-L'exploitation de \og systèmes chaotiques\fg{} pour générer des séquences
-pseudo-aléatoires est un sujet actif de recherche~\cite{915396,915385,5376454}.
-Ces systèmes sont choisis principalement
-en raison de leur imprévisibilité et de leur sensibilité aux conditions initiales.
-
-Souvent les travaux se limitent à itérer une fonction paramétrée
-\emph{chaotique} comme la fonction logistique~\cite{915396,915385}, ou encore
-celle du chat d'Arnold~\cite{5376454}\ldots Il reste à trouver les paramètres
-optimaux permettant d'éviter les attracteurs de telles fonctions et garantissant
-que les séquences de nombres produits suivent une loi de distribution uniforme.
-Pour vérifier la qualité des sorties produites il est usuel de soumettre les
-PRNG (Pseudo-Random Number Generator) à des tests statistiques tels
-DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10} et TestU01~\cite{LEcuyerS07}.
-
-Dans son acception vulgarisée,
-la notion de chaos est souvent réduite à celle de forte sensibilité
-aux conditions initiales (le fameux \og \emph{effet papillon}\fg{}):
-une fonction continue $k$ définie sur un espace métrique
-est dite \emph{fortement sensible aux conditions initiales} si pour tout
-point $x$ et pour toute valeur positive $\epsilon$
-il est possible de trouver un point $y$, arbitrairement proche
-de $x$, et un entier $t$ tels que la distance entre les
-$t^{\textrm{ièmes}}$ itérés de $x$ et de $y$
--- notés $k^t(x)$ et $k^t(y)$
--- est supérieure à $\epsilon$.
-Cependant, dans sa définition du chaos,
-Devaney~\cite{Devaney} impose à la fonction chaotique deux autres propriétés
-appelées \emph{transitivité} et \emph{régularité},
-Les fonctions citées plus haut ont été étudiées
-au regard de ces propriétés et ont été prouvées comme chaotiques sur $\R$.
-Cependant, rien ne garantit que ces propriétés sont préservées sur les nombres
-flottants qui est le domaine d'interprétation des nombres réels de $\R$.
-
-Pour éviter cette perte de chaos, nous avons présenté des PRNGs qui itèrent des
-fonctions continues $G_f$ sur un domaine discret $\{ 1, \ldots, n \}^{\Nats}
-\times \{0,1\}^n$ où $f$ est une fonction booléenne (\textit{i.e.}, $f :
-\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$). Ces générateurs sont
-$\textit{CIPRNG}_f^1(u)$ \cite{guyeuxTaiwan10,bcgr11ip},
-$\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip} et
-$\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip} où \textit{CI} signifie
+The exploitation of chaotic systems to generate pseudorandom sequences is
+an hot topic~\cite{915396,915385,5376454}. Such systems are fundamentally
+chosen due to their unpredictable character and their sensitiveness to initial conditions.
+In most cases, these generators simply consist in iterating a chaotic function like
+the logistic map~\cite{915396,915385} or the Arnold's one~\cite{5376454}\ldots
+It thus remains to find optimal parameters in such functions so that attractors are
+avoided, hoping by doing so that the generated numbers follow a uniform distribution.
+In order to check the quality of the produced outputs, it is usual to test the
+PRNGs (Pseudo-Random Number Generators) with statistical batteries like
+the so-called DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10}, or TestU01~\cite{LEcuyerS07} ones.
+
+In its general understanding, chaos notion is often reduced to the strong
+sensitiveness to the initial conditions (the well known ``butterfly effect''):
+a continuous function $k$ defined on a metrical space is said
+\emph{strongly sensitive to the initial conditions} if for each point
+$x$ and each positive value $\epsilon$, it is possible to find another
+point $y$ as close as possible to $x$, and an integer $t$ such that the distance
+between the $t$-th iterates of $x$ and $y$, denoted by $k^t(x)$ and $k^t(y)$,
+are larger than $\epsilon$. However, in his definition of chaos, Devaney~\cite{Devaney}
+imposes to the chaotic function two other properties called
+\emph{transitivity} and \emph{regularity}. Functions evoked above have
+been studied according to these properties, and they have been proven as chaotic on $\R$.
