
+iteration graphs and thus to chaos for the associated pseudorandom number generators.
+
+% The next section focus on examples of such graphs obtained by modifying the
+% hypercube, while Section~\ref{sec:prng} establishes the link between the theoretical study and
+% pseudorandom number generation.
+% This research work ends by a conclusion section, where the contribution is summarized and
+% intended future work is outlined.
+%
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
