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Private GIT Repository
5d63c318b29db1d7517159a388c48315a5a133d3
[GMRES2stage.git] / paper.tex
1
2 %% bare_conf.tex
3 %% V1.3
4 %% 2007/01/11
5 %% by Michael Shell
6 %% See:
7 %% http://www.michaelshell.org/
8 %% for current contact information.
9 %%
10 %% This is a skeleton file demonstrating the use of IEEEtran.cls
11 %% (requires IEEEtran.cls version 1.7 or later) with an IEEE conference paper.
12 %%
13 %% Support sites:
14 %% http://www.michaelshell.org/tex/ieeetran/
15 %% http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/IEEEtran/
16 %% and
17 %% http://www.ieee.org/
18
19 %%*************************************************************************
20 %% Legal Notice:
21 %% This code is offered as-is without any warranty either expressed or
22 %% implied; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or
23 %% FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE! 
24 %% User assumes all risk.
25 %% In no event shall IEEE or any contributor to this code be liable for
26 %% any damages or losses, including, but not limited to, incidental,
27 %% consequential, or any other damages, resulting from the use or misuse
28 %% of any information contained here.
29 %%
30 %% All comments are the opinions of their respective authors and are not
31 %% necessarily endorsed by the IEEE.
32 %%
33 %% This work is distributed under the LaTeX Project Public License (LPPL)
34 %% ( http://www.latex-project.org/ ) version 1.3, and may be freely used,
35 %% distributed and modified. A copy of the LPPL, version 1.3, is included
36 %% in the base LaTeX documentation of all distributions of LaTeX released
37 %% 2003/12/01 or later.
38 %% Retain all contribution notices and credits.
39 %% ** Modified files should be clearly indicated as such, including  **
40 %% ** renaming them and changing author support contact information. **
41 %%
42 %% File list of work: IEEEtran.cls, IEEEtran_HOWTO.pdf, bare_adv.tex,
43 %%                    bare_conf.tex, bare_jrnl.tex, bare_jrnl_compsoc.tex
44 %%*************************************************************************
45
46 % *** Authors should verify (and, if needed, correct) their LaTeX system  ***
47 % *** with the testflow diagnostic prior to trusting their LaTeX platform ***
48 % *** with production work. IEEE's font choices can trigger bugs that do  ***
49 % *** not appear when using other class files.                            ***
50 % The testflow support page is at:
51 % http://www.michaelshell.org/tex/testflow/
52
53
54
55 % Note that the a4paper option is mainly intended so that authors in
56 % countries using A4 can easily print to A4 and see how their papers will
57 % look in print - the typesetting of the document will not typically be
58 % affected with changes in paper size (but the bottom and side margins will).
59 % Use the testflow package mentioned above to verify correct handling of
60 % both paper sizes by the user's LaTeX system.
61 %
62 % Also note that the "draftcls" or "draftclsnofoot", not "draft", option
63 % should be used if it is desired that the figures are to be displayed in
64 % draft mode.
65 %
66 \documentclass[10pt, conference, compsocconf]{IEEEtran}
67 % Add the compsocconf option for Computer Society conferences.
68 %
69 % If IEEEtran.cls has not been installed into the LaTeX system files,
70 % manually specify the path to it like:
71 % \documentclass[conference]{../sty/IEEEtran}
72
73
74
75
76
77 % Some very useful LaTeX packages include:
78 % (uncomment the ones you want to load)
79
80
81 % *** MISC UTILITY PACKAGES ***
82 %
83 %\usepackage{ifpdf}
84 % Heiko Oberdiek's ifpdf.sty is very useful if you need conditional
85 % compilation based on whether the output is pdf or dvi.
86 % usage:
87 % \ifpdf
88 %   % pdf code
89 % \else
90 %   % dvi code
91 % \fi
92 % The latest version of ifpdf.sty can be obtained from:
93 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/oberdiek/
94 % Also, note that IEEEtran.cls V1.7 and later provides a builtin
95 % \ifCLASSINFOpdf conditional that works the same way.
96 % When switching from latex to pdflatex and vice-versa, the compiler may
97 % have to be run twice to clear warning/error messages.
98
99
100
101
102
103
104 % *** CITATION PACKAGES ***
105 %
106 %\usepackage{cite}
107 % cite.sty was written by Donald Arseneau
108 % V1.6 and later of IEEEtran pre-defines the format of the cite.sty package
109 % \cite{} output to follow that of IEEE. Loading the cite package will
110 % result in citation numbers being automatically sorted and properly
111 % "compressed/ranged". e.g., [1], [9], [2], [7], [5], [6] without using
112 % cite.sty will become [1], [2], [5]--[7], [9] using cite.sty. cite.sty's
113 % \cite will automatically add leading space, if needed. Use cite.sty's
114 % noadjust option (cite.sty V3.8 and later) if you want to turn this off.
115 % cite.sty is already installed on most LaTeX systems. Be sure and use
116 % version 4.0 (2003-05-27) and later if using hyperref.sty. cite.sty does
117 % not currently provide for hyperlinked citations.
118 % The latest version can be obtained at:
119 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/cite/
120 % The documentation is contained in the cite.sty file itself.
121
122
123
124
125
126
127 % *** GRAPHICS RELATED PACKAGES ***
128 %
129 \ifCLASSINFOpdf
130   % \usepackage[pdftex]{graphicx}
131   % declare the path(s) where your graphic files are
132   % \graphicspath{{../pdf/}{../jpeg/}}
133   % and their extensions so you won't have to specify these with
134   % every instance of \includegraphics
135   % \DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.jpeg,.png}
136 \else
137   % or other class option (dvipsone, dvipdf, if not using dvips). graphicx
138   % will default to the driver specified in the system graphics.cfg if no
139   % driver is specified.