+But nothing guarantees that such properties are preserved when iterating the functions
+on floating point numbers, which is the domain of interpretation of real numbers $\R$ on
+machines.
+
+To avoid this lack of chaos, we have previously presented some PRNGs that iterate
+continuous functions $G_f$ on a discrete domain $\{ 1, \ldots, n \}^{\Nats}
+ \times \{0,1\}^n$, where $f$ is a Boolean function (\textit{i.e.}, $f :
+ \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$). These generators are
+$\textit{CIPRNG}_f^1(u)$ \cite{guyeuxTaiwan10,bcgr11:ip},
+$\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip} and
+$\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip} where \textit{CI} means
\emph{Chaotic Iterations}.
-
-Dans~\cite{bcgr11ip} nous avons tout d'abord prouvé que pour établir la nature
-chaotique de l'algorithme $\textit{CIPRNG}_f^1$, il est nécessaire et suffisant
-que le graphe des itérations asynchrones soit fortement connexe. Nous avons
-ensuite prouvé que pour que la sortie de cet algorithme suive une loi de
-distribution uniforme, il est nécessaire et suffisant que la matrice de Markov
-associée à ce graphe soit doublement stochastique. Nous avons enfin établi des
-conditions suffisantes pour garantir la première propriété de connexité. Parmi
-les fonctions générées, on ne retenait ensuite que celles qui vérifiait la
-seconde propriété. Dans~\cite{chgw14oip}, nous avons proposé une démarche
-algorithmique permettant d'obtenir directement un graphe d'itérations fortement
-connexe et dont la matrice de Markov est doublement stochastique. Le travail
-présenté ici généralise ce dernier article en changeant le domaine d'itération,
-et donc de métrique. L'algorithme obtenu possède les même propriétés théoriques
-mais un temps de mélange plus réduit.
-
-% Pour décrire un peu plus précisément le principe de
-% la génération pseudo-aléatoire, considérons l'espace booléen
+We have firstly proven in~\cite{bcgr11:ip} that, to establish the chaotic nature
+of algorithm $\textit{CIPRNG}_f^1$, it is necessary and sufficient that the
+asynchronous iterations are strongly connected. We then have proven that it is necessary
+and sufficient that the Markov matrix associated to this graph is doubly stochastic,
+in order to have a uniform distribution of the outputs. We have finally established
+sufficient conditions to guarantee the first property of connectivity. Among the
+generated functions, we thus have considered for further investigations only the one that
+satisfy the second property too. In~\cite{chgw14oip}, we have proposed an algorithmic
+method allowing to directly obtain a strongly connected iteration graph having a doubly
+stochastic Markov matrix. The research work presented here generalizes this latter article
+by updating the iteration domain and the metric. The obtained algorithm owns the same
+theoretical properties but with a reduced mixing time.
+
+%
+% Pour décrire un peu plus précisément le principe de
+% la génération pseudo-aléatoire, considérons l'espace booléen
% $\Bool=\{0,1\}$
% muni des lois \og +\fg{}, \og . \fg{} et \og $\overline{\bullet}$ \fg{}
-% définies par les tableaux ci-dessous:
+% définies par les tableaux ci-dessous:
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|c|c|c|}
% \end{center}
-% La fonction itérée est
-% une fonction $f$ de $\Bool^n$ dans lui-même qui à
+% La fonction itérée est
+% une fonction $f$ de $\Bool^n$ dans lui-même qui à
% un mot binaire $x = (x_1,\ldots,x_n)$
% associe le mot $(f_1(x),\ldots, f_n(x))$.
-% Un exemple de fonction de $\Bool^n$ dans lui-même
-% est la fonction négation
-% définie par
+% Un exemple de fonction de $\Bool^n$ dans lui-même
+% est la fonction négation
+% définie par
% $\neg(x)=(\overline{x_1},\dots,\overline{x_n})$.
