X-Git-Url: https://bilbo.iut-bm.univ-fcomte.fr/and/gitweb/these_qian.git/blobdiff_plain/00bb1f8de7321d28d6ee38d0841dd5f3a61a71f7..081840755bb6cc5ba3843b7830061c00079cd58e:/GeneralNotions.tex?ds=inline

diff --git a/GeneralNotions.tex b/GeneralNotions.tex
index 4cdb2aa..83ddf02 100644
--- a/GeneralNotions.tex
+++ b/GeneralNotions.tex
@@ -5,29 +5,29 @@
 Ce chapitre, faisant office de fondations pour cette thÃ¨se, introduit la terminologie et les notations utilisÃ©s dans le domaine des gÃ©nÃ©rateurs de nombres pseudo-alÃ©atoires.
 
 \section{ AlÃ©as}
-Une suite alÃ©atoire de bits peut sâinterprÃ©ter comme le rÃ©sultat de lancers dâune piÃ¨ce Ã©quilibrÃ©e (non-biaisÃ©e). On assimiler "Pile" Ã  "0" et  "face" Ã  "1", et lâon suppose que chaque lancer a une  probabilitÃ© $1/2$ exactement de produire un "0", et parcellement pour "1". On suppose de plus que les lancers sont indÃ©pendants les uns des autres: le rÃ©sultat nâimporte quel prÃ©cÃ©dent lancer nâaffecte pas les lancers Ã  venir. La piÃ¨ce sans biais et Ã©quitable est alors lâimage dâun gÃ©nÃ©rateur alÃ©atoire de bits parfait, puisque les " 0 " et "1" seront alÃ©atoirement distribuÃ©s. Tous les Ã©lÃ©ments de la suite sont gÃ©nÃ©rÃ©s indÃ©pendamment les uns des autres, et la valeur de l'Ã©lÃ©ment suivant dans la suite ne peut Ãªtre prÃ©dite Ã  partir de la suite des nombres dÃ©jÃ  obtenus, et ce quelle que soit la grandeur de cette suite. Cependant, clairement, l'utilisation de piÃ¨ces non biaisÃ©es Ã  des fins cryptographiques est impraticable en pratique. Quai quâil en soit, la sortie hypothÃ©tique d'un tel gÃ©nÃ©rateur idÃ©al de suites rÃ©ellement alÃ©atoire sert de critÃ¨re de comparaison (benchmark) pour l'Ã©valuation des gÃ©nÃ©rateurs de nombres alÃ©atoires et pseudo alÃ©atoires~\cite{ANDREW2008}.
+Une suite alÃ©atoire de bits peut sâinterprÃ©ter comme le rÃ©sultat de lancers dâune piÃ¨ce Ã©quilibrÃ©e (non-biaisÃ©e). On assimiler "Pile" Ã  "0" et  "face" Ã  "1", et lâon suppose que chaque lancer a une  probabilitÃ© $1/2$ exactement de produire un "0", et parcellement pour "1". On suppose de plus que les lancers sont indÃ©pendants les uns des autres: le rÃ©sultat nâimporte quel prÃ©cÃ©dent lancer nâaffecte pas les lancers Ã  venir. La piÃ¨ce sans biais et Ã©quitable est alors lâimage dâun gÃ©nÃ©rateur alÃ©atoire de bits parfait, puisque les " 0 " et "1" seront alÃ©atoirement distribuÃ©s. Tous les Ã©lÃ©ments de la suite sont gÃ©nÃ©rÃ©s indÃ©pendamment les uns des autres, et la valeur de l'Ã©lÃ©ment suivant dans la suite ne peut Ãªtre prÃ©dite Ã  partir de la suite des nombres dÃ©jÃ  obtenus, et ce quelle que soit la grandeur de cette suite~\cite{Deborah1998,Kallenberg1986}. Cependant, clairement, l'utilisation de piÃ¨ces non biaisÃ©es Ã  des fins cryptographiques est impraticable en pratique. Quai quâil en soit, la sortie hypothÃ©tique d'un tel gÃ©nÃ©rateur idÃ©al de suites rÃ©ellement alÃ©atoire sert de critÃ¨re de comparaison (benchmark) pour l'Ã©valuation des gÃ©nÃ©rateurs de nombres alÃ©atoires et pseudo alÃ©atoires~\cite{ANDREW2008}.
 
