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-L'exploitation de  \og systèmes chaotiques\fg{} pour générer des séquences
-pseudo-aléatoires est un sujet actif de recherche~\cite{915396,915385,5376454}. 
-Ces systèmes sont choisis principalement
-en raison de leur imprévisibilité et de leur sensibilité aux conditions initiales.
-
-Souvent   les   travaux  se   limitent   à   itérer   une  fonction   paramétrée
-\emph{chaotique}  comme la  fonction logistique~\cite{915396,915385},  ou encore
-celle du  chat d'Arnold~\cite{5376454}\ldots Il  reste à trouver  les paramètres
-optimaux permettant d'éviter les attracteurs de telles fonctions et garantissant
-que les séquences de nombres  produits suivent une loi de distribution uniforme.
-Pour vérifier  la qualité des  sorties produites il  est usuel de  soumettre les
-PRNG   (Pseudo-Random  Number   Generator)   à  des   tests  statistiques   tels
-DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10} et TestU01~\cite{LEcuyerS07}.
-
-Dans son acception vulgarisée, 
-la notion de chaos est souvent réduite à celle de forte sensibilité
-aux conditions initiales (le fameux \og \emph{effet papillon}\fg{}): 
-une fonction continue $k$ définie sur un espace métrique 
-est dite \emph{fortement sensible aux conditions initiales} si pour tout
-point $x$ et pour toute valeur positive $\epsilon$
-il est possible de trouver un point $y$, arbitrairement proche 
-de $x$, et un entier $t$ tels que la distance entre les 
-$t^{\textrm{ièmes}}$ itérés de $x$ et de $y$ 
--- notés $k^t(x)$ et $k^t(y)$ 
--- est supérieure à $\epsilon$. 
-Cependant, dans sa définition du chaos, 
-Devaney~\cite{Devaney} impose à la fonction chaotique deux autres propriétés 
-appelées \emph{transitivité} et \emph{régularité},
-Les fonctions citées plus haut ont été étudiées 
-au regard de ces propriétés et ont été prouvées comme chaotiques sur $\R$.
-Cependant, rien ne garantit que ces propriétés sont préservées sur les nombres 
-flottants qui est le domaine d'interprétation des nombres réels de $\R$.
-
-Pour éviter cette perte de chaos,  nous avons présenté des PRNGs qui itèrent des
-fonctions continues  $G_f$ sur  un domaine discret  $\{ 1, \ldots,  n \}^{\Nats}
-\times  \{0,1\}^n$  où $f$  est  une  fonction  booléenne (\textit{i.e.},  $f  :
-\{0,1\}^n      \rightarrow      \{0,1\}^n$).       Ces     générateurs      sont
-$\textit{CIPRNG}_f^1(u)$ \cite{guyeuxTaiwan10,bcgr11ip},
-$\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip}                                     et
-$\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip}     où    \textit{CI}    signifie
+The exploitation of chaotic systems to generate pseudorandom sequences is
+an hot topic~\cite{915396,915385,5376454}. Such systems are fundamentally 
+chosen due to their unpredictable character and their sensitiveness to initial conditions.
+In most cases, these generators simply consist in iterating a chaotic function like 
+the logistic map~\cite{915396,915385} or the Arnold's one~\cite{5376454}\ldots
+It thus remains to find optimal parameters in such functions so that attractors are
+avoided, hoping by doing so that the generated numbers follow a uniform distribution.
+In order to check the quality of the produced outputs, it is usual to test the 
+PRNGs   (Pseudo-Random  Number   Generators) with statistical batteries like
+the so-called DieHARD~\cite{Marsaglia1996}, NIST~\cite{Nist10}, or TestU01~\cite{LEcuyerS07} ones.
+
+In its general understanding, chaos notion is often reduced to the strong
+sensitiveness to the initial conditions (the well known ``butterfly effect''):
+a continuous function $k$ defined on a metrical space is said 
+\emph{strongly sensitive to the initial conditions} if for each point 
+$x$ and each positive value $\epsilon$, it is possible to find another 
+point $y$ as close as possible to $x$, and an integer $t$ such that the distance
+between the $t$-th iterates of $x$ and $y$, denoted by $k^t(x)$ and $k^t(y)$,
+are larger than $\epsilon$. However, in his definition of chaos, Devaney~\cite{Devaney} 
+imposes to the chaotic function two other properties called
+\emph{transitivity} and \emph{regularity}. Functions evoked above have
+been studied according to these properties, and they have been proven as chaotic on $\R$.