-% Le principe itératif, basé sur le mode opératoire dit \emph{asynchrone}, est le
-% suivant: à chaque itération $t$, on choisit un indice $i$ entre $1$ et $n$, et
-% le mot $x^t = (x_1^t,\ldots,x_n^t)$ est remplacé par $x^{t+1} = (x_1^t,\ldots ,
+% Le principe itératif, basé sur le mode opératoire dit \emph{asynchrone}, est le
+% suivant: à chaque itération $t$, on choisit un indice $i$ entre $1$ et $n$, et
+% le mot $x^t = (x_1^t,\ldots,x_n^t)$ est remplacé par $x^{t+1} = (x_1^t,\ldots ,
% x_{i-1}^t, f_i(x^t), x_{i+1}^t,\ldots, x_n^t)$.
-% Au bout d'un nombre $N$ d'itérations, si la fonction (notée $G_f$ dans ce
-% document) que l'on peut associer à l'algorithme décrit ci-dessus a de \og
-% \emph{bonnes}\fg{} propriétés chaotiques, le mot $x^N$ doit être \og \emph{très
-% différent}\fg{} de $x^0$ de façon à sembler ne plus dépendre de $x_0$. En
-% effet, pour un générateur aléatoire, il faut que la structure de $x^N$ semble
-% être due au hasard; pour une application cryptographique, il faut qu'il soit
-% matériellement impossible (dans les conditions techniques actuelles) de
-% retrouver $x^0$ à partir de $x^N$.
+% Au bout d'un nombre $N$ d'itérations, si la fonction (notée $G_f$ dans ce
+% document) que l'on peut associer à l'algorithme décrit ci-dessus a de \og
+% \emph{bonnes}\fg{} propriétés chaotiques, le mot $x^N$ doit être \og \emph{très
+% différent}\fg{} de $x^0$ de façon à sembler ne plus dépendre de $x_0$. En
+% effet, pour un générateur aléatoire, il faut que la structure de $x^N$ semble
+% être due au hasard; pour une application cryptographique, il faut qu'il soit
+% matériellement impossible (dans les conditions techniques actuelles) de
+% retrouver $x^0$ à partir de $x^N$.
% Tous les mots de $\Bool^n$ peuvent constituer les $2^n$ sommets d'un
% \gls{graphoriente} (cf. glossaire) dans lequel un arc relie deux sommets $x$ et
-% $x'$ s'il existe une itération de l'algorithme de génération qui permet de
-% passer directement de $x$ à $x'$. Ce graphe est appelé le \emph{graphe d'itérations} et
+% $x'$ s'il existe une itération de l'algorithme de génération qui permet de
+% passer directement de $x$ à $x'$. Ce graphe est appelé le \emph{graphe d'itérations} et
% nous montrons ici que si l'on a un \gls{graphfortementconnexe} (cf. glossaire),
% alors la fonction $G_f$ est transitive, donc chaotique.
-% Enfin, un bon générateur aléatoire se doit de
+% Enfin, un bon générateur aléatoire se doit de
% fournir des nombres selon une \gls{distributionuniforme} (cf. glossaire).
-% La dernière partie de cet article donne,
-% dans le cas où le graphe d'itérations est fortement connexe,
-% une condition nécessaire et suffisante pour que
-% cette propriété soit satisfaite.
+% La dernière partie de cet article donne,
+% dans le cas où le graphe d'itérations est fortement connexe,
+% une condition nécessaire et suffisante pour que
+% cette propriété soit satisfaite.
-% Le chaos a été appliqué à des domaines variés en
+% Le chaos a été appliqué à des domaines variés en
% informatique, comme les fonctions de hachage,
-% la stéganographie, la génération de nombres pseudo
-% aléatoires\ldots
-% Toutes ces applications exploitent les propriétés définissant des
-% fonctions chaotiques et énoncées par Devaney, telles que la
-% transitivité, la régularité et la sensibilité aux conditions initiales.