140   % \usepackage[dvips]{graphicx}
141   % declare the path(s) where your graphic files are
142   % \graphicspath{{../eps/}}
143   % and their extensions so you won't have to specify these with
144   % every instance of \includegraphics
145   % \DeclareGraphicsExtensions{.eps}
146 \fi
147 % graphicx was written by David Carlisle and Sebastian Rahtz. It is
148 % required if you want graphics, photos, etc. graphicx.sty is already
149 % installed on most LaTeX systems. The latest version and documentation can
150 % be obtained at: 
151 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/required/graphics/
152 % Another good source of documentation is "Using Imported Graphics in
153 % LaTeX2e" by Keith Reckdahl which can be found as epslatex.ps or
154 % epslatex.pdf at: http://www.ctan.org/tex-archive/info/
155 %
156 % latex, and pdflatex in dvi mode, support graphics in encapsulated
157 % postscript (.eps) format. pdflatex in pdf mode supports graphics
158 % in .pdf, .jpeg, .png and .mps (metapost) formats. Users should ensure
159 % that all non-photo figures use a vector format (.eps, .pdf, .mps) and
160 % not a bitmapped formats (.jpeg, .png). IEEE frowns on bitmapped formats
161 % which can result in "jaggedy"/blurry rendering of lines and letters as
162 % well as large increases in file sizes.
163 %
164 % You can find documentation about the pdfTeX application at:
165 % http://www.tug.org/applications/pdftex
166
167
168
169
170
171 % *** MATH PACKAGES ***
172 %
173 %\usepackage[cmex10]{amsmath}
174 % A popular package from the American Mathematical Society that provides
175 % many useful and powerful commands for dealing with mathematics. If using
176 % it, be sure to load this package with the cmex10 option to ensure that
177 % only type 1 fonts will utilized at all point sizes. Without this option,
178 % it is possible that some math symbols, particularly those within
179 % footnotes, will be rendered in bitmap form which will result in a
180 % document that can not be IEEE Xplore compliant!
181 %
182 % Also, note that the amsmath package sets \interdisplaylinepenalty to 10000
183 % thus preventing page breaks from occurring within multiline equations. Use:
184 %\interdisplaylinepenalty=2500
185 % after loading amsmath to restore such page breaks as IEEEtran.cls normally
186 % does. amsmath.sty is already installed on most LaTeX systems. The latest
187 % version and documentation can be obtained at:
188 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/required/amslatex/math/
189
190
191
192
193
194 % *** SPECIALIZED LIST PACKAGES ***
195 %
196 %\usepackage{algorithmic}
197 % algorithmic.sty was written by Peter Williams and Rogerio Brito.
198 % This package provides an algorithmic environment fo describing algorithms.
199 % You can use the algorithmic environment in-text or within a figure
200 % environment to provide for a floating algorithm. Do NOT use the algorithm
201 % floating environment provided by algorithm.sty (by the same authors) or
202 % algorithm2e.sty (by Christophe Fiorio) as IEEE does not use dedicated
203 % algorithm float types and packages that provide these will not provide
204 % correct IEEE style captions. The latest version and documentation of
205 % algorithmic.sty can be obtained at:
206 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/algorithms/
207 % There is also a support site at:
208 % http://algorithms.berlios.de/index.html
209 % Also of interest may be the (relatively newer and more customizable)
210 % algorithmicx.sty package by Szasz Janos:
211 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/algorithmicx/
212
213
214
215
216 % *** ALIGNMENT PACKAGES ***
217 %
218 %\usepackage{array}
219 % Frank Mittelbach's and David Carlisle's array.sty patches and improves
220 % the standard LaTeX2e array and tabular environments to provide better
221 % appearance and additional user controls. As the default LaTeX2e table
222 % generation code is lacking to the point of almost being broken with
223 % respect to the quality of the end results, all users are strongly
224 % advised to use an enhanced (at the very least that provided by array.sty)
225 % set of table tools. array.sty is already installed on most systems. The
226 % latest version and documentation can be obtained at:
227 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/required/tools/
228
229
230 %\usepackage{mdwmath}
231 %\usepackage{mdwtab}
232 % Also highly recommended is Mark Wooding's extremely powerful MDW tools,
233 % especially mdwmath.sty and mdwtab.sty which are used to format equations
234 % and tables, respectively. The MDWtools set is already installed on most
235 % LaTeX systems. The lastest version and documentation is available at:
236 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/mdwtools/
237
238
239 % IEEEtran contains the IEEEeqnarray family of commands that can be used to
240 % generate multiline equations as well as matrices, tables, etc., of high
241 % quality.
242
243
244 \usepackage{eqparbox}
245 % Also of notable interest is Scott Pakin's eqparbox package for creating
246 % (automatically sized) equal width boxes - aka "natural width parboxes".
247 % Available at:
248 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/eqparbox/
249
250
251
252
253
254 % *** SUBFIGURE PACKAGES ***
255 %\usepackage[tight,footnotesize]{subfigure}
256 % subfigure.sty was written by Steven Douglas Cochran. This package makes it
257 % easy to put subfigures in your figures. e.g., "Figure 1a and 1b". For IEEE
258 % work, it is a good idea to load it with the tight package option to reduce
259 % the amount of white space around the subfigures. subfigure.sty is already
260 % installed on most LaTeX systems. The latest version and documentation can
261 % be obtained at:
262 % http://www.ctan.org/tex-archive/obsolete/macros/latex/contrib/subfigure/
263 % subfigure.sty has been superceeded by subfig.sty.
264
265
266
267 %\usepackage[caption=false]{caption}
268 %\usepackage[font=footnotesize]{subfig}
269 % subfig.sty, also written by Steven Douglas Cochran, is the modern
270 % replacement for subfigure.sty. However, subfig.sty requires and
271 % automatically loads Axel Sommerfeldt's caption.sty which will override
272 % IEEEtran.cls handling of captions and this will result in nonIEEE style
273 % figure/table captions. To prevent this problem, be sure and preload
274 % caption.sty with its "caption=false" package option. This is will preserve
275 % IEEEtran.cls handing of captions. Version 1.3 (2005/06/28) and later 
276 % (recommended due to many improvements over 1.2) of subfig.sty supports
277 % the caption=false option directly:
278 %\usepackage[caption=false,font=footnotesize]{subfig}
279 %
280 % The latest version and documentation can be obtained at:
281 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/subfig/
282 % The latest version and documentation of caption.sty can be obtained at:
283 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/caption/
284
285
286
287
288 % *** FLOAT PACKAGES ***
289 %
290 %\usepackage{fixltx2e}
291 % fixltx2e, the successor to the earlier fix2col.sty, was written by
292 % Frank Mittelbach and David Carlisle. This package corrects a few problems
293 % in the LaTeX2e kernel, the most notable of which is that in current
294 % LaTeX2e releases, the ordering of single and double column floats is not
295 % guaranteed to be preserved. Thus, an unpatched LaTeX2e can allow a
296 % single column figure to be placed prior to an earlier double column
297 % figure. The latest version and documentation can be found at:
298 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/base/
299
300
301
302 %\usepackage{stfloats}
303 % stfloats.sty was written by Sigitas Tolusis. This package gives LaTeX2e
304 % the ability to do double column floats at the bottom of the page as well
305 % as the top. (e.g., "\begin{figure*}[!b]" is not normally possible in
306 % LaTeX2e). It also provides a command:
307 %\fnbelowfloat
308 % to enable the placement of footnotes below bottom floats (the standard
309 % LaTeX2e kernel puts them above bottom floats). This is an invasive package
310 % which rewrites many portions of the LaTeX2e float routines. It may not work
311 % with other packages that modify the LaTeX2e float routines. The latest
312 % version and documentation can be obtained at:
313 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/sttools/
314 % Documentation is contained in the stfloats.sty comments as well as in the
315 % presfull.pdf file. Do not use the stfloats baselinefloat ability as IEEE
316 % does not allow \baselineskip to stretch. Authors submitting work to the
317 % IEEE should note that IEEE rarely uses double column equations and
318 % that authors should try to avoid such use. Do not be tempted to use the
319 % cuted.sty or midfloat.sty packages (also by Sigitas Tolusis) as IEEE does
320 % not format its papers in such ways.
