-by the community to the benefit of more recent notions of chaos, as
-they are detailed in the following paragraphs.
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-%\subsection*{Approche type Devaney/Knudsen}
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-%\frame{
-% \frametitle{Les approches Devaney et Knudsen}
-% \begin{block}{3 propriétés pour de l'imprévisibilité}
-% \begin{enumerate}
-% \item \emph{Indécomposabilité.} On ne doit pas pouvoir simplifier le système
-% \begin{itemize}
-% \item Impossible de diviser pour régner
-% \item Des orbites doivent visiter tout l'espace
-% \end{itemize}
-% \item \emph{Élément de régularité.}
-% \begin{itemize}
-% \item Contrecarre l'effet précédent
-% \item Des points proches \textit{peuvent} se comporter complètement différemment
-% \end{itemize}
-% \item \emph{Sensibilité.} Des points proches \textit{peuvent} finir éloignés
-% \end{enumerate}
-% \end{block}
-%}
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-%\frame{
-% \frametitle{Exemple : définition de Devaney}
-%\begin{enumerate}
-%\item \emph{Transitivité:} Pour chaque couple d'ouverts non vides $A,B \subset \mathcal{X}$, il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $f^{(k)}(A)\cap B \neq \varnothing$
-%\item \emph{Régularité:} Les points périodiques sont denses
-%\item \emph{Sensibilité aux conditions initiales:} Il existe $\varepsilon>0$ tel que $$\forall x \in \mathcal{X}, \forall \delta >0, \exists y \in \mathcal{X}, \exists n \in \mathbb{N}, d(x,y)<\delta \textrm{ et } d(f^{(n)}(x),f^{(n)}(y)) \geqslant \varepsilon$$
-%\end{enumerate}
-%}
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-%\frame{
-% \frametitle{Systèmes intrinsèquement compliqués}
-% \begin{block}{Définitions de l'indécomposabilité}
-% \begin{itemize}
-% \item \emph{Indécomposable}: pas la réunion de deux parties non vides, fermées et t.q. $f(A) \subset A$
-% \item \emph{Totalement transitive}: $\forall n \geqslant 1$, l'application composée $f^{(n)}$ est transitive.
-% \item \emph{Fortement transitif}:
-%$\forall x,y \in \mathcal{X},$ $\forall r>0,$ $\exists z \in B(x,r),$ $\exists n \in \mathbb{N},$ $f^{(n)}(z)=y.$
-% \item \emph{Topologiquement mélangeant}: pour toute paire d'ouverts disjoints et non vides $U$ et $V$, il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geqslant n_0, f^{(n)}(U) \cap V \neq \varnothing$.
-% \end{itemize}
-% \end{block}
-%}
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-%\frame{
-%\frametitle{Stabilité et expansivité}
-% \begin{block}{Définitions de la sensibilité}
-% \begin{itemize}
-% \item $(\mathcal{X},f)$ est \emph{instable} si tous ses points le sont: $\forall x \in \mathcal{X},$ $\exists \varepsilon >0,$ $\forall \delta > 0,$ $\exists y \in \mathcal{X},$ $\exists n \in \mathbb{N},$ $d(x,y)<\delta$ et $d(f^{(n)}(x),f^{(n)}(y)) \geqslant \varepsilon$
-% \item $(\mathcal{X},f)$ est \emph{expansif} si
-%$\exists \varepsilon >0,$ $\forall x \neq y,$ $\exists n \in \mathbb{N},$ $d(f^{(n)}(x),f^{(n)}(y)) \geqslant \varepsilon$
-% \end{itemize}
-% \end{block}
-%}
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-%%\frame{
-%% \frametitle{Des systèmes imprévisibles}
-%% \begin{block}{Définitions des systèmes dynamiques désordonnés}
-%% \begin{itemize}
-%% \item \emph{Devaney:} $(\mathcal{X},f)$ est sensible aux conditions initiales, régulier et transitif
-%% \item \emph{Wiggins:} $(\mathcal{X},f)$ est transitif et sensible aux conditions initiales
-%% \item \emph{Knudsen:} $(\mathcal{X},f)$ a une orbite dense et s'il est sensible aux conditions initiales
-%% \item \emph{expansif:} $(\mathcal{X},f)$ est transitif, régulier et expansif
-%% \end{itemize}
-%% \end{block}
-%%}
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-%\subsection*{Autres approches}
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-%\frame{
-% \frametitle{Selon Li et Yorke}
-% \begin{block}{Définitions}
-% \begin{description}
-%\item[Couple de Li-Yorke.] $(x,y)$ en est un quand: $\limsup_{n \rightarrow +\infty} d(f^{(n)}(x), f^{(n)}(y))>0$ et $\liminf_{n \rightarrow +\infty} d(f^{(n)}(x), f^{(n)}(y))=0.$
-
-%\item[Ensemble brouillé.] $B \subset \mathcal{X}$ en est un si tout couple de points distincts de $B$ est de Li-Yorke.
