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@@ -1,9 +1,9 @@
 \section{Modèle d'image bruitée}
 \section{Modèle d'image bruitée}

-On considère qu'une image observée, de largeur $L$ pixels et de hauteur $H$ pixels, est un ensemble de $N=LH$ observations sur un domaine $\Omega$ à deux dimensions ($\Omega \subset \mathbb{Z}^2$). À chaque élément de $\Omega$, aussi appelé \textit{pixel}, est associé un indice unique $k \in [\![1;N]\!]$, une position $x_k=(i,j)_k \in\Omega$ et une valeur observée $v_k=v(i,j)_k$.
+On considère qu'une image observée, de largeur $L$ pixels et de hauteur $H$ pixels, est un ensemble de $N=LH$ observations sur un domaine $\Omega$ à deux dimensions ($\Omega \subset \mathbb{Z}^2$). À chaque élément de $\Omega$, aussi appelé \textit{pixel}, est associé un indice unique $k \in [\![1;N]\!]$, une position $x_k \in\Omega$ et une valeur observée $v_k$. Chaque position $x_k$ peut aussi être représenté par ses coordonnées cartésiennes $(i,j)$. 

 La valeur observée peut, selon les cas, être de dimension $1$ pour les images représentées en niveaux de gris ou de dimension 3 pour les images couleur représentées au format RVB. Les dimensions supérieures, pour la représentation des images hyperspectrales ne sont pas abordées dans ce manuscrit.
 L'image observée peut ainsi être considérée comme un vecteur à $N$ éléments $\bar{v}= (v_k)_{k\in [\![1;N]\!]}$.
 Les divers traitements appliqués aux images observées ont souvent pour but d'accéder aux informations contenues dans une image sous-jacente, débarrassée de toute perturbation, dont nous faisons l'hypothèse qu'elle partage le même support $\Omega$ et que nous notons $\bar{u}$. L'estimation de $\bar{u}$ réalisée par ces traitements est notée $\widehat{\bar{u}} = (\widehat{u}_k)_{k\in [\![1;N]\!]}$.
 La valeur observée peut, selon les cas, être de dimension $1$ pour les images représentées en niveaux de gris ou de dimension 3 pour les images couleur représentées au format RVB. Les dimensions supérieures, pour la représentation des images hyperspectrales ne sont pas abordées dans ce manuscrit.
 L'image observée peut ainsi être considérée comme un vecteur à $N$ éléments $\bar{v}= (v_k)_{k\in [\![1;N]\!]}$.
 Les divers traitements appliqués aux images observées ont souvent pour but d'accéder aux informations contenues dans une image sous-jacente, débarrassée de toute perturbation, dont nous faisons l'hypothèse qu'elle partage le même support $\Omega$ et que nous notons $\bar{u}$. L'estimation de $\bar{u}$ réalisée par ces traitements est notée $\widehat{\bar{u}} = (\widehat{u}_k)_{k\in [\![1;N]\!]}$.

-Le lien entre $\bar{u}$ et $\bar{v}$ peut être exprimé par la relation $\bar{v}=\bar{u}+\sigma\epsilon$, où $\epsilon \in \mathbb{R}^N$ représente le modèle de perturbation appliquée à $\bar{u}$ et $\sigma$ représente la puissance de cette perturbation qui a mené à l'observation de $\bar{v}$.
+Le lien entre $\bar{u}$ et $\bar{v}$ peut être exprimé, par exemple dans le cas de bruit additif, par la relation $\bar{v}=\bar{u}+\epsilon$, où $\epsilon \in \mathbb{R}^N$, de valeur moyenne nulle et de variance $\epsilon^2$, représente le modèle de perturbation appliquée à $\bar{u}$ et qui a mené à l'observation de $\bar{v}$.

 Dans le cas général, $\epsilon$ dépend de $\bar{u}$ et est caractérisé par la densité de probabilité (PDF pour Probability Density Function) $p(v|u)$.
 
 \section{Modèles de bruit}\label{sec_bruits}
 Dans le cas général, $\epsilon$ dépend de $\bar{u}$ et est caractérisé par la densité de probabilité (PDF pour Probability Density Function) $p(v|u)$.
 