321
322
323
324
325
326 % *** PDF, URL AND HYPERLINK PACKAGES ***
327 %
328 %\usepackage{url}
329 % url.sty was written by Donald Arseneau. It provides better support for
330 % handling and breaking URLs. url.sty is already installed on most LaTeX
331 % systems. The latest version can be obtained at:
332 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/misc/
333 % Read the url.sty source comments for usage information. Basically,
334 % \url{my_url_here}.
335
336
337
338
339
340 % *** Do not adjust lengths that control margins, column widths, etc. ***
341 % *** Do not use packages that alter fonts (such as pslatex).         ***
342 % There should be no need to do such things with IEEEtran.cls V1.6 and later.
343 % (Unless specifically asked to do so by the journal or conference you plan
344 % to submit to, of course. )
345
346
347 % correct bad hyphenation here
348 \hyphenation{op-tical net-works semi-conduc-tor}
349
350
351 \usepackage[utf8]{inputenc}
352 \usepackage[T1]{fontenc}
353 \usepackage{algorithm}
354 \usepackage{algpseudocode}
355 \usepackage{amsmath}
356 \usepackage{amssymb}
357 \usepackage{multirow}
358 \usepackage{graphicx}
359
360 \algnewcommand\algorithmicinput{\textbf{Input:}}
361 \algnewcommand\Input{\item[\algorithmicinput]}
362
363 \algnewcommand\algorithmicoutput{\textbf{Output:}}
364 \algnewcommand\Output{\item[\algorithmicoutput]}
365
366 \newtheorem{proposition}{Proposition}
367
368 \begin{document}
369 %
370 % paper title
371 % can use linebreaks \\ within to get better formatting as desired
372 \title{TSIRM: A Two-Stage Iteration with least-squares Residual Minimization algorithm to solve large sparse linear systems}
373
374
375
376
377
378
379 % author names and affiliations
380 % use a multiple column layout for up to two different
381 % affiliations
382
383 \author{\IEEEauthorblockN{Rapha\"el Couturier\IEEEauthorrefmark{1}, Lilia Ziane Khodja\IEEEauthorrefmark{2}, and Christophe Guyeux\IEEEauthorrefmark{1}}
384 \IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{1} Femto-ST Institute, University of Franche-Comt\'e, France\\
385 Email: \{raphael.couturier,christophe.guyeux\}@univ-fcomte.fr}
386 \IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{2} INRIA Bordeaux Sud-Ouest, France\\
387 Email: lilia.ziane@inria.fr}
388 }
389
390
391
392 % conference papers do not typically use \thanks and this command
393 % is locked out in conference mode. If really needed, such as for
394 % the acknowledgment of grants, issue a \IEEEoverridecommandlockouts
395 % after \documentclass
396
397 % for over three affiliations, or if they all won't fit within the width
398 % of the page, use this alternative format:
399
400 %\author{\IEEEauthorblockN{Michael Shell\IEEEauthorrefmark{1},
401 %Homer Simpson\IEEEauthorrefmark{2},
402 %James Kirk\IEEEauthorrefmark{3}, 
403 %Montgomery Scott\IEEEauthorrefmark{3} and
404 %Eldon Tyrell\IEEEauthorrefmark{4}}
405 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{1}School of Electrical and Computer Engineering\\
406 %Georgia Institute of Technology,
407 %Atlanta, Georgia 30332--0250\\ Email: see http://www.michaelshell.org/contact.html}
408 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{2}Twentieth Century Fox, Springfield, USA\\
409 %Email: homer@thesimpsons.com}
410 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{3}Starfleet Academy, San Francisco, California 96678-2391\\
411 %Telephone: (800) 555--1212, Fax: (888) 555--1212}
412 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{4}Tyrell Inc., 123 Replicant Street, Los Angeles, California 90210--4321}}
413
414
415
416
417 % use for special paper notices
418 %\IEEEspecialpapernotice{(Invited Paper)}
419
420
421
422
423 % make the title area
424 \maketitle
425
426
427 \begin{abstract}
428 In  this article, a  two-stage iterative  algorithm is  proposed to  improve the
429 convergence  of  Krylov  based  iterative  methods,  typically  those  of  GMRES
430 variants.  The  principle of  the  proposed approach  is  to  build an  external
431 iteration over the  Krylov method, and to frequently  store its current residual
432 (at each GMRES restart for instance).  After a given number of outer iterations,
433 a least-squares minimization step is applied on the matrix composed by the saved
434 residuals, in order  to compute a better solution and to  make new iterations if
435 required.  It  is proven that the  proposal has the  same convergence properties
436 than the  inner embedded  method itself.  Experiments  using up to  16,394 cores
437 also  show that the  proposed algorithm  runs around  5 or  7 times  faster than
438 GMRES.
439 \end{abstract}
440
441 \begin{IEEEkeywords}
442 Iterative Krylov methods; sparse linear systems; two stage iteration; least-squares residual minimization; PETSc
443 \end{IEEEkeywords}
444
445
446 % For peer review papers, you can put extra information on the cover
447 % page as needed:
448 % \ifCLASSOPTIONpeerreview
449 % \begin{center} \bfseries EDICS Category: 3-BBND \end{center}
450 % \fi
451 %
452 % For peerreview papers, this IEEEtran command inserts a page break and
453 % creates the second title. It will be ignored for other modes.