 \section{DiffÃ©rents types de gÃ©nÃ©rateurs de nombres alÃ©atoires (RNG)}
-Un RNG est un composant informatique ou physique, assemblÃ© pour produire une suite de nombres ou de symboles qui semble alÃ©atoires.
+Un RNG est un composant informatique ou physique, assemblÃ© pour produire une suite de nombres ou de symboles qui semble alÃ©atoires~\cite{William2007}.
 
 
 GÃ©nÃ©rer une bonne suite alÃ©atoires est une tÃ¢che difficile. On peut bien Ã©videmment obtenir une telle suite Ã  partir dâun lancer de clÃ©s ou dâune piÃ¨ce de monnaie, un tel procÃ¨de mÃ©canique nâest, on lâa dit, pas pratique. Il y a quelques temps de cela, les nombres alÃ©atoires Ã©taient gÃ©nÃ©rÃ©s Ã  partir et tabulÃ©es en utilisant par exemple les procÃ¨des mÃ©caniques Ã©voquÃ©s ci-dessus. Ces tables prÃªtes Ã  l'emploi peuvent encore se trouver sur le web ou sur des CDs de donnÃ©es dÃ©diÃ©s.
 
 
-Cependant, du fait des besoins liÃ©s Ã  Internet et aux problÃ¨mes de sÃ©curitÃ© soulevÃ©s par cette approche, ces tables ne permettent plus de satisfaire les besoins en nombres alÃ©atoires. Câest pourquoi de nouveaux types de RNG ont Ã©tÃ© introduits, notamment depuis lâapparition de lâinformatique.  
+Cependant, du fait des besoins liÃ©s Ã  Internet et aux problÃ¨mes de sÃ©curitÃ© soulevÃ©s par cette approche, ces tables~\cite{Tippett1927} ne permettent plus de satisfaire les besoins en nombres alÃ©atoires. Câest pourquoi de nouveaux types de RNG ont Ã©tÃ© introduits, notamment depuis lâapparition de lâinformatique.  
 
 
 Les RNG sont traditionnellement regroupÃ©s en deux classes, suivant leur source dâalÃ©as: les gÃ©nÃ©rateurs de nombres vraiment alÃ©atoires et les gÃ©nÃ©rateurs de nombres pseudo alÃ©atoires.
 \subsection{ Les gÃ©nÃ©rateurs de nombres vraiment alÃ©atoires (TRNGs)}
-Un TRNG est un gÃ©nÃ©rateur produisant des bits statistiquement indÃ©pendants et sans biais. Ils sâagit de RNG non dÃ©terministes. En informatique, un TRNG est un appareil produisant des nombres alÃ©atoires Ã  partir d'un processus physique. De tels composants se basent souvent sur des phÃ©nomÃ¨nes microscopiques gÃ©nÃ¨rent un signal de bas niveau, un bruit statistiquement alÃ©atoire. Les phÃ©nomÃ¨nes peuvent Ãªtre un "bruit thermal" utilisant les capteurs de tempÃ©rature de lâordinateur, peuvent utiliser lâeffet photoÃ©lectrique ou tout autre phÃ©nomÃ¨ne quantique. En thÃ©orie, ces processus sont complÃ¨tement imprÃ©visible s; en pratique, une telle assertion se vÃ©rifie Ã  lâaide de batteries tests statistiques. Un tel gÃ©nÃ©rateur quantique de type physique, consiste typiquement en un transducteur qui convertir un certains aspects dâun phÃ©nomÃ¨ne physique en un signal Ã©lectrique. Ce transducteur est reliÃ© Ã  un amplificateur et d'autres composant Ã©lectroniques, dont le but est de porter la sortie du transducteur de lâÃ©chelle microscopique Ã  lâÃ©chelle macroscopique. Enfin, un convertisseur analogique vers numÃ©rique permet de transformer a signal analogique en une suite de nombres, souvent de simples bits. On obtient ainsi une suite de bits en reproduisant le procÃ©dÃ© tant que nÃ©cessaire.   
+Un TRNG est un gÃ©nÃ©rateur produisant des bits statistiquement indÃ©pendants et sans biais. Ils sâagit de RNG non dÃ©terministes. En informatique, un TRNG est un appareil produisant des nombres alÃ©atoires Ã  partir d'un processus physique~\cite{Pashley2010184}. De tels composants se basent souvent sur des phÃ©nomÃ¨nes microscopiques gÃ©nÃ¨rent un signal de bas niveau, un bruit statistiquement alÃ©atoire. Les phÃ©nomÃ¨nes peuvent Ãªtre un "bruit thermal" utilisant les capteurs de tempÃ©rature de lâordinateur, peuvent utiliser lâeffet photoÃ©lectrique ou tout autre phÃ©nomÃ¨ne quantique~\cite{Guler2011,WT198429,Danger2009,JarosawAdam2011}. En thÃ©orie, ces processus sont complÃ¨tement imprÃ©visible s; en pratique, une telle assertion se vÃ©rifie Ã  lâaide de batteries tests statistiques. Un tel gÃ©nÃ©rateur quantique de type physique, consiste typiquement en un transducteur qui convertir un certains aspects dâun phÃ©nomÃ¨ne physique en un signal Ã©lectrique. Ce transducteur est reliÃ© Ã  un amplificateur et d'autres composant Ã©lectroniques, dont le but est de porter la sortie du transducteur de lâÃ©chelle microscopique Ã  lâÃ©chelle macroscopique. Enfin, un convertisseur analogique vers numÃ©rique permet de transformer a signal analogique en une suite de nombres, souvent de simples bits. On obtient ainsi une suite de bits en reproduisant le procÃ©dÃ© tant que nÃ©cessaire.   
 