-
-
-% Les systèmes dynamiques \emph{chaotiques} sont des processus itératifs
-% définis par une fonction chaotique $f$ d'un domaine $E$ dans lui-même.
-% En démarrant d'un état quelconque $x$ du sytème,
-% nommé par la suite \emph{configuration},
-% le système construit la séquence $x$, $f(x)$, $f^2(x)$, $f^3(x)$, \dots
-% où $f^k(x)$ est le $k^{\textrm{ème}}$ itéré de $f$ en $x$.
+% la stéganographie, la génération de nombres pseudo
+% aléatoires\ldots
+% Toutes ces applications exploitent les propriétés définissant des
+% fonctions chaotiques et énoncées par Devaney, telles que la
+% transitivité, la régularité et la sensibilité aux conditions initiales.
+
+
+% Les systèmes dynamiques \emph{chaotiques} sont des processus itératifs
+% définis par une fonction chaotique $f$ d'un domaine $E$ dans lui-même.
+% En démarrant d'un état quelconque $x$ du sytème,
+% nommé par la suite \emph{configuration},
+% le système construit la séquence $x$, $f(x)$, $f^2(x)$, $f^3(x)$, \dots
+% où $f^k(x)$ est le $k^{\textrm{ème}}$ itéré de $f$ en $x$.
% La plupart des applications informatiques dite \og chaotiques \fg{}
-% sont basées sur des processus itératifs de la forme $x^{n+1} = f(x^n)$
-% où $f$ est la fonction \emph{tente} avec $x^0 = 0,4001$ (donnée à la figure~\ref{fig:iter:tent})
-% ou la fonction \emph{logistique} avec $\mu = 3,45$ et $x^0 = 0,1$ (donnée à la figure~\ref{fig:iter:log})
-% connues pour être chaotiques dans $\R$.
+% sont basées sur des processus itératifs de la forme $x^{n+1} = f(x^n)$
+% où $f$ est la fonction \emph{tente} avec $x^0 = 0,4001$ (donnée à la figure~\ref{fig:iter:tent})
+% ou la fonction \emph{logistique} avec $\mu = 3,45$ et $x^0 = 0,1$ (donnée à la figure~\ref{fig:iter:log})
+% connues pour être chaotiques dans $\R$.
% \begin{figure}[hb]
% \begin{center}
% \label{fig:iter:log}
% }
% \end{center}
-% \caption{Systèmes itératifs basés sur des fonctions chaotiques dans $\R$ \label{fig:iter}}
+% \caption{Systèmes itératifs basés sur des fonctions chaotiques dans $\R$ \label{fig:iter}}
% \end{figure}
-% Cependant il n'a pas été établi que des fonctions prouvées
-% comme étant chaotiques sur $\R$ le restent sur les nombres à virgule flottante,
-% qui est le domaine d'interprétation informatique des réels.
-% On souhaite ainsi éviter une éventuelle perte des propriétés de chaos
-% lors de l'exécution des programmes implémentant ces fonctions.
-% Ce document présente pour cela l'alternative suivante:
-% à partir d'une fonction booléenne, $f: \Bool^n \rightarrow \Bool^n$,
-% où $\Bool$ est le domaine des booléens $\{0,1\}$, on
+% Cependant il n'a pas été établi que des fonctions prouvées
+% comme étant chaotiques sur $\R$ le restent sur les nombres à virgule flottante,
+% qui est le domaine d'interprétation informatique des réels.
+% On souhaite ainsi éviter une éventuelle perte des propriétés de chaos
+% lors de l'exécution des programmes implémentant ces fonctions.
+% Ce document présente pour cela l'alternative suivante:
+% à partir d'une fonction booléenne, $f: \Bool^n \rightarrow \Bool^n$,
+% où $\Bool$ est le domaine des booléens $\{0,1\}$, on
% construit une fonction $G_f : \llbracket 1 ; n \rrbracket^{\Nats} \times \Bool^n$,
-% où $\llbracket 1 ; n \rrbracket$ est l'ensemble des entiers
-% $\{1, 2, \hdots, n\}$ et on itère celle-ci.
