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index 097d514..f4ed222 100644
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@@ -1,60 +1,51 @@
-L'exploitation de  \og systÃ¨mes chaotiques\fg{} pour gÃ©nÃ©rer des sÃ©quences
-pseudo-alÃ©atoires est un sujet actif de recherche~\cite{915396,915385,5376454}. 
-Ces systÃ¨mes sont choisis principalement
-en raison de leur imprÃ©visibilitÃ© et de leur sensibilitÃ© aux conditions initiales.
-
-Souvent   les   travaux  se   limitent   Ã    itÃ©rer   une  fonction   paramÃ©trÃ©e
-\emph{chaotique}  comme la  fonction logistique~\cite{915396,915385},  ou encore
-celle du  chat d'Arnold~\cite{5376454}\ldots Il  reste Ã  trouver  les paramÃ¨tres
-optimaux permettant d'Ã©viter les attracteurs de telles fonctions et garantissant
-que les sÃ©quences de nombres  produits suivent une loi de distribution uniforme.
-Pour vÃ©rifier  la qualitÃ© des  sorties produites il  est usuel de  soumettre les
-PRNG   (Pseudo-Random  Number   Generator)   Ã   des   tests  statistiques   tels
-DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10} et TestU01~\cite{LEcuyerS07}.
-
-Dans son acception vulgarisÃ©e, 
-la notion de chaos est souvent rÃ©duite Ã  celle de forte sensibilitÃ©
-aux conditions initiales (le fameux \og \emph{effet papillon}\fg{}): 
-une fonction continue $k$ dÃ©finie sur un espace mÃ©trique 
-est dite \emph{fortement sensible aux conditions initiales} si pour tout
-point $x$ et pour toute valeur positive $\epsilon$
-il est possible de trouver un point $y$, arbitrairement proche 
-de $x$, et un entier $t$ tels que la distance entre les 
-$t^{\textrm{iÃ¨mes}}$ itÃ©rÃ©s de $x$ et de $y$ 
--- notÃ©s $k^t(x)$ et $k^t(y)$ 
--- est supÃ©rieure Ã  $\epsilon$. 
-Cependant, dans sa dÃ©finition du chaos, 
-Devaney~\cite{Devaney} impose Ã  la fonction chaotique deux autres propriÃ©tÃ©s 
-appelÃ©es \emph{transitivitÃ©} et \emph{rÃ©gularitÃ©},
-Les fonctions citÃ©es plus haut ont Ã©tÃ© Ã©tudiÃ©es 
-au regard de ces propriÃ©tÃ©s et ont Ã©tÃ© prouvÃ©es comme chaotiques sur $\R$.
-Cependant, rien ne garantit que ces propriÃ©tÃ©s sont prÃ©servÃ©es sur les nombres 
-flottants qui est le domaine d'interprÃ©tation des nombres rÃ©els de $\R$.
-
-Pour Ã©viter cette perte de chaos,  nous avons prÃ©sentÃ© des PRNGs qui itÃ¨rent des
-fonctions continues  $G_f$ sur  un domaine discret  $\{ 1, \ldots,  n \}^{\Nats}
-\times  \{0,1\}^n$  oÃ¹ $f$  est  une  fonction  boolÃ©enne (\textit{i.e.},  $f  :
-\{0,1\}^n      \rightarrow      \{0,1\}^n$).       Ces     gÃ©nÃ©rateurs      sont
+The exploitation of chaotic systems to generate pseudorandom sequences is
+an hot topic~\cite{915396,915385,5376454}. Such systems are fundamentally 
+chosen due to their unpredictable character and their sensitiveness to initial conditions.
+In most cases, these generators simply consist in iterating a chaotic function like 
+the logistic map~\cite{915396,915385} or the Arnold's one~\cite{5376454}\ldots
+It thus remains to find optimal parameters in such functions so that attractors are
+avoided, guaranteeing by doing so that generated numbers follow a uniform distribution.
+In order to check the quality of the produced outputs, it is usual to test the 
+PRNGs   (Pseudo-Random  Number   Generators) with statistical batteries like
+the so-called DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10}, or TestU01~\cite{LEcuyerS07}.
+
+In its general understanding, the chaos notion is often reduced to the strong
+sensitiveness to the initial conditions (the well known ``butterfly effect''):
+a continuous function $k$ defined on a metrical space is said 
+\emph{strongly sensitive to the initial conditions} if for all point 
+$x$ and all positive value $\epsilon$, it is possible to find another 
+point $y$, as close as possible to $x$, and an integer $t$ such that the distance
+between the $t$-th iterates of $x$ and $y$, denoted by $k^t(x)$ and $k^t(y)$,
+are larger than $\epsilon$. However, in his definition of chaos, Devaney~\cite{Devaney} 
+impose to the chaotic function two other properties called
+\emph{transitivity} and \emph{regularity}. Functions evoked above have
+been studied according to these properties, and they have been proven as chaotic on $\R$.
+But nothing guarantees that such properties are preserved when iterating the functions
+on floating point numbers, which is the domain of interpretation of real numbers $\R$ on
+machines.