 \section{Modèles de bruit}\label{sec_bruits}


@@ -24,9 +24,9 @@ On a alors l'expression suivante, où $\sigma >0$
 \[p(v|u)=\frac{1}{\sqrt{2}\pi\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(v-u)^2}{2\sigma^2}}\]
 
 \subsection{Le speckle}
 \[p(v|u)=\frac{1}{\sqrt{2}\pi\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(v-u)^2}{2\sigma^2}}\]
 
 \subsection{Le speckle}

-En imagerie radar, sonar ou médicale, les surfaces que l'on veut observer sont \og éclairées \fg{} par des sources cohérentes. Les propriétés locales de ces surfaces sont le siège de réflexions multiples qui interfèrent entre elles pour générer un bruit de tavelures, ou speckle, dont l'intensité dépend de l'information contenue dans le signal observé.
+En imagerie active radar ou ultrasonore (échographique), les surfaces que l'on veut observer sont \og éclairées \fg{} par des sources cohérentes. Les propriétés locales de ces surfaces sont le siège de réflexions multiples qui interfèrent entre elles pour générer un bruit de tavelures, ou speckle, dont l'intensité est liée, entre autres, à la reflexivité de la scène observée et à l'incidence du signal source.

 Le speckle est ainsi un bruit de type \textit{multiplicatif} qui confère aux observations une très grande variance, laquelle peut être réduite, pour une scène donnée, par moyennage de  plusieurs observations, ou vues. 
 Le speckle est ainsi un bruit de type \textit{multiplicatif} qui confère aux observations une très grande variance, laquelle peut être réduite, pour une scène donnée, par moyennage de  plusieurs observations, ou vues. 

-Si $L$ est le nombre de vues, le speckle est traditionnellement modélisé par la PDF suivante :
+Si $L$ est le nombre de vues, le speckle est traditionnellement modélisé par la PDF Gamma suivante :

 \[p(v \mid u)=\frac{L^2v^{(L-1)}\mathrm{e}^{-L\frac{v}{u}}}{\Gamma (L)u^L} \]
 L'espérance vaut $\mathrm{E}\left[v\right]=u$ et la variance $\sigma^2=\frac{u^2}{L}$ est effectivement inversement proportionnelle à $L$, mais pour le cas mono vue où $L=1$, la variance vaut $u^2$, soit un écart type du signal $v$ égal à sa moyenne.
 
 \[p(v \mid u)=\frac{L^2v^{(L-1)}\mathrm{e}^{-L\frac{v}{u}}}{\Gamma (L)u^L} \]
 L'espérance vaut $\mathrm{E}\left[v\right]=u$ et la variance $\sigma^2=\frac{u^2}{L}$ est effectivement inversement proportionnelle à $L$, mais pour le cas mono vue où $L=1$, la variance vaut $u^2$, soit un écart type du signal $v$ égal à sa moyenne.
 


@@ -46,7 +46,7 @@ Le bruit impulsionnel se caractérise par la probabilité $P$ d'un pixel d'être
  \]  
 
 \subsection{Le bruit de Poisson}
  \]  
 
 \subsection{Le bruit de Poisson}

-Aussi appelé \textit{bruit de grenaille} (shot noise), ce type de bruit est inhérent aux dispositifs de détection des photons. Il devient prépondérant dans des conditions de faible éclairement, lorsque la variabilité naturelle du nombre de photons reçus par un photosite par intervalle d'intégration influe sur les propriétés statistiques du signal.
+Aussi appelé \textit{bruit de grenaille} (shot noise), ce type de bruit est inhérent aux dispositifs de détection des photons. Dans des conditions de faible éclairement, toute variation du petit nombre de photons reçus par un photosite dans l'intervalle d'intégration peut induire de grandes variations de la valeur moyenne.

 Le bruit de grenaille est de type multiplicatif et suit une loi de Poisson. La PDF peut s'écrire comme suit :
 \[ p(v \mid u)=\mathrm{e}\frac{u^v}{v!}\]
 
 Le bruit de grenaille est de type multiplicatif et suit une loi de Poisson. La PDF peut s'écrire comme suit :
 \[ p(v \mid u)=\mathrm{e}\frac{u^v}{v!}\]