-% Comme $f$ est discrète, $G_f$ l'est aussi et les résultats théoriques
-% obtenus sur $G_f$, notamment sa chaoticité, sont maintenus durant
-% l'implémentation.
-% Un exemple de fonction booléenne de $\Bool^n$ dans lui-même est la fonction négation
-% définie par
+% où $\llbracket 1 ; n \rrbracket$ est l'ensemble des entiers
+% $\{1, 2, \hdots, n\}$ et on itère celle-ci.
+% Comme $f$ est discrète, $G_f$ l'est aussi et les résultats théoriques
+% obtenus sur $G_f$, notamment sa chaoticité, sont maintenus durant
+% l'implémentation.
+% Un exemple de fonction booléenne de $\Bool^n$ dans lui-même est la fonction négation
+% définie par
% $\neg(x)=(\overline{x_1},\dots,\overline{x_n})$.
-% De plus, plutôt que de trouver des exemples de telles fonctions $f$, et de prouver
-% (\textit{a posteriori}) la chaoticité de $G_f$, on peut penser à caractériser
-% les fonctions engendrant systématiquement des fonctions chaotiques.
-% Ce document présente une telle caractérisation
-% qui s'exprime sur le graphe des itérations asynchrones
-% de la fonction booléenne $f$, qui est, intuitivement, le graphe
-% de toutes les itérations possibles de la fonction.
-% Cette situation se réduit en un problème portant sur des graphes à $2^n$
+% De plus, plutôt que de trouver des exemples de telles fonctions $f$, et de prouver
+% (\textit{a posteriori}) la chaoticité de $G_f$, on peut penser à caractériser
+% les fonctions engendrant systématiquement des fonctions chaotiques.
+% Ce document présente une telle caractérisation
+% qui s'exprime sur le graphe des itérations asynchrones
+% de la fonction booléenne $f$, qui est, intuitivement, le graphe
+% de toutes les itérations possibles de la fonction.
+% Cette situation se réduit en un problème portant sur des graphes à $2^n$
% sommets.
-% Ainsi pour étendre l'applicabilité de cette caractérisation, on s'intéresse
+% Ainsi pour étendre l'applicabilité de cette caractérisation, on s'intéresse
% au graphe des interactions de $f$, qui, intuitivement,
-% représente les dépendances entre les $f_i$, $1\le i \le n$ et les $i$
-% et qui ne contient que $n$ sommets (et qui est à comparer aux $2^n$
+% représente les dépendances entre les $f_i$, $1\le i \le n$ et les $i$
+% et qui ne contient que $n$ sommets (et qui est à comparer aux $2^n$
% sommets.
-% Sur ce graphe on exprime des conditions garantissant la chaoticité de la fonction $G_f$.
-% Ainsi, toutes les fonctions $G_f$ engendrées à partir d'un graphe
-% d'interactions de $f$ aux propriétés \textit{ad hoc} seront chaotiques.
+% Sur ce graphe on exprime des conditions garantissant la chaoticité de la fonction $G_f$.
+% Ainsi, toutes les fonctions $G_f$ engendrées à partir d'un graphe
+% d'interactions de $f$ aux propriétés \textit{ad hoc} seront chaotiques.
-% Se pose enfin l'applicabilité des fonctions $G_f$ à la génération
-% de nombres pseudo aléatoires, l'aléa étant intuitivement
+% Se pose enfin l'applicabilité des fonctions $G_f$ à la génération
+% de nombres pseudo aléatoires, l'aléa étant intuitivement
% une notion proche de celle du chaos.
-% Pour aborder cette classe de problèmes, on remarque que l'on doit au moins
-% garantir que l'ensemble des valeurs retournées par l'algorithme suit
-% une loi uniforme, propriété qui n'est pas imposée d'un point de vue topologique.
