X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/rairo15.git/blobdiff_plain/7adee4533e3b5462c283ce03d98ef5c440600e42..412f54fbed2c443f03aa09cc72f559221e63d83b:/intro.tex

diff --git a/intro.tex b/intro.tex
index cb79a58..3f51a08 100644
--- a/intro.tex
+++ b/intro.tex
@@ -1,34 +1,29 @@
 The exploitation of chaotic systems to generate pseudorandom sequences is
 an hot topic~\cite{915396,915385,5376454}. Such systems are fundamentally 
-chosen due to their unpredictable character and their sensibility to initial conditions.
-
-% Souvent   les   travaux  se   limitent   à   itérer   une  fonction   paramétrée
-% \emph{chaotique}  comme la  fonction logistique~\cite{915396,915385},  ou encore
-% celle du  chat d'Arnold~\cite{5376454}\ldots Il  reste à trouver  les paramètres
-% optimaux permettant d'éviter les attracteurs de telles fonctions et garantissant
-% que les séquences de nombres  produits suivent une loi de distribution uniforme.
-% Pour vérifier  la qualité des  sorties produites il  est usuel de  soumettre les
-% PRNG   (Pseudo-Random  Number   Generator)   à  des   tests  statistiques   tels
-% DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10} et TestU01~\cite{LEcuyerS07}.
-% 
-% Dans son acception vulgarisée, 
-% la notion de chaos est souvent réduite à celle de forte sensibilité
-% aux conditions initiales (le fameux \og \emph{effet papillon}\fg{}): 
-% une fonction continue $k$ définie sur un espace métrique 
-% est dite \emph{fortement sensible aux conditions initiales} si pour tout
-% point $x$ et pour toute valeur positive $\epsilon$
-% il est possible de trouver un point $y$, arbitrairement proche 
-% de $x$, et un entier $t$ tels que la distance entre les 
-% $t^{\textrm{ièmes}}$ itérés de $x$ et de $y$ 
-% -- notés $k^t(x)$ et $k^t(y)$ 
-% -- est supérieure à $\epsilon$. 
-% Cependant, dans sa définition du chaos, 
-% Devaney~\cite{Devaney} impose à la fonction chaotique deux autres propriétés 
-% appelées \emph{transitivité} et \emph{régularité},
-% Les fonctions citées plus haut ont été étudiées 
-% au regard de ces propriétés et ont été prouvées comme chaotiques sur $\R$.
-% Cependant, rien ne garantit que ces propriétés sont préservées sur les nombres 
-% flottants qui est le domaine d'interprétation des nombres réels de $\R$.
+chosen due to their unpredictable character and their sensitiveness to initial conditions.
+In most cases, these generators simply consist in iterating a chaotic function like 
+the logistic map~\cite{915396,915385} or the Arnold's one~\cite{5376454}\ldots
+It thus remains to find optimal parameters in such functions so that attractors are
+avoided, guaranteeing by doing so that generated numbers follow a uniform distribution.
+In order to check the quality of the produced outputs, it is usual to test the 
+PRNGs   (Pseudo-Random  Number   Generators) with statistical batteries like
+the so-called DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10}, or TestU01~\cite{LEcuyerS07}.
+
+In its general understanding, the chaos notion is often reduced to the strong
+sensitiveness to the initial conditions (the well known ``butterfly effect''):
+a continuous function $k$ defined on a metrical space is said 
+\emph{strongly sensitive to the initial conditions} if for all point 
+$x$ and all positive value $\epsilon$, it is possible to find another 
+point $y$, as close as possible to $x$, and an integer $t$ such that the distance
+between the $t$-th iterates of $x$ and $y$, denoted by $k^t(x)$ and $k^t(y)$,
+are larger than $\epsilon$. However, in his definition of chaos, Devaney~\cite{Devaney} 
+impose to the chaotic function two other properties called
+\emph{transitivity} and \emph{regularity}. Functions evoked above have
+been studied according to these properties, and they have been proven as chaotic on $\R$.
+But nothing guarantees that such properties are preserved when iterating the functions
+on floating point numbers, which is the domain of interpretation of real numbers $\R$ on
+machines.
+
 % 
 % Pour éviter cette perte de chaos,  nous avons présenté des PRNGs qui itèrent des
 % fonctions continues  $G_f$ sur  un domaine discret  $\{ 1, \ldots,  n \}^{\Nats}