454 \IEEEpeerreviewmaketitle
455
456
457
458
459 % An example of a floating figure using the graphicx package.
460 % Note that \label must occur AFTER (or within) \caption.
461 % For figures, \caption should occur after the \includegraphics.
462 % Note that IEEEtran v1.7 and later has special internal code that
463 % is designed to preserve the operation of \label within \caption
464 % even when the captionsoff option is in effect. However, because
465 % of issues like this, it may be the safest practice to put all your
466 % \label just after \caption rather than within \caption{}.
467 %
468 % Reminder: the "draftcls" or "draftclsnofoot", not "draft", class
469 % option should be used if it is desired that the figures are to be
470 % displayed while in draft mode.
471 %
472 %\begin{figure}[!t]
473 %\centering
474 %\includegraphics[width=2.5in]{myfigure}
475 % where an .eps filename suffix will be assumed under latex, 
476 % and a .pdf suffix will be assumed for pdflatex; or what has been declared
477 % via \DeclareGraphicsExtensions.
478 %\caption{Simulation Results}
479 %\label{fig_sim}
480 %\end{figure}
481
482 % Note that IEEE typically puts floats only at the top, even when this
483 % results in a large percentage of a column being occupied by floats.
484
485
486 % An example of a double column floating figure using two subfigures.
487 % (The subfig.sty package must be loaded for this to work.)
488 % The subfigure \label commands are set within each subfloat command, the
489 % \label for the overall figure must come after \caption.
490 % \hfil must be used as a separator to get equal spacing.
491 % The subfigure.sty package works much the same way, except \subfigure is
492 % used instead of \subfloat.
493 %
494 %\begin{figure*}[!t]
495 %\centerline{\subfloat[Case I]\includegraphics[width=2.5in]{subfigcase1}%
496 %\label{fig_first_case}}
497 %\hfil
498 %\subfloat[Case II]{\includegraphics[width=2.5in]{subfigcase2}%
499 %\label{fig_second_case}}}
500 %\caption{Simulation results}
501 %\label{fig_sim}
502 %\end{figure*}
503 %
504 % Note that often IEEE papers with subfigures do not employ subfigure
505 % captions (using the optional argument to \subfloat), but instead will
506 % reference/describe all of them (a), (b), etc., within the main caption.
507
508
509 % An example of a floating table. Note that, for IEEE style tables, the 
510 % \caption command should come BEFORE the table. Table text will default to
511 % \footnotesize as IEEE normally uses this smaller font for tables.
512 % The \label must come after \caption as always.
513 %
514 %\begin{table}[!t]
515 %% increase table row spacing, adjust to taste
516 %\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
517 % if using array.sty, it might be a good idea to tweak the value of
518 % \extrarowheight as needed to properly center the text within the cells
519 %\caption{An Example of a Table}
520 %\label{table_example}
521 %\centering
522 %% Some packages, such as MDW tools, offer better commands for making tables
523 %% than the plain LaTeX2e tabular which is used here.
524 %\begin{tabular}{|c||c|}
525 %\hline
526 %One & Two\\
527 %\hline
528 %Three & Four\\
529 %\hline
530 %\end{tabular}
531 %\end{table}
532
533
534 % Note that IEEE does not put floats in the very first column - or typically
535 % anywhere on the first page for that matter. Also, in-text middle ("here")
536 % positioning is not used. Most IEEE journals/conferences use top floats
537 % exclusively. Note that, LaTeX2e, unlike IEEE journals/conferences, places
538 % footnotes above bottom floats. This can be corrected via the \fnbelowfloat
539 % command of the stfloats package.
540
541
542
543 %%%*********************************************************
544 %%%*********************************************************
545 \section{Introduction}
546 % no \IEEEPARstart
547 % You must have at least 2 lines in the paragraph with the drop letter
548 % (should never be an issue)
549
550 Iterative methods have recently become more attractive than direct ones to solve
551 very large sparse  linear systems\cite{Saad2003}.  They are more  efficient in a
552 parallel context,  supporting thousands of  cores, and they require  less memory
553 and  arithmetic operations than  direct methods~\cite{bahicontascoutu}.  This is
554 why new iterative methods are frequently proposed or adapted by researchers, and
555 the increasing need to solve very  large sparse linear systems has triggered the
556 development  of  such  efficient  iterative  techniques  suitable  for  parallel
557 processing.
558
559 Most  of the  successful  iterative  methods currently  available  are based  on
560 so-called ``Krylov  subspaces''. They consist  in forming a basis  of successive
561 matrix powers  multiplied by an  initial vector, which  can be for  instance the
562 residual. These methods  use vectors orthogonality of the  Krylov subspace basis
563 in  order to solve  linear systems.   The most  known iterative  Krylov subspace
564 methods are conjugate gradient and GMRES ones (Generalized Minimal RESidual).
565
566
567 However,  iterative  methods  suffer   from  scalability  problems  on  parallel
568 computing  platforms  with many  processors,  due  to  their need  of  reduction
569 operations,   and  to   collective  communications   to   achieve  matrix-vector
570 multiplications. The  communications on large  clusters with thousands  of cores
571 and large sizes  of messages can significantly affect  the performances of these
572 iterative methods. As a consequence, Krylov subspace iteration methods are often
573 used  with  preconditioners  in  practice,  to increase  their  convergence  and
574 accelerate their  performances.  However, most  of the good  preconditioners are
575 not scalable on large clusters.
576
577 In  this research work,  a two-stage  algorithm based  on two  nested iterations
578 called inner-outer  iterations is proposed.  This algorithm  consists in solving
579 the sparse  linear system iteratively with  a small number  of inner iterations,
580 and  restarting  the  outer step  with  a  new  solution minimizing  some  error
581 functions  over some previous  residuals. For  further information  on two-stage
582 iteration      methods,     interested      readers      are     invited      to
583 consult~\cite{Nichols:1973:CTS}. Two-stage algorithms are easy to parallelize on
584 large clusters.  Furthermore,  the least-squares minimization technique improves
585 its convergence and performances.
