conclusion.tex

   1 This work has assumed a Boolean map $f$ which is embedded into
   2 a discrete-time dynamical system $G_f$.
   3 This one is supposed to be iterated a fixed number
   4 $p_1$ or $p_2$,\ldots, or $p_{\mathds{p}}$ of
   5 times before its output is considered.
   6 This work has first shown that iterations of
   7 $G_f$ are chaotic if and only if its iteration graph $\Gamma_{\mathcal{P}}(f)$
   8 is strongly connected where $\mathcal{P}$ is $\{p_1, \ldots, p_{\mathds{p}}\}$.
   9 Any PRNG, which iterates $G_f$ as above
  10 satisfies in some cases the property of chaos.
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  12 We then have shown that a previously presented approach can be directly
  13 applied here to generate function $f$ with strongly connected
  14 $\Gamma_{\mathcal{P}}(f)$.
  15 The iterated map inside the generator is built by first removing from a
  16 $\mathsf{N}$-cube an Hamiltonian path and next
  17 adding  a self loop to each vertex.
  18 The PRNG can thus be seen as a random walks of length in $\mathsf{P}$
  19 into  $\mathsf{N}$ this new cube.
  20 We furthermore have exhibit a bound on the number of iterations
  21 that are sufficient to obtain a uniform distribution of the output.
  22 Finally,  experiments through the  NIST battery have shown that
  23 the statistical properties are almost established for
  24 $\mathsf{N} = 4, 5, 6, 7, 8$.
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  26 In future work, we intend to understand the link between
  27 statistical tests and the properties of chaos for
  28 the associated iterations.
  29 By doing so, relations between desired statistically unbiased behaviors and
  30 topological properties will be understood, leading to better choices
  31 in iteration functions.
  32 Conditions allowing the reduction of the stopping-time will be
  33 investigated too, while other modifications of the hypercube will
  34 be regarded in order to enlarge the set of known chaotic
  35 and random iterations.