 
 \subsection{ Les gÃ©nÃ©rateurs de nombres pseudo-alÃ©atoires (PRNGs)}
-Un PRNG, appelÃ© aussi gÃ©nÃ©rateur dÃ©terministes de bits alÃ©atoires (DRBG : Deterministic Random Bit Generator ) ~\cite{Barker05recommendationfor} est un algorithme gÃ©nÃ©rant une suite de nombres qui approximent les propriÃ©tÃ©s des nombres alÃ©atoires. La suite n'est pas rÃ©ellement alÃ©atoire dans le sens oÃ¹ elle est complÃ¨tement dÃ©terminÃ©e par un ensemble de valeurs initiales relativement petit, appelÃ© lâÃ©tat du PRNG. Sâil est vrai que des suites proches dâun alÃ©a pur peuvent Ãªtre obtenues avec des gÃ©nÃ©rateurs physiques, cela ne signifie pas pour autant que les gÃ©nÃ©rateurs pseudo-alÃ©atoires sont inutiles. Leur importance se matÃ©rialise lors de simulations, par exemple de systÃ¨mes physiques en utilisant la mÃ©thode de Monte Carlo. Ils sont de plus primordiaux en cryptographie et en gÃ©nÃ©ration procÃ©durale~\cite{ }. Des classes bien connue de tels algorithmes sont les gÃ©nÃ©rateurs congruentiels linÃ©aires, les Lagged Fibonacci gÃ©nÃ©rateurs, linÃ©aire feedback shift registre, feedback with carry shift registers, and generalised feedback shift registers. Le Blum Blum Shub, le Fortuna, et le Mersenne Twister sont par exemple des instances rÃ©centes de ces classes dâalgorithmes.
+Un PRNG, appelÃ© aussi gÃ©nÃ©rateur dÃ©terministes de bits alÃ©atoires (DRBG : Deterministic Random Bit Generator ) ~\cite{Barker05recommendationfor} est un algorithme gÃ©nÃ©rant une suite de nombres qui approximent les propriÃ©tÃ©s des nombres alÃ©atoires. La suite n'est pas rÃ©ellement alÃ©atoire dans le sens oÃ¹ elle est complÃ¨tement dÃ©terminÃ©e par un ensemble de valeurs initiales relativement petit, appelÃ© lâÃ©tat du PRNG. Sâil est vrai que des suites proches dâun alÃ©a pur peuvent Ãªtre obtenues avec des gÃ©nÃ©rateurs physiques, cela ne signifie pas pour autant que les gÃ©nÃ©rateurs pseudo-alÃ©atoires sont inutiles. Leur importance se matÃ©rialise lors de simulations, par exemple de systÃ¨mes physiques en utilisant la mÃ©thode de Monte Carlo. Ils sont de plus primordiaux en cryptographie et en gÃ©nÃ©ration procÃ©durale~\cite{Tan20091618,StDenis200691}. Des classes bien connue de tels algorithmes sont les gÃ©nÃ©rateurs congruentiels linÃ©aires~\cite{Knuth1998_1}, les Lagged Fibonacci gÃ©nÃ©rateurs~\cite{Knuth1998_2}, linÃ©aire feedback shift registre~\cite{tagkey2009407}, feedback with carry shift registers~\cite{Klapper1994}, and generalised feedback shift registers~\cite{Linardatos2002157,Klapper199961,Mykkeltveit1979202,Unjeng198461}. Le Blum Blum Shub~\cite{DBLP1986}, le Fortuna~\cite{DBLP2003}, et le Mersenne Twister~\cite{Matsumoto1998} sont par exemple des instances rÃ©centes de ces classes dâalgorithmes.
 
