-Dans cet article, nous avons montré qu'une fonction $G_f$ est chaotique si et
-seulement la fonction booléenne $f$ a un graphe d'itérations chaotiques
-fortement connexe. L'originalité majeure repose sur le type d'itérations
-considéré, qui n'est pas limité à la mise à jour d'un seul élément par
-itération, mais qui est étendu à la mise à jour simultanée de plusieurs éléments
-du système à chaque itération. De plus, il a été prouvé que la sortie d'une
-telle fonction suit une loi de distribution uniforme si et seulement si la
-chaîne de Markov induite peut se représenter à l'aide d'une matrice doublement
-stochastique. Enfin, un algorithme permettant d'engendrer des fonctions qui
-vérifient ces deux contraintes a été présenté et évalué. Ces fonctions ont été
-ensuite appliquées avec succès à la génération de nombres pseudo-aléatoires.
-Les expériences sur une batterie de tests éprouvée ont pu confirmer la
-pertinence de l'approche théorique.
+% Dans cet article, nous avons montré qu'une fonction $G_f$ est chaotique si et
+% seulement la fonction booléenne $f$ a un graphe d'itérations chaotiques
+% fortement connexe. L'originalité majeure repose sur le type d'itérations
+% considéré, qui n'est pas limité à la mise à jour d'un seul élément par
+% itération, mais qui est étendu à la mise à jour simultanée de plusieurs éléments
+% du système à chaque itération. De plus, il a été prouvé que la sortie d'une
+% telle fonction suit une loi de distribution uniforme si et seulement si la
+% chaîne de Markov induite peut se représenter à l'aide d'une matrice doublement
+% stochastique. Enfin, un algorithme permettant d'engendrer des fonctions qui
+% vérifient ces deux contraintes a été présenté et évalué. Ces fonctions ont été
+% ensuite appliquées avec succès à la génération de nombres pseudo-aléatoires.
+% Les expériences sur une batterie de tests éprouvée ont pu confirmer la
+% pertinence de l'approche théorique.
+%
+In this article, we have proven that the most general chaotic iterations based PRNG, which embeds
+an iteration function, satisfies in some cases the property of chaos
+as defined by Devaney. We then have shown how to generate such functions together
+with the related number of iterations, leading to strongly connected
+iteration graphs and thus to chaos for the associated pseudorandom number generators.
+By removing some paths in the hypercube, we then have provided examples of such graphs
+that lead to chaos, while linking these graphs to the PRNG problem under consideration.
+
+In future work, we intend to understand the link between succeeded or failed statistical tests
+and the properties of chaos for the associated asynchronous iterations. By doing so,
+relations between desired statistically unbiased behaviors and topological properties will be
+understood, leading to better choices in iteration functions. Conditions allowing the
+reduction of the mixing time will be investigated too, while other modifications of the hypercube
+will be regarded in order to enlarge the set of known chaotic and random asynchronous
+iterations.
+
+%
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