-% Ce document montre que cette contrainte peut s'exprimer à nouveau sur le graphe des itérations asynchrones de $f$
-% et qu'on peut ainsi filtrer les bons candidats à la génération de nombres pseudo aléatoires.
-% Cette idée est validée après évaluation
-% des générateurs de nombres pseudo aléatoires
+% Pour aborder cette classe de problèmes, on remarque que l'on doit au moins
+% garantir que l'ensemble des valeurs retournées par l'algorithme suit
+% une loi uniforme, propriété qui n'est pas imposée d'un point de vue topologique.
+% Ce document montre que cette contrainte peut s'exprimer à nouveau sur le graphe des itérations asynchrones de $f$
+% et qu'on peut ainsi filtrer les bons candidats à la génération de nombres pseudo aléatoires.
+% Cette idée est validée après évaluation
+% des générateurs de nombres pseudo aléatoires
% sur une batterie de tests.
-% Le reste de ce document est organisé comme suit.
-% La section~\ref{section:chaos} présente ce qu'est un système dynamique discret booléen itérant une fonction $f$.
-% La chaoticité de la fonction engendrée $G_f$ est caractérisée en
+The remainder of this article is organized as follows. The next section is devoted to
+preliminaries, basic notations, and terminologies regarding asynchronous iterations.
+Then, in Section~\ref{sec:proofOfChaos}, Devaney's definition of chaos is recalled
+while the proofs of chaos of our most general PRNGs is provided. Section~\ref{sec:SCCfunc} shows how to generate functions and a number of iterations such that the iteration graph is strongly connected, making the
+PRNG chaotic. The next section focuses on examples of such graphs obtained by modifying the
+hypercube, while Section~\ref{sec:prng} establishes the link between the theoretical study and
+pseudorandom number generation.
+This research work ends by a conclusion section, where the contribution is summarized and
+intended future work is outlined.
+
+% Le reste de ce document est organisé comme suit.
+% La section~\ref{section:chaos} présente ce qu'est un système dynamique discret booléen itérant une fonction $f$.
+% La chaoticité de la fonction engendrée $G_f$ est caractérisée en
% section~\ref{sec:charac}.
-% Des conditions suffisantes pour obtenir cette chaoticité sont présentées en
+% Des conditions suffisantes pour obtenir cette chaoticité sont présentées en
% section~\ref{sec:sccg}.
-% L'application à la génération de nombres pseudo aléatoires est formalisée,
-% les fonctions dont l'image est uniformément distribuée sur le domaine sont
-% caractérisées et les générateurs sont évalués en section~\ref{sec:prng}.
-
-Dans la section suivante, nous rappelons les notions élémentaires sur les
-systèmes booléens. La section~\ref{section:caracterisation} présente les
-définitions théoriques liées au chaos. Ensuite, une application de ces résultats
-à la génération de nombres pseudo-aléatoires est proposée en
-section~\ref{section:genpa} ainsi qu'une méthode permettant d'obtenir des
-matrices d'itérations doublement stochastiques en
-section~\ref{section:genmat}. Enfin, en section~\ref{section:expes} la qualité
-du PRNG obtenu est éprouvée avec les tests standards du domaine.
-
+% L'application à la génération de nombres pseudo aléatoires est formalisée,
+% les fonctions dont l'image est uniformément distribuée sur le domaine sont
+% caractérisées et les générateurs sont évalués en section~\ref{sec:prng}.
+
+% Dans la section suivante, nous rappelons les notions élémentaires sur les
+% systèmes booléens. La section~\ref{section:caracterisation} présente les
+% définitions théoriques liées au chaos. Ensuite, une application de ces résultats
+% à la génération de nombres pseudo-aléatoires est proposée en
+% section~\ref{section:genpa} ainsi qu'une méthode permettant d'obtenir des
+% matrices d'itérations doublement stochastiques en
+% section~\ref{section:genmat}. Enfin, en section~\ref{section:expes} la qualité
+% du PRNG obtenu est éprouvée avec les tests standards du domaine.
+%
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