586
587 The present  article is  organized as follows.   Related works are  presented in
588 Section~\ref{sec:02}. Section~\ref{sec:03} details the two-stage algorithm using
589 a  least-squares  residual   minimization,  while  Section~\ref{sec:04}  provides
590 convergence  results  regarding this  method.   Section~\ref{sec:05} shows  some
591 experimental  results  obtained  on  large  clusters  using  routines  of  PETSc
592 toolkit. This research work ends by  a conclusion section, in which the proposal
593 is summarized while intended perspectives are provided.
594
595 %%%*********************************************************
596 %%%*********************************************************
597
598
599
600 %%%*********************************************************
601 %%%*********************************************************
602 \section{Related works}
603 \label{sec:02} 
604 Krylov subspace iteration methods have increasingly become useful and successful techniques for solving linear and nonlinear systems and eigenvalue problems, especially since the increase development of the preconditioners~\cite{Saad2003,Meijerink77}. One reason of the popularity of these methods is their generality, simplicity and efficiency to solve systems of equations arising from very large and complex problems. %A Krylov method is based on a projection process onto a Krylov subspace spanned by vectors and it forms a sequence of approximations by minimizing the residual over the subspace formed~\cite{}.
605
606 GMRES is one of the most widely used Krylov iterative method for solving sparse and large linear systems. It is developed by Saad and al.~\cite{Saad86} as a generalized method to deal with unsymmetric and non-Hermitian problems, and indefinite symmetric problems too. In its original version called full GMRES, it minimizes the residual over the current Krylov subspace until convergence in at most $n$ iterations, where $n$ is the size of the sparse matrix. It should be noted that full GMRES is too expensive in the case of large matrices since the required orthogonalization process per iteration grows quadratically with the number of iterations. For that reason, in practice GMRES is restarted after each $m\ll n$ iterations to avoid the storage of a large orthonormal basis. However, the convergence behavior of the restarted GMRES, called GMRES($m$), in many cases depends quite critically on the value of $m$~\cite{Huang89}. Therefore in most cases, a preconditioning technique is applied to the restarted GMRES method in order to improve its convergence.
607
608 In order to enhance the robustness of Krylov iterative solvers, some techniques have been proposed allowing the use of different preconditioners, if necessary, within the iteration instead of restarting. Those techniques may lead to considerable savings in CPU time and memory requirements. Van der Vorst in~\cite{Vorst94} has proposed variants of the GMRES algorithm in which a different preconditioner is applied in each iteration, so-called GMRESR family of nested methods. In fact, the GMRES method is effectively preconditioned with other iterative schemes (or GMRES itself), where the iterations of the GMRES method are called outer iterations while the iterations of the preconditioning process referred to as inner iterations. Saad in~\cite{Saad:1993} has proposed FGMRES which is another variant of the GMRES algorithm using a variable preconditioner. In FGMRES the search directions are preconditioned whereas in GMRESR the residuals are preconditioned. However in practice the good preconditioners are those based on direct methods, as ILU preconditioners, which are not easy to parallelize and suffer from the scalability problems on large clusters of thousands of cores.  
609
610 Recently, communication-avoiding methods have been developed to reduce the communication overheads in Krylov subspace iterative solvers. On modern computer architectures, communications between processors are much slower than floating-point arithmetic operations on a given processor. Communication-avoiding techniques reduce either communications between processors or data movements between levels of the memory hierarchy, by reformulating the communication-bound kernels (more frequently SpMV kernels) and the orthogonalization operations within the Krylov iterative solver. Different works have studied the communication-avoiding methods for multicore processors and multi-GPU machines~\cite{} {\bf MANQUE REF}. 
611
612 Compared  to all these  works and  to all  the other  works on  Krylov iterative
613 method, the originality of our work is to build a second iteration over a Krylov
614 iterative method and to minimize the residuals with a least-squares method after
615 a given number of outer iteration.
616
617 %%%*********************************************************
618 %%%*********************************************************
619
620
621
622 %%%*********************************************************
623 %%%*********************************************************
624 \section{Two-stage iteration with least-squares residuals minimization algorithm}
625 \label{sec:03}
626 A two-stage algorithm is proposed  to solve large  sparse linear systems  of the
627 form  $Ax=b$,  where  $A\in\mathbb{R}^{n\times   n}$  is  a  sparse  and  square
628 nonsingular   matrix,   $x\in\mathbb{R}^n$    is   the   solution   vector,   and
629 $b\in\mathbb{R}^n$ is  the right-hand side.  As explained previously, 
630 the algorithm is implemented  as an
631 inner-outer iteration  solver based  on iterative Krylov  methods. The  main 
632 key-points of the proposed solver are given in Algorithm~\ref{algo:01}.
633 It can be summarized as follows: the
634 inner solver is a Krylov based one. In order to accelerate its convergence, the 
635 outer solver periodically applies a least-squares minimization  on the residuals computed by  the inner one. %Tsolver which does not required to be changed.
636
637 At each  outer iteration,  the sparse linear  system $Ax=b$ is  partially solved
638 using only $m$ iterations of  an iterative method, this latter being initialized
639 with the last obtained approximation.  GMRES method~\cite{Saad86}, or any of its
640 variants, can potentially be used  as inner solver. The current approximation of
641 the Krylov  method is then  stored inside  a $n \times  s$ matrix $S$,  which is
642 composed by  the $s$  last solutions  that have been  computed during  the inner
643 iterations phase.   In the remainder,  the $i$-th column  vector of $S$  will be
644 denoted by $S_i$.
645
646 At each $s$ iterations, another kind of minimization step is applied in order to
647 compute a new  solution $x$. For that, the previous  residuals of $Ax=b$ are computed by
648 the inner iterations with $(b-AS)$. The minimization of the residuals is obtained by  
649 \begin{equation}
650    \underset{\alpha\in\mathbb{R}^{s}}{min}\|b-R\alpha\|_2
651 \label{eq:01}
652 \end{equation}
653 with $R=AS$. The new solution $x$ is then computed with $x=S\alpha$.
654
655
656 In  practice, $R$  is a  dense rectangular  matrix belonging in  $\mathbb{R}^{n\times s}$,
657 with $s\ll n$.   In order  to minimize~\eqref{eq:01}, a  least-squares method  such as
658 CGLS ~\cite{Hestenes52}  or LSQR~\cite{Paige82} is used. Remark that these  methods are more
659 appropriate than a single direct method in a parallel context.