+But nothing guarantees that such properties are preserved when iterating the functions
+on floating point numbers, which is the domain of interpretation of real numbers $\R$ on
+machines.
+
+To avoid this lack of chaos, we have previously presented some PRNGs that iterate
+continuous functions $G_f$ on a discrete domain  $\{ 1, \ldots,  n \}^{\Nats}
+ \times  \{0,1\}^n$, where $f$  is a Boolean function (\textit{i.e.},  $f  :
+ \{0,1\}^n      \rightarrow      \{0,1\}^n$).       These generators are 
+$\textit{CIPRNG}_f^1(u)$ \cite{guyeuxTaiwan10,bcgr11:ip},
+$\textit{CIPRNG}_f^2(u,v)$ \cite{wbg10ip}                                     and
+$\chi_{\textit{14Secrypt}}$ \cite{chgw14oip}     where    \textit{CI}    means
 \emph{Chaotic Iterations}.
-
-Dans~\cite{bcgr11ip} nous avons tout d'abord  prouvé que pour établir la nature
-chaotique de l'algorithme $\textit{CIPRNG}_f^1$,  il est nécessaire et suffisant
-que le  graphe des  itérations asynchrones soit  fortement connexe.   Nous avons
-ensuite  prouvé que  pour  que la  sortie de  cet  algorithme suive  une loi  de
-distribution uniforme, il  est nécessaire et suffisant que  la matrice de Markov
-associée à ce graphe soit  doublement stochastique.  Nous avons enfin établi des
-conditions suffisantes pour garantir  la première propriété de connexité.  Parmi
-les  fonctions générées,  on ne  retenait ensuite  que celles  qui  vérifiait la
-seconde  propriété.  Dans~\cite{chgw14oip},  nous avons  proposé  une démarche
-algorithmique permettant d'obtenir  directement un graphe d'itérations fortement
-connexe et  dont la matrice de  Markov est doublement  stochastique.  Le travail
-présenté ici généralise ce dernier  article en changeant le domaine d'itération,
-et donc de métrique. L'algorithme  obtenu possède les même propriétés théoriques
-mais un temps de mélange plus réduit.
-
-% Pour décrire un peu plus précisément le principe de
-% la génération pseudo-aléatoire, considérons l'espace booléen 
-% $\Bool=\{0,1\}$
-% muni des lois \og +\fg{}, \og . \fg{} et \og $\overline{\bullet}$ \fg{} 
-% définies par les tableaux ci-dessous:
-
-% \begin{center}
-%   \begin{tabular}{|c|c|c|}
-%     \hline 
-%     +              & 0 & 1 \\
-%     \hline 
-%     0              & 0 & 1 \\
-%     \hline 
-%     1              & 1 & 1 \\
-%     \hline
-%   \end{tabular}\qquad
-%   \begin{tabular}{|c|c|c|}
-%     \hline 
-%     .              & 0 & 1 \\
-%     \hline 
-%     0              & 0 & 0 \\
-%     \hline 
-%     1              & 0 & 1 \\
-%     \hline
-%   \end{tabular}\qquad
-%   \begin{tabular}{|c|c|c|}
-%     \hline 
-%     x              & 0 & 1 \\
-%     \hline 
-%     $\overline{x}$ & 1 & 0 \\
-%     \hline 
-%   \end{tabular}
-% \end{center}
-
-
-% La fonction itérée est
-% une fonction $f$ de $\Bool^n$ dans lui-même qui à
-% un mot binaire $x = (x_1,\ldots,x_n)$ 
-% associe le mot $(f_1(x),\ldots, f_n(x))$.
-% Un exemple de fonction de $\Bool^n$ dans lui-même
-% est la fonction négation 
-% définie par  
-% $\neg(x)=(\overline{x_1},\dots,\overline{x_n})$. 
