+L'algorithme de Jacobi est une des plus simples méthodes de résolutions d'un système d'équations linéaires [3,4].
+
+Soit le système d'équations linéaires suivant :
+
+\begin{equation}
+\label{eq:2}
+Ax = b
+\end{equation}
+où :
+
+\begin{tabbing}
+\hspace{2cm}\=\kill
+ \> A est une matrice carrée réelle creuse inversible de taille n, \\
+ \> x le vecteur inconnu de taille n, \\
+ \> et b un vecteur constant.\\
+\end{tabbing}
+
+Ainsi, \eqref{eq:2} peut s'écrire :
+
+\begin{equation*}
+ \left(\begin{array}{ccc}
+ a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\
+ \vdots & \ddots & \vdots\\
+ a_{n,1} & \cdots & a_{n,n}
+ \end{array} \right)
+ \times
+ \left(\begin{array}{c}
+ x_1 \\
+ \vdots\\
+ x_n
+ \end{array} \right)
+ =
+ \left(\begin{array}{c}
+ b_1 \\
+ \vdots\\
+ b_n
+ \end{array} \right)
+\end{equation*}
+
+Notons : \\
+D la matrice carrée de taille n formée par la diagonale de A. On suppose qu'aucun élément $a_{i,i}$ n'est égal à 0. \\
+L (resp. U) la matrice carrée de taille n formée par les éléments du bas (resp. haut) de A.\\
+On a donc :
+
+\begin{equation*}
+D=\left( \begin{array}{ccc}
+a_{1,1} & \cdots & 0 \\
+\vdots & \ddots & \vdots \\
+0 & \cdots & a_{n,n}
+\end{array}\right)
+\space
+, \hspace{0,1cm}L=\left( \begin{array}{ccc}
+0 & \cdots & 0 \\
+\vdots & \ddots & \vdots \\
+a_{n,1} & \cdots & 0
+\end{array}\right)
+\space
+et \hspace{0,2cm}U=\left( \begin{array}{ccc}
+0 & \cdots & a_{1,n} \\
+\vdots & \ddots & \vdots \\
+0 & \cdots & 0
+\end{array}\right)
+\end{equation*}
+
+Comme A = D + (L + U) et si $D^{-1}$ est l'inverse de la matrice diagonale D, on peut écrire :
+
+\begin{equation*}
+Ax = b \Leftrightarrow ( D + L + U )x = b
+\end{equation*}
+
+\begin{equation*}
+\Leftrightarrow Dx = -(L+U)x + b
+\end{equation*}
+
+\begin{equation}
+\label{eq:3}
+\Leftrightarrow ( x = D^{-1} \times [-(L+U)] x + D^{-1} b)
+\end{equation}
+Cette dernière égalité est l'equation $du point fixe$. L'algorithme itératif de Jacobi Figure~\ref{algo:01} (version séquentielle) et ses variantes découle de cette équation [4]. Si $x^{(k)}$ est la valeur approchée du vecteur inconnu à l'itération $k$, on a d'après \eqref{eq:3} avec un $x^{0}$ initial donné :
+
+\begin{equation}
+x^{(k+1)} = D^{-1} \times [-(L+U)] x^{(k)} + D^{-1} b
+\end{equation}
+
+\begin{figure}[!t]
+\begin{algorithmic}[1]
+\Input $A_{ij}$ (Matrice d'entrée), $b_{i}$ (Vecteur du membre droit), $n$ (Taille des vecteurs) et des matrices, $xOld_{i}$ (vecteur solution à l'itération précédente)
+\Output $x_{i}$ (Vecteur solution)\medskip
+
+\State Charger $A_{ij}$, $b_{i}$, $n$,
+\State Assigner la valeur initiale $x^0$
+\State \textbf{repeat} {jusqu'à l'obtention de la condition de convergence} \textbf{do}
+\For {$i=0,1,2,\ldots (n-1)$}
+\State $x_i \leftarrow 0$
+\For {$j=0,1,2,\ldots (n-1) \hspace{0.1cm} et \hspace{0.1cm} j \neq i$}
+\State $x_{i} \leftarrow x_{i} + A_{ij} \times xOld_{j}$
+\EndFor
+\For {$i=0,1,2,\ldots (n-1)$}
+\State $xOld_{i} \leftarrow ( b_{i} - x_{i} ) \quad {/} \quad A_{ii}$
+\EndFor
+\EndFor
+\State \textbf{end repeat}
+
+\Statex
+\end{algorithmic}
+\caption{Algorithme itératif de Jacobi}
+\label{algo:01}
+\end{figure}
+
+La condition de convergence est déterminée au début du traitement. La méthode permet de passer à large échelle en distribuant l'exécutuion de l'algorithme sur un environnement de grille de calcul.