660
661
662
663 \begin{algorithm}[t]
664 \caption{TSIRM}
665 \begin{algorithmic}[1]
666   \Input $A$ (sparse matrix), $b$ (right-hand side)
667   \Output $x$ (solution vector)\vspace{0.2cm}
668   \State Set the initial guess $x_0$
669   \For {$k=1,2,3,\ldots$ until convergence ($error<\epsilon_{tsirm}$)} \label{algo:conv}
670     \State  $[x_k,error]=Solve(A,b,x_{k-1},max\_iter_{kryl})$   \label{algo:solve}
671     \State $S_{k \mod s}=x_k$ \label{algo:store} \Comment{update column ($k \mod s$) of $S$}
672     \If {$k \mod s=0$ {\bf and} $error>\epsilon_{kryl}$}
673       \State $R=AS$ \Comment{compute dense matrix} \label{algo:matrix_mul}
674             \State $\alpha=Least\_Squares(R,b,max\_iter_{ls})$ \label{algo:}
675       \State $x_k=S\alpha$  \Comment{compute new solution}
676     \EndIf
677   \EndFor
678 \end{algorithmic}
679 \label{algo:01}
680 \end{algorithm}
681
682 Algorithm~\ref{algo:01} summarizes  the principle  of the proposed  method.  The
683 outer iteration is inside the \emph{for} loop. Line~\ref{algo:solve}, the Krylov
684 method is called  for a maximum of $max\_iter_{kryl}$  iterations.  In practice,
685 we suggest to  set this parameter equal to the restart  number in the GMRES-like
686 method. Moreover,  a tolerance  threshold must be  specified for the  solver. In
687 practice, this threshold must be  much smaller than the convergence threshold of
688 the  TSIRM algorithm  (\emph{i.e.}, $\epsilon_{tsirm}$).  We also  consider that
689 after the call of the $Solve$ function, we obtain the vector $x_k$ and the error
690 which is defined by $||Ax_k-b||_2$.
691
692   Line~\ref{algo:store},
693 $S_{k \mod  s}=x_k$ consists in  copying the solution  $x_k$ into the  column $k
694 \mod s$ of $S$.   After the minimization, the matrix $S$ is  reused with the new
695 values of the residuals.  To solve the minimization problem, an iterative method
696 is used. Two parameters are required  for that: the maximum number of iterations
697 and the threshold to stop the method.
698
699 Let us summarize the most important parameters of TSIRM:
700 \begin{itemize}
701 \item $\epsilon_{tsirm}$: the threshold to stop the TSIRM method;
702 \item $max\_iter_{kryl}$: the maximum number of iterations for the Krylov method;
703 \item $s$: the number of outer iterations before applying the minimization step;
704 \item $max\_iter_{ls}$: the maximum number of iterations for the iterative least-squares method;
705 \item $\epsilon_{ls}$: the threshold used to stop the least-squares method.
706 \end{itemize}
707
708
709 The  parallelization  of  TSIRM  relies   on  the  parallelization  of  all  its
710 parts. More  precisely, except  the least-squares step,  all the other  parts are
711 obvious to  achieve out in parallel. In  order to develop a  parallel version of
712 our   code,   we   have   chosen  to   use   PETSc~\cite{petsc-web-page}.    For
713 line~\ref{algo:matrix_mul} the  matrix-matrix multiplication is  implemented and
714 efficient since the  matrix $A$ is sparse and since the  matrix $S$ contains few
715 columns in  practice. As explained  previously, at least  two methods seem  to be
716 interesting to solve the least-squares minimization, CGLS and LSQR.
717
718 In the following  we remind the CGLS algorithm. The LSQR  method follows more or
719 less the same principle but it takes more place, so we briefly explain the parallelization of CGLS which is similar to LSQR.
720
721 \begin{algorithm}[t]
722 \caption{CGLS}
723 \begin{algorithmic}[1]
724   \Input $A$ (matrix), $b$ (right-hand side)
725   \Output $x$ (solution vector)\vspace{0.2cm}
726   \State Let $x_0$ be an initial approximation
727   \State $r_0=b-Ax_0$
728   \State $p_1=A^Tr_0$
729   \State $s_0=p_1$
730   \State $\gamma=||s_0||^2_2$
731   \For {$k=1,2,3,\ldots$ until convergence ($\gamma<\epsilon_{ls}$)} \label{algo2:conv}
732     \State $q_k=Ap_k$
733     \State $\alpha_k=\gamma/||q_k||^2_2$
734     \State $x_k=x_{k-1}+\alpha_kp_k$
735     \State $r_k=r_{k-1}-\alpha_kq_k$
736     \State $s_k=A^Tr_k$
737     \State $\gamma_{old}=\gamma$
738     \State $\gamma=||s_k||^2_2$
739     \State $\beta_k=\gamma/\gamma_{old}$
740     \State $p_{k+1}=s_k+\beta_kp_k$
741   \EndFor
742 \end{algorithmic}
743 \label{algo:02}
744 \end{algorithm}
745
746
747 In each iteration  of CGLS, there is two  matrix-vector multiplications and some
748 classical operations:  dot product, norm, multiplication  and addition on  vectors. All
749 these operations are easy to implement in PETSc or similar environment.
750
751
752
753 %%%*********************************************************
754 %%%*********************************************************
755
756 \section{Convergence results}
757 \label{sec:04}
758
759
760 We can now claim that,
761 \begin{proposition}
762 \label{prop:saad}
763 If $A$ is either a definite positive or a positive matrix and GMRES($m$) is used as solver, then the TSIRM algorithm is convergent. 
764
765 Furthermore, let $r_k$ be the
766 $k$-th residue of TSIRM, then
767 we have the following boundaries:
768 \begin{itemize}
769 \item when $A$ is positive:
770 \begin{equation}
771 ||r_k|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{km}{2}} ||r_0|| ,
772 \end{equation}
773 where $M$ is the symmetric part of $A$, $\alpha = \lambda_{min}(M)^2$ and $\beta = \lambda_{max}(A^T A)$;
774 \item when $A$ is positive definite:
775 \begin{equation}
776 \|r_k\| \leq \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{km/2} \|r_0\|.