-
-% Le principe itératif, basé sur  le mode opératoire dit \emph{asynchrone}, est le
-% suivant: à chaque itération  $t$, on choisit un indice $i$ entre  $1$ et $n$, et
-% le mot $x^t = (x_1^t,\ldots,x_n^t)$  est remplacé par $x^{t+1} = (x_1^t,\ldots ,
-% x_{i-1}^t, f_i(x^t), x_{i+1}^t,\ldots, x_n^t)$.
-
-% Au  bout d'un  nombre $N$  d'itérations,  si la  fonction (notée  $G_f$ dans  ce
-% document)  que l'on  peut  associer à  l'algorithme  décrit ci-dessus  a de  \og
-% \emph{bonnes}\fg{} propriétés chaotiques, le  mot $x^N$ doit être \og \emph{très
-%   différent}\fg{} de  $x^0$ de  façon à  sembler ne plus  dépendre de  $x_0$. En
-% effet, pour  un générateur aléatoire, il  faut que la structure  de $x^N$ semble
-% être due  au hasard;  pour une application  cryptographique, il faut  qu'il soit
-% matériellement  impossible   (dans  les  conditions   techniques  actuelles)  de
-% retrouver $x^0$ à partir de $x^N$.
-
-% Tous  les  mots   de  $\Bool^n$  peuvent  constituer  les   $2^n$  sommets  d'un
-% \gls{graphoriente} (cf. glossaire) dans lequel  un arc relie deux sommets $x$ et
-% $x'$  s'il existe  une itération  de l'algorithme  de génération  qui  permet de
-% passer directement de  $x$ à $x'$.   Ce graphe est  appelé le \emph{graphe  d'itérations} et
-% nous montrons ici que si  l'on a un \gls{graphfortementconnexe} (cf. glossaire),
-% alors la fonction $G_f$ est transitive, donc chaotique.
-
-% Enfin, un bon générateur aléatoire se doit de 
-% fournir  des nombres selon une \gls{distributionuniforme} (cf. glossaire). 
-% La dernière partie de cet article donne, 
-% dans le cas où le graphe d'itérations est fortement connexe, 
-% une condition nécessaire et suffisante pour que
-% cette propriété soit satisfaite.
-
-
-% Le chaos a été appliqué à des domaines variés en 
-% informatique, comme les fonctions de hachage,
-% la stéganographie, la génération de nombres pseudo 
-% aléatoires\ldots
-% Toutes ces  applications  exploitent les  propriétés définissant des 
-% fonctions  chaotiques et énoncées par Devaney,  telles que la
-% transitivité, la régularité et la sensibilité aux conditions initiales.
-
-
-% Les systèmes dynamiques \emph{chaotiques} sont des processus itératifs 
-% définis par une fonction chaotique  $f$  d'un  domaine $E$ dans lui-même.
-% En démarrant d'un état quelconque $x$ du sytème, 
-% nommé par la suite \emph{configuration}, 
-% le système construit la séquence $x$, $f(x)$, $f^2(x)$, $f^3(x)$, \dots 
-% où $f^k(x)$  est le   $k^{\textrm{ème}}$ itéré  de  $f$ en  $x$.  
-% La plupart des applications informatiques dite \og chaotiques \fg{}
-% sont basées sur des processus itératifs de la forme $x^{n+1} = f(x^n)$
-% où $f$ est la fonction  \emph{tente} avec  $x^0 = 0,4001$ (donnée à la figure~\ref{fig:iter:tent}) 
-% ou la fonction  \emph{logistique} avec $\mu = 3,45$ et $x^0 = 0,1$ (donnée à la figure~\ref{fig:iter:log}) 
-% connues pour être chaotiques dans $\R$.
