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 \section{ModÃ¨le d'image bruitÃ©e}
-On considÃ¨re qu'une image observÃ©e, de largeur $L$ pixels et de hauteur $H$ pixels, est un ensemble de $N=LH$ observations sur un domaine $\Omega$ Ã  deux dimensions ($\Omega \subset \mathbb{Z}^2$). Ã chaque Ã©lÃ©ment de $\Omega$, aussi appelÃ© \textit{pixel}, est associÃ© un indice unique $k \in [\![1;N]\!]$, une position $x_k=(i,j)_k \in\Omega$ et une valeur observÃ©e $v_k=v(i,j)_k$.
+On considÃ¨re qu'une image observÃ©e, de largeur $L$ pixels et de hauteur $H$ pixels, est un ensemble de $N=LH$ observations sur un domaine $\Omega$ Ã  deux dimensions ($\Omega \subset \mathbb{Z}^2$). Ã chaque Ã©lÃ©ment de $\Omega$, aussi appelÃ© \textit{pixel}, est associÃ© un indice unique $k \in [\![1;N]\!]$, une position $x_k \in\Omega$ et une valeur observÃ©e $v_k$. Chaque position $x_k$ peut aussi Ãªtre reprÃ©sentÃ© par ses coordonnÃ©es cartÃ©siennes $(i,j)$. 
 La valeur observÃ©e peut, selon les cas, Ãªtre de dimension $1$ pour les images reprÃ©sentÃ©es en niveaux de gris ou de dimension 3 pour les images couleur reprÃ©sentÃ©es au format RVB. Les dimensions supÃ©rieures, pour la reprÃ©sentation des images hyperspectrales ne sont pas abordÃ©es dans ce manuscrit.
 L'image observÃ©e peut ainsi Ãªtre considÃ©rÃ©e comme un vecteur Ã  $N$ Ã©lÃ©ments $\bar{v}= (v_k)_{k\in [\![1;N]\!]}$.
 Les divers traitements appliquÃ©s aux images observÃ©es ont souvent pour but d'accÃ©der aux informations contenues dans une image sous-jacente, dÃ©barrassÃ©e de toute perturbation, dont nous faisons l'hypothÃ¨se qu'elle partage le mÃªme support $\Omega$ et que nous notons $\bar{u}$. L'estimation de $\bar{u}$ rÃ©alisÃ©e par ces traitements est notÃ©e $\widehat{\bar{u}} = (\widehat{u}_k)_{k\in [\![1;N]\!]}$.
-Le lien entre $\bar{u}$ et $\bar{v}$ peut Ãªtre exprimÃ© par la relation $\bar{v}=\bar{u}+\sigma\epsilon$, oÃ¹ $\epsilon \in \mathbb{R}^N$ reprÃ©sente le modÃ¨le de perturbation appliquÃ©e Ã  $\bar{u}$ et $\sigma$ reprÃ©sente la puissance de cette perturbation qui a menÃ© Ã  l'observation de $\bar{v}$.
+Le lien entre $\bar{u}$ et $\bar{v}$ peut Ãªtre exprimÃ©, par exemple dans le cas de bruit additif, par la relation $\bar{v}=\bar{u}+\epsilon$, oÃ¹ $\epsilon \in \mathbb{R}^N$, de valeur moyenne nulle et de variance $\epsilon^2$, reprÃ©sente le modÃ¨le de perturbation appliquÃ©e Ã  $\bar{u}$ et qui a menÃ© Ã  l'observation de $\bar{v}$.
 Dans le cas gÃ©nÃ©ral, $\epsilon$ dÃ©pend de $\bar{u}$ et est caractÃ©risÃ© par la densitÃ© de probabilitÃ© (PDF pour Probability Density Function) $p(v|u)$.
 
 \section{ModÃ¨les de bruit}\label{sec_bruits}
@@ -24,9 +24,9 @@ On a alors l'expression suivante, oÃ¹ $\sigma >0$
 \[p(v|u)=\frac{1}{\sqrt{2}\pi\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(v-u)^2}{2\sigma^2}}\]
 
 \subsection{Le speckle}
-En imagerie radar, sonar ou mÃ©dicale, les surfaces que l'on veut observer sont \og Ã©clairÃ©es \fg{} par des sources cohÃ©rentes. Les propriÃ©tÃ©s locales de ces surfaces sont le siÃ¨ge de rÃ©flexions multiples qui interfÃ¨rent entre elles pour gÃ©nÃ©rer un bruit de tavelures, ou speckle, dont l'intensitÃ© dÃ©pend de l'information contenue dans le signal observÃ©.
+En imagerie active radar ou ultrasonore (Ã©chographique), les surfaces que l'on veut observer sont \og Ã©clairÃ©es \fg{} par des sources cohÃ©rentes. Les propriÃ©tÃ©s locales de ces surfaces sont le siÃ¨ge de rÃ©flexions multiples qui interfÃ¨rent entre elles pour gÃ©nÃ©rer un bruit de tavelures, ou speckle, dont l'intensitÃ© est liÃ©e, entre autres, Ã  la reflexivitÃ© de la scÃ¨ne observÃ©e et Ã  l'incidence du signal source.
 Le speckle est ainsi un bruit de type \textit{multiplicatif} qui confÃ¨re aux observations une trÃ¨s grande variance, laquelle peut Ãªtre rÃ©duite, pour une scÃ¨ne donnÃ©e, par moyennage de  plusieurs observations, ou vues. 
-Si $L$ est le nombre de vues, le speckle est traditionnellement modÃ©lisÃ© par la PDF suivante :
+Si $L$ est le nombre de vues, le speckle est traditionnellement modÃ©lisÃ© par la PDF Gamma suivante :
 \[p(v \mid u)=\frac{L^2v^{(L-1)}\mathrm{e}^{-L\frac{v}{u}}}{\Gamma (L)u^L} \]
 L'espÃ©rance vaut $\mathrm{E}\left[v\right]=u$ et la variance $\sigma^2=\frac{u^2}{L}$ est effectivement inversement proportionnelle Ã  $L$, mais pour le cas mono vue oÃ¹ $L=1$, la variance vaut $u^2$, soit un Ã©cart type du signal $v$ Ã©gal Ã  sa moyenne.
 
@@ -46,7 +46,7 @@ Le bruit impulsionnel se caractÃ©rise par la probabilitÃ© $P$ d'un pixel d'Ãªtre
  \]  
 
 \subsection{Le bruit de Poisson}
-Aussi appelÃ© \textit{bruit de grenaille} (shot noise), ce type de bruit est inhÃ©rent aux dispositifs de dÃ©tection des photons. Il devient prÃ©pondÃ©rant dans des conditions de faible Ã©clairement, lorsque la variabilitÃ© naturelle du nombre de photons reÃ§us par un photosite par intervalle d'intÃ©gration influe sur les propriÃ©tÃ©s statistiques du signal.
+Aussi appelÃ© \textit{bruit de grenaille} (shot noise), ce type de bruit est inhÃ©rent aux dispositifs de dÃ©tection des photons. Dans des conditions de faible Ã©clairement, toute variation du petit nombre de photons reÃ§us par un photosite dans l'intervalle d'intÃ©gration peut induire de grandes variations de la valeur moyenne.
 Le bruit de grenaille est de type multiplicatif et suit une loi de Poisson. La PDF peut s'Ã©crire comme suit :
 \[ p(v \mid u)=\mathrm{e}\frac{u^v}{v!}\]
 