777 \end{equation}
778 \end{itemize}
779 %In the general case, where A is not positive definite, we have
780 %$\|r_n\| \le \inf_{p \in P_n} \|p(A)\| \le \kappa_2(V) \inf_{p \in P_n} \max_{\lambda \in \sigma(A)} |p(\lambda)| \|r_0\|, .$
781 \end{proposition}
782
783 \begin{proof}
784 Let us first recall that the residue is under control when considering the GMRES algorithm on a positive definite matrix, and it is bounded as follows:
785 \begin{equation*}
786 \|r_k\| \leq \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{k/2} \|r_0\| .
787 \end{equation*}
788 Additionally, when $A$ is a positive real matrix with symmetric part $M$, then the residual norm provided at the $m$-th step of GMRES satisfies:
789 \begin{equation*}
790 ||r_m|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{m}{2}} ||r_0|| ,
791 \end{equation*}
792 where $\alpha$ and $\beta$ are defined as in Proposition~\ref{prop:saad}, which proves 
793 the convergence of GMRES($m$) for all $m$ under such assumptions regarding $A$.
794 These well-known results can be found, \emph{e.g.}, in~\cite{Saad86}.
795
796 We will now prove by a mathematical induction that, for each $k \in \mathbb{N}^\ast$, 
797 $||r_k|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{mk}{2}} ||r_0||$ when $A$ is positive, and $\|r_k\| \leq \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{km/2} \|r_0\|$ when $A$ is positive definite.
798
799 The base case is obvious, as for $k=1$, the TSIRM algorithm simply consists in applying GMRES($m$) once, leading to a new residual $r_1$ that follows the inductive hypothesis due, to the results recalled above.
800
801 Suppose now that the claim holds for all $m=1, 2, \hdots, k-1$, that is, $\forall m \in \{1,2,\hdots, k-1\}$, $||r_m|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{km}{2}} ||r_0||$ in the positive case, and $\|r_k\| \leq \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{km/2} \|r_0\|$ in the definite positive one.
802 We will show that the statement holds too for $r_k$. Two situations can occur:
803 \begin{itemize}
804 \item If $k \not\equiv 0 ~(\textrm{mod}\ m)$, then the TSIRM algorithm consists in executing GMRES once. In that case and by using the inductive hypothesis, we obtain either $||r_k|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{m}{2}} ||r_{k-1}||\leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{km}{2}} ||r_0||$ if $A$ is positive, or $\|r_k\| \leqslant \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{m/2} \|r_{k-1}\|$ $\leqslant$ $\left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{km/2} \|r_{0}\|$ in the positive definite case.
805 \item Else, the TSIRM algorithm consists in two stages: a first GMRES($m$) execution leads to a temporary $x_k$ whose residue satisfies:
806 \begin{itemize}
807 \item $||r_k|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{m}{2}} ||r_{k-1}||\leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{km}{2}} ||r_0||$ in the positive case, 
808 \item $\|r_k\| \leqslant \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{m/2} \|r_{k-1}\|$ $\leqslant$ $\left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{km/2} \|r_{0}\|$ in the positive definite one,
809 \end{itemize}
810 and a least squares resolution.
811 Let $\operatorname{span}(S) = \left \{ {\sum_{i=1}^k \lambda_i v_i \Big| k \in \mathbb{N}, v_i \in S, \lambda _i \in \mathbb{R}} \right \}$ be the linear span of a set of real vectors $S$. So,\\
812 $\min_{\alpha \in \mathbb{R}^s} ||b-R\alpha ||_2 = \min_{\alpha \in \mathbb{R}^s} ||b-AS\alpha ||_2$
813
814 $\begin{array}{ll}
815 & = \min_{x \in span\left(S_{k-s+1}, S_{k-s+2}, \hdots, S_{k} \right)} ||b-AS\alpha ||_2\\
816 & = \min_{x \in span\left(x_{k-s+1}, x_{k-s}+2, \hdots, x_{k} \right)} ||b-AS\alpha ||_2\\
817 & \leqslant \min_{x \in span\left( x_{k} \right)} ||b-Ax ||_2\\
818 & \leqslant \min_{\lambda \in \mathbb{R}} ||b-\lambda Ax_{k} ||_2\\
819 & \leqslant ||b-Ax_{k}||_2\\
820 & = ||r_k||_2\\
821 & \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{km}{2}} ||r_0||, \textrm{ if $A$ is positive,}\\
822 & \leqslant \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{km/2} \|r_{0}\|, \textrm{ if $A$ is}\\
823 & \textrm{positive definite,} 
824 \end{array}$
825 \end{itemize}
826 which concludes the induction and the proof.
827 \end{proof}
828
829 %We can remark that, at each iterate, the residue of the TSIRM algorithm is lower 
830 %than the one of the GMRES method.
831
832 %%%*********************************************************
833 %%%*********************************************************
834 \section{Experiments using PETSc}
835 \label{sec:05}
836
837
838 In order to see the behavior of the proposal when considering only one processor, a first
839 comparison with GMRES or FGMRES and the new algorithm detailed previously has been experimented. 
840 Matrices that have been used with their characteristics (names, fields, rows, and nonzero coefficients) are detailed in 
841 Table~\ref{tab:01}.  These latter, which are real-world applications matrices, 
842 have been extracted 
843  from   the  Davis  collection,   University  of
844 Florida~\cite{Dav97}.
845
846 \begin{table}[htbp]
847 \begin{center}
848 \begin{tabular}{|c|c|r|r|r|} 
849 \hline
850 Matrix name              & Field             &\# Rows   & \# Nonzeros   \\\hline \hline
851 crashbasis         & Optimization      & 160,000  &  1,750,416  \\
852 parabolic\_fem     & Comput. fluid dynamics  & 525,825 & 2,100,225 \\
853 epb3               & Thermal problem   & 84,617  & 463,625  \\
854 atmosmodj          & Comput. fluid dynamics  & 1,270,432 & 8,814,880 \\
855 bfwa398            & Electromagnetics pb & 398 & 3,678 \\
856 torso3             & 2D/3D problem & 259,156 & 4,429,042 \\
857 \hline
858
859 \end{tabular}
860 \caption{Main characteristics of the sparse matrices chosen from the Davis collection}
861 \label{tab:01}
862 \end{center}
863 \end{table}
864 Chosen parameters are detailed below.
865 %The following  parameters have been chosen  for our experiments.   
