devaney.tex

   1 \begin{block}{Définition d'une fonction chaotique selon Devaney}
   2 Soit $(\mathcal{X}; d)$ un espace métrique.
   3 Une fonction $f: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}$ est chaotique sur $\mathcal{X}$ si:
   4 \begin{enumerate}
   5 \item $f$: topologiquement transitive (\textit{i.e.}, système indécomposable)\\
   6 (pour chaque paire d'ensembles ouverts $U,V \subset \mathcal{X}$, $\exists k > 0 .
   7 f^k (U) \cap V \neq \emptyset$)
   8 \\
   9 \item  $f$ est régulière (l'ensemble des points périodiques est dense dans $\mathcal{X}$).
  10 \item  $f$: sensible aux conditions initiales \\
  11 ($
  12 \exists \delta  > 0 .  \forall x \in  \mathcal{X}
  13 \textrm{ and }
  14 \forall V \textrm{ voisin de $x$}.
  15 \exists y \in V \textrm{ et }
  16 \exists n \ge 0 .
  17 d(f^n(x); f^n(y))> \delta
  18 $)\\
  19 \end{enumerate}
  20 \end{block}