conclusion.tex

   1 This work has assumed a Boolean map $f$ which is embedded into
   2 a discrete-time dynamical system $G_f$.
   3 This one is supposed to be iterated a fixed number
   4 $p_1$ or $p_2$,\ldots, or $p_{\mathds{p}}$
   5 times before its output is considered.
   6 This work has first shown that iterations of
   7 $G_f$ are chaotic if and only if its iteration graph $\Gamma_{\mathcal{P}}(f)$
   8 is strongly connected where $\mathcal{P}$ is $\{p_1, \ldots, p_{\mathds{p}}\}$.
   9 It can be deduced that in such a situation a PRNG, which iterates $G_f$,
  10 satisfies the property of chaos and can be used in simulating chaos
  11 phenomena.
  12
  13 We then have shown that a previously presented approach can be directly
  14 applied here to generate function $f$ with strongly connected
  15 $\Gamma_{\mathcal{P}}(f)$.
  16 The iterated map inside the generator is built by first removing from a
  17 $\mathsf{N}$-cube a balanced  Hamiltonian cycle and next
  18 by adding  a self loop to each vertex.
  19 The PRNG can thus be seen as a random walk of length in $\mathcal{P}$
  20 into  this new $\mathsf{N}$-cube.
  21 We have exhibit an efficient method to compute such a balanced Hamiltonian
  22 cycle. This method is an algebraic solution of an undeterministic
  23 approach~\cite{ZanSup04} and has a low complexity.
  24 According to the authors knowledge, this is the first time a full
  25 automatic method to provide chaotic PRNGs is given.
  26 Practically speaking, this approach preserves the security properties of
  27 the embedded PRNG, even if it remains quite cost expensive.
  28
  29
  30 We furthermore have exhibited an upper bound on the number of iterations
  31 that is sufficient to obtain an uniform distribution of the output.
  32 Such an upper bound is quadratic on the number of bits to output.
  33 Experiments have however shown that such a bound is in
  34 $\mathsf{N}.\log(\mathsf{N})$ in practice.
  35 Finally,  experiments through the  NIST battery have shown that
  36 the statistical properties are almost established for
  37  $\mathsf{N} = 4, 5, 6, 7, 8$ and should be observed for any
  38 positive integer $\mathsf{N}$.
  39
  40 In future work, we intend to understand the link between
  41 statistical tests and the properties of chaos for
  42 the associated iterations.
  43 By doing so, relations between desired statistically unbiased behaviors and
  44 topological properties will be understood, leading to better choices
  45 in iteration functions.
  46 Conditions allowing the reduction of the stopping-time will be
  47 investigated too, while other modifications of the hypercube will
  48 be regarded in order to enlarge the set of known chaotic
  49 and random iterations.
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