+
+To avoid this lack of chaos, we have previously presented some PRNGs that iterate
+continuous functions $G_f$ on a discrete domain  $\{ 1, \ldots,  n \}^{\Nats}
+ \times  \{0,1\}^n$, where $f$  is a Boolean function (\textit{i.e.},  $f  :
+ \{0,1\}^n      \rightarrow      \{0,1\}^n$).       These generators are 
 $\textit{CIPRNG}_f^1(u)$ \cite{guyeuxTaiwan10,bcgr11:ip},
-$\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip}                                     et
-$\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip}     oÃ¹    \textit{CI}    signifie
+$\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip}                                     and
+$\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip}     where    \textit{CI}    means
 \emph{Chaotic Iterations}.
-
-Dans~\cite{bcgr11:ip} nous avons tout d'abord  prouvÃ© que pour Ã©tablir la nature
-chaotique de l'algorithme $\textit{CIPRNG}_f^1$,  il est nÃ©cessaire et suffisant
-que le  graphe des  itÃ©rations asynchrones soit  fortement connexe.   Nous avons
-ensuite  prouvÃ© que  pour  que la  sortie de  cet  algorithme suive  une loi  de
-distribution uniforme, il  est nÃ©cessaire et suffisant que  la matrice de Markov
-associÃ©e Ã  ce graphe soit  doublement stochastique.  Nous avons enfin Ã©tabli des
-conditions suffisantes pour garantir  la premiÃ¨re propriÃ©tÃ© de connexitÃ©.  Parmi
-les  fonctions gÃ©nÃ©rÃ©es,  on ne  retenait ensuite  que celles  qui  vÃ©rifiait la
-seconde  propriÃ©tÃ©.  Dans~\cite{chgw14oip},  nous avons  proposÃ©  une dÃ©marche
-algorithmique permettant d'obtenir  directement un graphe d'itÃ©rations fortement
-connexe et  dont la matrice de  Markov est doublement  stochastique.  Le travail
-prÃ©sentÃ© ici gÃ©nÃ©ralise ce dernier  article en changeant le domaine d'itÃ©ration,
-et donc de mÃ©trique. L'algorithme  obtenu possÃ¨de les mÃªme propriÃ©tÃ©s thÃ©oriques
-mais un temps de mÃ©lange plus rÃ©duit.
-
+We have firstly proven in~\cite{bcgr11:ip} that, to establish the chaotic nature
+of algorithm $\textit{CIPRNG}_f^1$, it is necessary and sufficient that the 
+asynchronous iterations are strongly connected. We then have proven that it is necessary
+and sufficient that the Markov matrix associated to this graph is doubly stochastic,
+in order to have a uniform distribution of the outputs. We have finally established 
+sufficient conditions to guarantee the first property of connectivity. Among the 
+generated functions, we thus considered for further investigations only the one that
+satisfy the second property too. In~\cite{chgw14oip}, we have proposed an algorithmic 
+method allowing to directly obtain a strongly connected iteration graph having a doubly
+stochastic Markov matrix. The research work presented here generalizes this latter article
+by updating the iteration domain and the metric. The obtained algorithm owns the same
+theoretical properties but with a reduced mixing time.
+
+% 
 % Pour dÃ©crire un peu plus prÃ©cisÃ©ment le principe de
 % la gÃ©nÃ©ration pseudo-alÃ©atoire, considÃ©rons l'espace boolÃ©en 
 % $\Bool=\{0,1\}$
@@ -234,15 +225,15 @@ mais un temps de mÃ©lange plus rÃ©duit.
 % les fonctions dont l'image est uniformÃ©ment distribuÃ©e sur le domaine sont
 % caractÃ©risÃ©es et les gÃ©nÃ©rateurs sont Ã©valuÃ©s en section~\ref{sec:prng}.
 
-Dans  la section  suivante,  nous  rappelons les  notions  Ã©lÃ©mentaires sur  les
-systÃ¨mes   boolÃ©ens.   La  section~\ref{section:caracterisation}   prÃ©sente  les
-dÃ©finitions thÃ©oriques liÃ©es au chaos. Ensuite, une application de ces rÃ©sultats
-Ã     la   gÃ©nÃ©ration    de   nombres    pseudo-alÃ©atoires   est    proposÃ©e   en
-section~\ref{section:genpa}  ainsi  qu'une   mÃ©thode  permettant  d'obtenir  des
-matrices         d'itÃ©rations         doublement        stochastiques         en
-section~\ref{section:genmat}.  Enfin, en section~\ref{section:expes}  la qualitÃ©
-du PRNG obtenu est Ã©prouvÃ©e avec les tests standards du domaine.
-
+% Dans  la section  suivante,  nous  rappelons les  notions  Ã©lÃ©mentaires sur  les
+% systÃ¨mes   boolÃ©ens.   La  section~\ref{section:caracterisation}   prÃ©sente  les
+% dÃ©finitions thÃ©oriques liÃ©es au chaos. Ensuite, une application de ces rÃ©sultats
+% Ã     la   gÃ©nÃ©ration    de   nombres    pseudo-alÃ©atoires   est    proposÃ©e   en
+% section~\ref{section:genpa}  ainsi  qu'une   mÃ©thode  permettant  d'obtenir  des
+% matrices         d'itÃ©rations         doublement        stochastiques         en
+% section~\ref{section:genmat}.  Enfin, en section~\ref{section:expes}  la qualitÃ©
+% du PRNG obtenu est Ã©prouvÃ©e avec les tests standards du domaine.
+% 
 
 %%% Local Variables: 
 %%% mode: latex
