X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/rairo15.git/blobdiff_plain/c8b7da5a49ee32f19091be950c39633b20b344e3..e61474ab27a007c2d18a49336c3f7f91d889a444:/conclusion.tex?ds=inline

diff --git a/conclusion.tex b/conclusion.tex
index af0400f..0b51092 100644
--- a/conclusion.tex
+++ b/conclusion.tex
@@ -1,17 +1,35 @@
-Dans cet  article, nous avons montré  qu'une fonction $G_f$ est  chaotique si et
-seulement  la  fonction  booléenne  $f$  a  un  graphe  d'itérations  chaotiques
-fortement  connexe.  L'originalité  majeure repose  sur le  type d'itérations
-considéré,  qui  n'est pas  limité  à  la mise  à  jour  d'un  seul élément  par
-itération, mais qui est étendu à la mise à jour simultanée de plusieurs éléments
-du système  à chaque itération.  De plus,  il a été  prouvé que la  sortie d'une
-telle  fonction suit  une loi  de distribution  uniforme si  et seulement  si la
-chaîne de Markov  induite peut se représenter à  l'aide d'une matrice doublement
-stochastique.   Enfin, un  algorithme permettant  d'engendrer des  fonctions qui
-vérifient ces deux contraintes a été  présenté et évalué.  Ces fonctions ont été
-ensuite  appliquées avec succès  à la  génération de  nombres pseudo-aléatoires.
-Les  expériences  sur  une  batterie  de  tests éprouvée  ont  pu  confirmer  la
-pertinence de l'approche théorique.
+% Dans cet  article, nous avons montré  qu'une fonction $G_f$ est  chaotique si et
+% seulement  la  fonction  booléenne  $f$  a  un  graphe  d'itérations  chaotiques
+% fortement  connexe.  L'originalité  majeure repose  sur le  type d'itérations
+% considéré,  qui  n'est pas  limité  à  la mise  à  jour  d'un  seul élément  par
+% itération, mais qui est étendu à la mise à jour simultanée de plusieurs éléments
+% du système  à chaque itération.  De plus,  il a été  prouvé que la  sortie d'une
+% telle  fonction suit  une loi  de distribution  uniforme si  et seulement  si la
+% chaîne de Markov  induite peut se représenter à  l'aide d'une matrice doublement
+% stochastique.   Enfin, un  algorithme permettant  d'engendrer des  fonctions qui
+% vérifient ces deux contraintes a été  présenté et évalué.  Ces fonctions ont été
+% ensuite  appliquées avec succès  à la  génération de  nombres pseudo-aléatoires.
+% Les  expériences  sur  une  batterie  de  tests éprouvée  ont  pu  confirmer  la
+% pertinence de l'approche théorique.
+% 
 
+In this article, we have proven that the most general chaotic iterations based PRNG, which embeds 
+an iteration function, satisfies in some cases the property of chaos 
+as defined by Devaney. We then have shown how to generate such functions together 
+with the related number of iterations, leading to strongly connected
+iteration graphs and thus to chaos for the associated pseudorandom number generators. 
+By removing some paths in the hypercube, we then have provided examples of such graphs
+that lead to chaos, while linking these graphs to the PRNG problem under consideration.
+
+In future work, we intend to understand the link between succeeded or failed statistical tests
+and the properties of chaos for the associated asynchronous iterations. By doing so,
+relations between desired statistically unbiased behaviors and topological properties will be
+understood, leading to better choices in iteration functions. Conditions allowing the
+reduction of the mixing time will be investigated too, while other modifications of the hypercube
+will be regarded in order to enlarge the set of known chaotic and random asynchronous 
+iterations.
+
+% 
 %%% Local Variables: 
 %%% mode: latex
 %%% TeX-master: "main"