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-%\item[Systèmes de Li-Yorke.] $\mathcal{X}$ est compact et contient un ensemble brouillé indénombrable.
-%\end{description}
-%\end{block}
-%}
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-%\frame{
-% \frametitle{Approche entropie topologique}
-% \begin{block}{Entropie topologique}
-% \begin{itemize}
-% \item $x,y \in \mathcal{X}$ sont ~$\varepsilon-$\emph{séparés en temps $n$} s'il existe $k \leqslant n$ tel que $d\left(f^{(k)}(x),f^{(k)}(y)\right)>\varepsilon$.
-% \item Les ensembles $(n,\varepsilon)-$séparé sont des ensembles de points qui seront tous $\varepsilon-$séparés en temps $n$
-% \item $s_n(\varepsilon,Y)$: cardinal maximal d'un ensemble $(n,\varepsilon)-$séparé $$h_{top}(\mathcal{X},f) = \displaystyle{\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \Big[ \limsup_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} \log s_n(\varepsilon,\mathcal{X})\Big]}$$
-% \end{itemize}
-% \end{block}
-%}
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-%\frame{
-% \frametitle{Exposant de Lyapunov}
-%\begin{block}{L'exposant de Lyapunov}
-%$$\lambda(x^0) = \displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln \left| ~f'\left(x^{i-1}\right)\right|}$$
-%Il doit être positif pour multiplier les erreurs
-%\end{block}
-%}
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-%\subsection*{Etude des systèmes itératifs}
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-%%\frame{
-%% \frametitle{IC et propriété de Devaney}
-%%\begin{alertblock}{Théorème}
-%%$G_{f_0}$ est régulier et transitif (Devaney).
-
-%%Sa sensibilité est $\geqslant \mathsf{N}-1$.
-%%\end{alertblock}
-
-%%\uncover<2->{
-%% \begin{exampleblock}{Question}
-%% $f_0$ est-elle la seule fonction dont le système itératif vérifie la condition de Devaney ?
-%% \end{exampleblock}
-%%
-%% \vspace{0.5cm}
-
-%%Pour y répondre, nous avons utilisé le graphe de tous les possibles par itérations chaotiques : le GTPIC.}
-%%}
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-%%\frame{
-%% \frametitle{Nombre de fonctions imprévisibles}
-%% \begin{alertblock}{Caractérisation des IC imprévisibles selon Devaney}
-%%$G_f$ vérifie l'hypothèse de Devaney $\Leftrightarrow$ Son graphe des possibles est fortement connexe.
-
-%%$\Rightarrow$ Il y a $\left(2^\mathsf{N}\right)^{2^\mathsf{N}}$ IC chaotiques.
-%%\end{alertblock}
-%%}
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-%\frame{
-% \frametitle{Etude topologique}
-% \begin{exampleblock}{Etude topologique des ICs}
-% \begin{itemize}
-% \item $\forall f \in \mathcal{C}$, $Per\left(G_f\right)$ est infini dénombrable, $G_f$ est fortement transitive, est chaotique selon Knudsen,
-% \item $\left(\mathcal{X}, G_{f_0}\right)$ est topologiquement mélangeant, expansif (constante 1), est chaotique selon Li-Yorke, a une entropie topologique infinie, un exposant de Lyapunov de $ln(\mathsf{N})$
-% \item Indécomposabilité, instabilité, chaos de Wiggins, de la multiplicité des périodes...
-% \end{itemize}
-% \end{exampleblock}
-%}
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-%\frame{
-% \frametitle{Graphe de tous les possibles par IC}
-% \begin{center}
-% \includegraphics[scale=0.55]{14.Caracterisation_des_IC_chaotiques_selon_Devaney/grapheTPICver2.pdf}
-% \end{center}
-%}
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