 
 \section{ PRNGs cryptographiquement sÃ»rs }
-Un PRNG pouvant Ãªtre utilisÃ© en cryptographie est appelÃ© un PRNG cryptographiquement sÃ»r (CSPRNG). Une propriÃ©tÃ© importante que doit satisfaire un CSPRNG est quâun adversaire, ne connaissant pas la graine, n'a qu'un avantage nÃ©gligeable de pouvoir distinguer la sÃ©quence produite par le gÃ©nÃ©rateur d'une sÃ©quence rÃ©ellement alÃ©atoire. En d'autres termes, tandis que lâen se demande Ã  un PRNG que de passer certains tests statistiques, un CSPRNG doit passer tous les tests statistiques ayant un temps dâ exÃ©cuter polynomial par rapport Ã  la taille de la graine. Bien quâune telle propriÃ©tÃ© ne peut pas Ãªtre prouvÃ©e~\cite{ }, on peut cependant sâen approcher en rÃ©duisant ce problÃ¨me pour un gÃ©nÃ©rateur Ã  un problÃ¨me NP-difficile tel que la factorisation des entiers. En gÃ©nÃ©ral, des annÃ©es dâÃ©tude sont requises avant de pouvoir certifier quâun algorithme donnÃ© est un CSPRNG.
+Un PRNG pouvant Ãªtre utilisÃ© en cryptographie est appelÃ© un PRNG cryptographiquement sÃ»r (CSPRNG). Une propriÃ©tÃ© importante que doit satisfaire un CSPRNG est quâun adversaire, ne connaissant pas la graine, n'a qu'un avantage nÃ©gligeable de pouvoir distinguer la sÃ©quence produite par le gÃ©nÃ©rateur d'une sÃ©quence rÃ©ellement alÃ©atoire. En d'autres termes, tandis que lâen se demande Ã  un PRNG que de passer certains tests statistiques, un CSPRNG doit passer tous les tests statistiques ayant un temps dâ exÃ©cuter polynomial par rapport Ã  la taille de la graine. Bien quâune telle propriÃ©tÃ© ne peut pas Ãªtre prouvÃ©e~\cite{Miller2010}, on peut cependant sâen approcher en rÃ©duisant ce problÃ¨me pour un gÃ©nÃ©rateur Ã  un problÃ¨me NP-difficile tel que la factorisation des entiers. En gÃ©nÃ©ral, des annÃ©es dâÃ©tude sont requises avant de pouvoir certifier quâun algorithme donnÃ© est un CSPRNG.
 
 
 Donnons maintenant quelques classes de CSPRNGs:
@@ -49,7 +49,7 @@ Dans certaines applications spÃ©cifiques, les chiffrements par flots sont plus a
 \item Les chiffrements par flots sont gÃ©nÃ©ralement plus rapides que le chiffrements par bloc, surtout quand ces premiers sont produits au niveau matÃ©riel.
 \item Les chiffrements par flots ont une complexitÃ© matÃ©rielle plus faible, et nÃ©cessitent moins de mÃ©moire, et ce que ce soit au niveau hardware ou software. 
 \item Les chiffrements par flots opÃ¨rent sur le clair-texte caractÃ¨re par caractÃ¨re, et ainsi aucun tampon n.est nÃ©cessaire, il nây a pas besoin d'accumuler un bloc complet du clair-texte (contrairement au chiffrement par bloc).
-\item Les chiffrements par flots synchrones n'ont pas de propagation dâerreur~\cite{ }.
+\item Les chiffrements par flots synchrones n'ont pas de propagation dâerreur~\cite{springerlink1994}.
 \end{enumerate}
 
 \section{Le chiffrement par flot}
@@ -63,27 +63,27 @@ Le chiffrement de Vernam est un chiffrement par flot dans lequel on applique le
 Shannon a montrÃ©~\cite{Shannon-OTP} que le masque jetable fournit une sÃ©curitÃ© parfaite. Cela veut dire que l'entropie conditionnelle du message $M$ connaissant le cryptogramme $ C $, est la mÃªme que l'entropie du message d'origine : $H(M|C) = H(M)$. Shannon a aussi montrÃ© que le masque jetable est optimale : la condition prÃ©cÃ©dente ne peut Ãªtre obtenue avec une clÃ© de taille plus petite que le message $M$.
 