-
-% \begin{figure}[hb]
-% \begin{center}
-%     \subfloat[Fonction tente $f=\min\{x,\,1-x\}$]{
-%       \begin{minipage}{0.45\textwidth}
-%         \begin{center}
-%           \includegraphics[height=3cm]{images/tente.png}
-%         \end{center}
-%       \end{minipage}
-%       \label{fig:iter:tent}
-%     }
-%     \subfloat[Fonction logistique $f(x) =  \mu x (1 -x)$]{
-%       \begin{minipage}{0.45\textwidth}
-%         \begin{center}
-%           \includegraphics[height=3cm]{images/logistique.png}
-%         \end{center}
-%       \end{minipage}
-%       \label{fig:iter:log}
-%     }
-% \end{center}
-%  \caption{Systèmes itératifs basés sur des fonctions chaotiques dans $\R$ \label{fig:iter}}
-% \end{figure}
-
-
-% Cependant il n'a pas été établi que des fonctions prouvées
-% comme étant chaotiques sur $\R$ le restent sur les  nombres à virgule flottante,
-% qui est le domaine d'interprétation informatique des réels.  
-% On souhaite ainsi éviter une éventuelle perte des propriétés de chaos
-% lors de l'exécution des programmes implémentant ces fonctions. 
-% Ce document présente pour cela l'alternative suivante: 
-% à partir d'une fonction booléenne, $f: \Bool^n \rightarrow \Bool^n$, 
-% où $\Bool$ est le domaine des booléens  $\{0,1\}$, on
-% construit une fonction $G_f : \llbracket 1 ;  n \rrbracket^{\Nats}  \times \Bool^n$, 
-% où $\llbracket 1  ; n \rrbracket$ est l'ensemble des entiers
-% $\{1, 2, \hdots,  n\}$ et on itère celle-ci.
-% Comme $f$ est discrète, $G_f$ l'est aussi et les résultats théoriques
-% obtenus sur $G_f$, notamment sa chaoticité, sont maintenus durant 
-% l'implémentation.
-% Un exemple de fonction booléenne de $\Bool^n$ dans lui-même est la fonction négation 
-% définie par  
-% $\neg(x)=(\overline{x_1},\dots,\overline{x_n})$. 
-
-
-
-
-% De plus,  plutôt que de trouver des exemples de telles fonctions $f$, et de prouver 
-% (\textit{a  posteriori}) la chaoticité de $G_f$, on peut penser à caractériser  
-% les fonctions engendrant systématiquement des fonctions chaotiques.
-% Ce document présente une telle caractérisation 
-% qui s'exprime sur le graphe des itérations asynchrones
-% de la fonction booléenne $f$, qui est, intuitivement, le graphe 
-% de toutes les itérations possibles de la fonction. 
-% Cette situation se réduit en un problème portant sur des graphes à $2^n$  
-% sommets.  
-% Ainsi pour étendre l'applicabilité de cette caractérisation, on s'intéresse
-% au graphe des interactions de $f$, qui, intuitivement,
-% représente les dépendances entre les $f_i$, $1\le i \le n$ et les $i$
-% et qui ne contient que  $n$ sommets (et qui est à comparer aux $2^n$ 
-% sommets.
-% Sur ce graphe on exprime des conditions garantissant la chaoticité de la fonction $G_f$.
-% Ainsi, toutes les fonctions $G_f$ engendrées à partir d'un graphe
-% d'interactions de $f$ aux propriétés \textit{ad hoc} seront chaotiques.
-
-% Se pose enfin l'applicabilité des fonctions $G_f$ à la génération
-% de nombres pseudo aléatoires, l'aléa étant intuitivement 
-% une notion proche de celle du chaos.
-% Pour aborder cette classe de problèmes, on remarque que l'on doit au moins 
-% garantir que l'ensemble des valeurs retournées par l'algorithme suit
-% une loi uniforme, propriété qui n'est pas imposée d'un point de vue topologique.
-% Ce document montre que cette contrainte peut s'exprimer à nouveau sur le graphe des itérations asynchrones de $f$
-% et qu'on peut ainsi filtrer les bons candidats à la génération de nombres pseudo aléatoires.
-% Cette idée est validée après évaluation 
-% des générateurs de nombres pseudo aléatoires 
-% sur une batterie de tests.
-
-
-% Le reste de ce document est organisé comme suit. 
-% La section~\ref{section:chaos} présente ce qu'est un système dynamique discret booléen itérant une fonction $f$.
-% La chaoticité de la fonction engendrée $G_f$ est caractérisée en 
-% section~\ref{sec:charac}. 
-% Des conditions suffisantes pour obtenir cette chaoticité sont présentées  en
-% section~\ref{sec:sccg}.
