\section{Modèle d'image bruitée}
On considère qu'une image observée, de largeur $L$ pixels et de hauteur $H$ pixels, est un ensemble de $N=LH$ observations sur un domaine $\Omega$ à deux dimensions ($\Omega \subset \mathbb{Z}^2$). À chaque élément de $\Omega$, aussi appelé \textit{pixel}, est associé un indice unique $k \in [\![1;N]\!]$, une position $x_k \in\Omega$ et une valeur observée $v_k$. Chaque position $x_k$ peut aussi être représenté par ses coordonnées cartésiennes $(i,j)$. 
La valeur observée peut, selon les cas, être de dimension $1$ pour les images représentées en niveaux de gris ou de dimension 3 pour les images couleur représentées au format RVB. Les dimensions supérieures, pour la représentation des images hyperspectrales ne sont pas abordées dans ce manuscrit.
L'image observée peut ainsi être considérée comme un vecteur à $N$ éléments $\bar{v}= (v_k)_{k\in [\![1;N]\!]}$.
Les divers traitements appliqués aux images observées ont souvent pour but d'accéder aux informations contenues dans une image sous-jacente, débarrassée de toute perturbation, dont nous faisons l'hypothèse qu'elle partage le même support $\Omega$ et que nous notons $\bar{u}$. L'estimation de $\bar{u}$ réalisée par ces traitements est notée $\widehat{\bar{u}} = (\widehat{u}_k)_{k\in [\![1;N]\!]}$.
Le lien entre $\bar{u}$ et $\bar{v}$ peut être exprimé, par exemple dans le cas de bruit additif, par la relation $\bar{v}=\bar{u}+\epsilon$, où $\epsilon \in \mathbb{R}^N$, de valeur moyenne nulle et de variance $\epsilon^2$, représente le modèle de perturbation appliquée à $\bar{u}$ et qui a mené à l'observation de $\bar{v}$.
Dans le cas général, $\epsilon$ dépend de $\bar{u}$ et est caractérisé par la densité de probabilité (PDF pour Probability Density Function) $p(v|u)$.

\section{Modèles de bruit}\label{sec_bruits}
\subsection{Le bruit gaussien}
Le bruit gaussien est historiquement le plus étudié et celui auquel sont dédiées le plus de techniques de débruitage.
La génération des images numériques au travers des capteurs CMOS et CCD  est le siège de nombreuses perturbations dues à la technologie de fabrication et à la nature du rayonnement dont ils mesurent l'intensité en différents zones de leur surface, appelées \textit{photosites} \cite{mancuso2001introduction,theuwissen2001ccd}.
On distingue en particulier les bruits suivants selon leur origine physique :
\begin{itemize}
\item la non uniformité de réponse des photosites.
\item le bruit de photon
\item le bruit de courant d'obscurité
\item le bruit de lecture
\item le bruit de non uniformité d'amplification des photosites.
\end{itemize}
On trouve des descriptions détaillées des mécanismes concourant à la génération de ces bruits, entre autres dans \cite{healey1994radiometric} et \cite{kodakccd}.  
Dans un certain intervalle usuel d'intensité lumineuse, il est toutefois admis que l'ensemble de ces perturbations peut être représenté par un seul bruit blanc gaussien, de type \textit{additif} (AWGN, Additive White Gaussian Noise), dont la densité de probabilité suit une loi normale de moyenne nulle et de variance $\sigma^2$.
On a alors l'expression suivante, où $\sigma >0$ 
\[p(v|u)=\frac{1}{\sqrt{2}\pi\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(v-u)^2}{2\sigma^2}}\]

\subsection{Le speckle}
En imagerie active radar ou ultrasonore (échographique), les surfaces que l'on veut observer sont \og éclairées \fg{} par des sources cohérentes. Les propriétés locales de ces surfaces sont le siège de réflexions multiples qui interfèrent entre elles pour générer un bruit de tavelures, ou speckle, dont l'intensité est liée, entre autres, à la reflexivité de la scène observée et à l'incidence du signal source.
Le speckle est ainsi un bruit de type \textit{multiplicatif} qui confère aux observations une très grande variance, laquelle peut être réduite, pour une scène donnée, par moyennage de  plusieurs observations, ou vues. 
Si $L$ est le nombre de vues, le speckle est traditionnellement modélisé par la PDF Gamma suivante :
\[p(v \mid u)=\frac{L^2v^{(L-1)}\mathrm{e}^{-L\frac{v}{u}}}{\Gamma (L)u^L} \]
L'espérance vaut $\mathrm{E}\left[v\right]=u$ et la variance $\sigma^2=\frac{u^2}{L}$ est effectivement inversement proportionnelle à $L$, mais pour le cas mono vue où $L=1$, la variance vaut $u^2$, soit un écart type du signal $v$ égal à sa moyenne.

\subsection{Le bruit \og sel et poivre \fg{}}
Le bruit \textit{sel et poivre}, ou bruit \textit{impulsionnel} trouve son origine dans les pixels défectueux des capteurs ou dans les erreurs de transmission. Il tire son nom de l'aspect visuel de la dégradation qu'il produit : des pixels noirs et blancs répartis dans l'image.
Le bruit impulsionnel se caractérise par la probabilité $P$ d'un pixel d'être corrompu. La PDF peut alors être exprimée par parties comme suit, pour le cas d'images en 256 niveaux de gris (8 bits) :

\[p(v \mid u)=
\begin{cases}
\frac{P}{2}+(1-P) & \text{si $v=0$ et $u=0$}\\
\frac{P}{2}+(1-P) & \text{si $v=255$ et $u=255$}\\
\frac{P}{2}       & \text{si $v=0$ et $u \neq 0$}\\
\frac{P}{2}       & \text{si $v=255$ et $u \neq 255$}\\
(1-P)             & \text{si $v=u$ et $u \notin \{0, 255\}$}\\
0                 & sinon
\end{cases}
 \]  

\subsection{Le bruit de Poisson}
Aussi appelé \textit{bruit de grenaille} (shot noise), ce type de bruit est inhérent aux dispositifs de détection des photons. Dans des conditions de faible éclairement, toute variation du petit nombre de photons reçus par un photosite dans l'intervalle d'intégration peut induire de grandes variations de la valeur moyenne.
Le bruit de grenaille est de type multiplicatif et suit une loi de Poisson. La PDF peut s'écrire comme suit :
\[ p(v \mid u)=\mathrm{e}\frac{u^v}{v!}\]