 
-Le problÃ¨me avec le masque jetable est que lâon doit avoir une clÃ© de la faille du message, ce qui dans la plupart des cas est impossible en pratique. Les deux schÃ©mas suivants tentent de produire un keystream Ã  lâallure alÃ©atoire Ã  partir dâune petite clÃ©. Par allure alÃ©atoire, il faut comprendre que lâon ne doit pas pouvoir faire la distinction entre le keystream et une suite alÃ©atoire, en une complexitÃ© infÃ©rieure Ã  celle intervenant quand on tente toutes les clÃ©s possibles. 
+Le problÃ¨me avec le masque jetable est que lâon doit avoir une clÃ© de la faille du message, ce qui dans la plupart des cas est impossible en pratique~\cite{PhysRevA2004}. Les deux schÃ©mas suivants tentent de produire un keystream Ã  lâallure alÃ©atoire Ã  partir dâune petite clÃ©. Par allure alÃ©atoire, il faut comprendre que lâon ne doit pas pouvoir faire la distinction entre le keystream et une suite alÃ©atoire, en une complexitÃ© infÃ©rieure Ã  celle intervenant quand on tente toutes les clÃ©s possibles. 
 
 
 \subsection{ chiffrements par flots synchrones}
-Dans un chiffrement par flot synchrone, le flux de nombres pseudo-alÃ©atoires est produit indÃ©pendamment du clair-texte et du cryptogramme, puis est ensuite combinÃ© soit au clair-texte Ã  chiffrer, soit au cryptogramme Ã  dÃ©chiffrer. 
+Dans un chiffrement par flot synchrone, le flux de nombres pseudo-alÃ©atoires est produit indÃ©pendamment du clair-texte et du cryptogramme, puis est ensuite combinÃ© soit au clair-texte Ã  chiffrer, soit au cryptogramme Ã  dÃ©chiffrer~\cite{cusick2004stream}. 
 
 
 Dans un chiffrement par flot synchrone, l'expÃ©diteur et le rÃ©cepteur doivent Ãªtre exactement synchronisÃ©s pour que le dÃ©chiffrement puisse se faire sans encombre. Si des chiffres sont ajoutÃ©s ou enlevÃ©s du message pendant la transmission, alors la synchronisation sera perdue. Pour la restaurer, on peut effectuer diffÃ©rentes tentatives de dÃ©chiffrement Ã  partir de keystream dÃ©calÃ©s jusquâÃ  obtenir un message intelligible. Une autre approche consiste Ã  introduire des marqueurs dans le cryptogramme, comme autant de repÃ¨res permettant une resynchronisation.        
 
 
-Si, cependant, un chiffre est corrompu durant la transmission, sans quâil y ait dÃ©calage, alors seul un bit du clair-texte aura Ã©tÃ© affectÃ© et l'erreur ne se propagera pas Ã  d'autres parties du message. Cette propriÃ©tÃ© est utile quand le taux d'erreur de transmission est Ã©levÃ© ; mais dans ce cas les erreurs ont moins de chance dâÃªtre dÃ©tectÃ©e. De plus, Ã  cause de cette propriÃ©tÃ©, les chiffrements par flot synchrones sont fragiles face aux attaques actives : si un adversaire peut changer un bit dans le cryptogramme, alors il pourrait Ãªtre en mesure de faire des changements prÃ©visibles au niveau du clair-texte. En effet, changer un bit dans le cryptogramme entraÃ®ne le changement du bit du clair-texte situÃ© au mÃªme endroit.  provoque le mÃªme bit pour Ãªtre retournÃ© dans le texte clair.
+Si, cependant, un chiffre est corrompu durant la transmission, sans quâil y ait dÃ©calage, alors seul un bit du clair-texte aura Ã©tÃ© affectÃ© et l'erreur ne se propagera pas Ã  d'autres parties du message. Cette propriÃ©tÃ© est utile quand le taux d'erreur de transmission est Ã©levÃ© ; mais dans ce cas les erreurs ont moins de chance dâÃªtre dÃ©tectÃ©e. De plus, Ã  cause de cette propriÃ©tÃ©, les chiffrements par flot synchrones sont fragiles face aux attaques actives : si un adversaire peut changer un bit dans le cryptogramme, alors il pourrait Ãªtre en mesure de faire des changements prÃ©visibles au niveau du clair-texte. En effet, changer un bit dans le cryptogramme entraÃ®ne le changement du bit du clair-texte situÃ© au mÃªme endroit.  provoque le mÃªme bit pour Ãªtre retournÃ© dans le texte clair~\cite{Wu2008,Daemen1994}.
 