-% L'application à la génération de nombres pseudo aléatoires est formalisée,
-% les fonctions dont l'image est uniformément distribuée sur le domaine sont
-% caractérisées et les générateurs sont évalués en section~\ref{sec:prng}.
-
-Dans  la section  suivante,  nous  rappelons les  notions  élémentaires sur  les
-systèmes   booléens.   La  section~\ref{section:caracterisation}   présente  les
-définitions théoriques liées au chaos. Ensuite, une application de ces résultats
-à    la   génération    de   nombres    pseudo-aléatoires   est    proposée   en
-section~\ref{section:genpa}  ainsi  qu'une   méthode  permettant  d'obtenir  des
-matrices         d'itérations         doublement        stochastiques         en
-section~\ref{section:genmat}.  Enfin, en section~\ref{section:expes}  la qualité
-du PRNG obtenu est éprouvée avec les tests standards du domaine.
-
-
-%%% Local Variables: 
-%%% mode: latex
-%%% TeX-master: "main"
-%%% End: 
+We have firstly proven in~\cite{bcgr11:ip} that, to establish the chaotic nature
+of algorithm $\textit{CIPRNG}_f^1$, it is necessary and sufficient that the 
+asynchronous iterations are strongly connected. We then have proven that it is necessary
+and sufficient that the Markov matrix associated to this graph is doubly stochastic,
+in order to have a uniform distribution of the outputs. We have finally established 
+sufficient conditions to guarantee the first property of connectivity. Among the 
+generated functions, we thus have considered for further investigations only the ones that
+satisfy the second property too. In~\cite{chgw14oip}, we have proposed an algorithmic 
+method allowing to directly obtain a strongly connected iteration graph having a doubly
+stochastic Markov matrix. 
+
+
+However, it cannot be directly deduced
+that $\chi_{\textit{14Secrypt}}$ is chaotic 
+since we do not output all the successive
+values of iterating $F_f$. 
+This algorithm only displays a
+subsequence $x^{b.n}$ of a whole chaotic sequence $x^{n}$ and
+it is indeed  definitively false that the chaos property is 
+preserved for any subsequence of a chaotic sequence.
+This article presents conditions to preserve this property.
+
+An approach to generate a large class of chaotic functions has 
+been presented in~\cite{chgw14oip}.
+It is basically fourfold:
+first build a $\mathsf{N}$-cube, next remove an Hamiltonian cycle, further add self-loop
+on each vertex and finally, translate this into a Boolean map.
+We are then left to check whether this approach proposes maps with the required conditions 
+for the chaos. 
+The answer is indeed positive. The pseudorandom number generation can thus be seen as a
+random walk in a $\mathsf{N}$-cube without a Hamiltonian cycle.
+
+In the PRNG context, there remains to find which subsequence
+is theoretically and practically 
+sufficient to extract.
+A uniform distribution is indeed awaited and this 
+cannot be obtained in a walk in the hypercube
+with paths of short length $b$.
+However, the higher 
+is $b$  the slower is the 
+algorithm to generate pseudorandom
+numbers. 
+The  time  until the
+corresponding  Markov chain is close 
+to the uniform distribution is a metric
+that should be theoretically and practically studied.
+Finally, the ability of the approach to face classical 
+tests suite has to be evaluated.
+
+
+%A upper bound of this time  quadratic in the number of 
+%generated bits.
+
+
+The remainder of this article is organized as follows. The next section is devoted to 
+preliminaries, basic notations, and terminologies regarding Boolean map iterations.
+Then, in Section~\ref{sec:proofOfChaos}, Devaney's definition of chaos is recalled
+while the proofs of chaos of our most general PRNGs is provided. 
+This is the first major contribution.
+Section~\ref{sec:SCCfunc} shows how to generate functions with required properties 
+making the PRNG chaotic.
+The next section (Sect.~\ref{sec:hypercube}) defines the theoretical framework 
+to study the stopping-time, \textit{i.e.}, time until reaching
+a uniform distribution.
+This is the second major contribution.
+The Section~\ref{sec:prng} gives practical results on evaluating the PRNG against the NIST suite.
+This research work ends by a conclusion section, where the contribution is summarized and
+intended future work is outlined.
