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index af0400f..59d8eff 100644
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-Dans cet  article, nous avons montré  qu'une fonction $G_f$ est  chaotique si et
-seulement  la  fonction  booléenne  $f$  a  un  graphe  d'itérations  chaotiques
-fortement  connexe.  L'originalité  majeure repose  sur le  type d'itérations
-considéré,  qui  n'est pas  limité  à  la mise  à  jour  d'un  seul élément  par
-itération, mais qui est étendu à la mise à jour simultanée de plusieurs éléments
-du système  à chaque itération.  De plus,  il a été  prouvé que la  sortie d'une
-telle  fonction suit  une loi  de distribution  uniforme si  et seulement  si la
-chaîne de Markov  induite peut se représenter à  l'aide d'une matrice doublement
-stochastique.   Enfin, un  algorithme permettant  d'engendrer des  fonctions qui
-vérifient ces deux contraintes a été  présenté et évalué.  Ces fonctions ont été
-ensuite  appliquées avec succès  à la  génération de  nombres pseudo-aléatoires.
-Les  expériences  sur  une  batterie  de  tests éprouvée  ont  pu  confirmer  la
-pertinence de l'approche théorique.
+% Dans cet  article, nous avons montré  qu'une fonction $G_f$ est  chaotique si et
+% seulement  la  fonction  booléenne  $f$  a  un  graphe  d'itérations  chaotiques
+% fortement  connexe.  L'originalité  majeure repose  sur le  type d'itérations
+% considéré,  qui  n'est pas  limité  à  la mise  à  jour  d'un  seul élément  par
+% itération, mais qui est étendu à la mise à jour simultanée de plusieurs éléments
+% du système  à chaque itération.  De plus,  il a été  prouvé que la  sortie d'une
+% telle  fonction suit  une loi  de distribution  uniforme si  et seulement  si la
+% chaîne de Markov  induite peut se représenter à  l'aide d'une matrice doublement
+% stochastique.   Enfin, un  algorithme permettant  d'engendrer des  fonctions qui
+% vérifient ces deux contraintes a été  présenté et évalué.  Ces fonctions ont été
+% ensuite  appliquées avec succès  à la  génération de  nombres pseudo-aléatoires.
+% Les  expériences  sur  une  batterie  de  tests éprouvée  ont  pu  confirmer  la
+% pertinence de l'approche théorique.
+% 
 
+In this article, we have proven that the most general chaotic iterations based PRNG
+satisfy the property of chaos as defined by Devaney. We then have shown how to generate
+such functions together with the number of iterations, leading to strongly connected
+iteration graphs and thus to chaos for the associated pseudorandom number generators. 
+
+% The next section focus on examples of such graphs obtained by modifying the 
+% hypercube, while Section~\ref{sec:prng} establishes the link between the theoretical study and
+% pseudorandom number generation. 
+% This research work ends by a conclusion section, where the contribution is summarized and
+% intended future work is outlined.
+% 
 %%% Local Variables: 
 %%% mode: latex
 %%% TeX-master: "main"