 
 \subsection{ chiffrements par flot auto-synchronisants}
-Une autre approche utilise un certain nombre des $N$ derniers chiffres du cryptogramme pour calculer le keystream. De tels schÃ©mas sont aussi appelÃ©s chiffrements par flot asynchrones, ââcryptogramme autokeyââ (CTAK). L'idÃ©e de lâauto-synchronisation a Ã©tÃ© brevetÃ©e en 1946. Elle a l'avantage que le rÃ©cepteur peut auto-matiquement se synchroniser avec le gÃ©nÃ©rateur keystream aprÃ¨s avoir reÃ§u $N$ chiffres du cryptogramme, rendant ainsi facile la resynchronisation en cas dâajout ou de perte de chiffres lors de la transmission. Des erreurs portant sur un chiffre seul seront limitÃ©s dans leurs protÃ©e, affectant seulement au plus $N$ chiffres du clair-texte.
+Une autre approche utilise un certain nombre des $N$ derniers chiffres du cryptogramme pour calculer le keystream. De tels schÃ©mas sont aussi appelÃ©s chiffrements par flot asynchrones, ââcryptogramme autokeyââ (CTAK). L'idÃ©e de lâauto-synchronisation a Ã©tÃ© brevetÃ©e en 1946~\cite{schneier1996applied}. Elle a l'avantage que le rÃ©cepteur peut auto-matiquement se synchroniser avec le gÃ©nÃ©rateur keystream aprÃ¨s avoir reÃ§u $N$ chiffres du cryptogramme, rendant ainsi facile la resynchronisation en cas dâajout ou de perte de chiffres lors de la transmission. Des erreurs portant sur un chiffre seul seront limitÃ©s dans leurs protÃ©e, affectant seulement au plus $N$ chiffres du clair-texte.
 
 
-Un exemple de chiffrement par flot auto-synchronisation est un chiffrement par bloc en mode Cipher Feedback (CFB).
+Un exemple de chiffrement par flot auto-synchronisation est un chiffrement par bloc en mode Cipher Feedback (CFB)~\cite{Meyer100035}.
 
 \section{ GÃ©nÃ©rateurs de nombres alÃ©atoires basÃ©s sur le chaos }
-Depuis les annÃ©es 70, l'utilisation de dynamiques chaotiques pour la gÃ©nÃ©ration de suites alÃ©atoires et les applications cryptographiques a soulevÃ© beaucoup d'intÃ©rÃªt. De nombreux ponts entre la thÃ©orie du chaos et la cryptographie ont Ã©tÃ© Ã©tablis ces deux derniÃ¨res dÃ©cennies qui ont conduit Ã  de nombreux travaux de recherche.
+Depuis les annÃ©es 70, l'utilisation de dynamiques chaotiques pour la gÃ©nÃ©ration de suites alÃ©atoires et les applications cryptographiques a soulevÃ© beaucoup d'intÃ©rÃªt. De nombreux ponts entre la thÃ©orie du chaos et la cryptographie ont Ã©tÃ© Ã©tablis ces deux derniÃ¨res dÃ©cennies qui ont conduit Ã  de nombreux travaux de recherche~\cite{STMAZ.01769371}.
 
 
 Les dynamiques chaotiques sont habituellement Ã©tudiÃ©es dans deux diffÃ©rents domaines. Dans le domaine des temps continus, dans lequel ces dynamiques sont produites Ã  partir de systÃ¨mes chaotiques issus dâÃ©quations diffÃ©rentielles. Dans le domaine des temps discrets, dans lequel une fonction chaotique est utilisÃ©e dans une relation de rÃ©currence.