866 As by default
867 the restart  of GMRES is performed every  30 iterations, we have  chosen to stop
868 the GMRES every 30 iterations (\emph{i.e.} $max\_iter_{kryl}=30$).  $s$ is set to 8. CGLS is
869 chosen  to minimize  the least-squares  problem with  the  following parameters:
870 $\epsilon_{ls}=1e-40$ and $max\_iter_{ls}=20$.  The external precision is set to
871 $\epsilon_{tsirm}=1e-10$.  Those  experiments have been performed  on a Intel(R)
872 Core(TM) i7-3630QM CPU @ 2.40GHz with the version 3.5.1 of PETSc.
873
874
875 In  Table~\ref{tab:02}, some  experiments comparing  the solving  of  the linear
876 systems obtained with the previous matrices  with a GMRES variant and with out 2
877 stage algorithm are  given. In the second column, it can  be noticed that either
878 GRMES or  FGMRES (Flexible  GMRES)~\cite{Saad:1993} is used  to solve  the linear
879 system.   According to  the matrices,  different preconditioner  is  used.  With
880 TSIRM, the same solver and the  same preconditionner are used.  This Table shows
881 that  TSIRM  can  drastically reduce  the  number  of  iterations to  reach  the
882 convergence when the  number of iterations for the normal GMRES  is more or less
883 greater than  500. In fact  this also depends  on tow parameters: the  number of
884 iterations  to  stop  GMRES  and   the  number  of  iterations  to  perform  the
885 minimization.
886
887
888 \begin{table}[htbp]
889 \begin{center}
890 \begin{tabular}{|c|c|r|r|r|r|} 
891 \hline
892
893  \multirow{2}{*}{Matrix name}  & Solver /   & \multicolumn{2}{c|}{GMRES} & \multicolumn{2}{c|}{TSIRM CGLS} \\ 
894 \cline{3-6}
895        &  precond             & Time  & \# Iter.  & Time  & \# Iter.  \\\hline \hline
896
897 crashbasis         & gmres / none             &  15.65     & 518  &  14.12 & 450  \\
898 parabolic\_fem     & gmres / ilu           & 1009.94   & 7573 & 401.52 & 2970 \\
899 epb3               & fgmres / sor             &  8.67     & 600  &  8.21 & 540  \\
900 atmosmodj          &  fgmres / sor & 104.23  & 451 & 88.97 & 366  \\
901 bfwa398            & gmres / none  & 1.42 & 9612 & 0.28 & 1650 \\
902 torso3             & fgmres / sor  & 37.70 & 565 & 34.97 & 510 \\
903 \hline
904
905 \end{tabular}
906 \caption{Comparison of (F)GMRES and TSIRM with (F)GMRES in sequential with some matrices, time is expressed in seconds.}
907 \label{tab:02}
908 \end{center}
909 \end{table}
910
911
912
913
914
915 In order to perform larger experiments, we have tested some example applications
916 of PETSc. Those  applications are available in the ksp part  which is suited for
917 scalable linear equations solvers:
918 \begin{itemize}
919 \item ex15  is an example  which solves in  parallel an operator using  a finite
920   difference  scheme.   The  diagonal  is  equal to  4  and  4  extra-diagonals
921   representing the neighbors in each directions  are equal to -1. This example is
922   used  in many  physical phenomena, for  example, heat  and fluid  flow, wave
923   propagation, etc.
924 \item ex54 is another example based on 2D problem discretized with quadrilateral
925   finite elements. For this example, the user can define the scaling of material
926   coefficient in embedded circle called $\alpha$.
927 \end{itemize}
928 For more technical details on these applications, interested readers are invited
929 to read  the codes  available in  the PETSc sources.   Those problems  have been
930 chosen because they are scalable with many  cores which is not the case of other
931 problems that we have tested.
932
933 In  the  following   larger  experiments  are  described  on   two  large  scale
934 architectures:  Curie and  Juqeen.  Both  these architectures  are supercomputer
935 composed of 80,640 cores for Curie and 458,752 cores for Juqueen. Those machines
936 are respectively hosted  by GENCI in France and  Jülich Supercomputing Centre in
937 Germany. They belongs with other similar architectures of the PRACE initiative (
938 Partnership  for Advanced  Computing in  Europe)  which aims  at proposing  high
939 performance supercomputing architecture to enhance research in Europe. The Curie
940 architecture is composed of Intel E5-2680  processors at 2.7 GHz with 2Gb memory
941 by core. The Juqueen architecture is composed  of IBM PowerPC A2 at 1.6 GHz with
942 1Gb memory per  core. Both those architecture are equiped  with a dedicated high
943 speed network.
944
945
946 In  many situations, using  preconditioners is  essential in  order to  find the
947 solution of a linear system.  There are many preconditioners available in PETSc.
948 For parallel applications all  the preconditioners based on matrix factorization
949 are  not  available. In  our  experiments, we  have  tested  different kinds  of
950 preconditioners, however  as it is  not the subject  of this paper, we  will not
951 present results with many preconditioners. In  practise, we have chosen to use a
952 multigrid (mg)  and successive  over-relaxation (sor). For  more details  on the
953 preconditioner in PETSc please consult~\cite{petsc-web-page}.
954
955
956
957 \begin{table*}[htbp]
958 \begin{center}
959 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} 
960 \hline
961
962   nb. cores & precond   & \multicolumn{2}{c|}{FGMRES} & \multicolumn{2}{c|}{TSIRM CGLS} &  \multicolumn{2}{c|}{TSIRM LSQR} & best gain \\ 
963 \cline{3-8}
964              &                       & Time  & \# Iter.  & Time  & \# Iter. & Time  & \# Iter. & \\\hline \hline
965   2,048      & mg                    & 403.49   & 18,210    & 73.89  & 3,060   & 77.84  & 3,270  & 5.46 \\
966   2,048      & sor                   & 745.37   & 57,060    & 87.31  & 6,150   & 104.21 & 7,230  & 8.53 \\
967   4,096      & mg                    & 562.25   & 25,170    & 97.23  & 3,990   & 89.71  & 3,630  & 6.27 \\
968   4,096      & sor                   & 912.12   & 70,194    & 145.57 & 9,750   & 168.97 & 10,980 & 6.26 \\
969   8,192      & mg                    & 917.02   & 40,290    & 148.81 & 5,730   & 143.03 & 5,280  & 6.41 \\
970   8,192      & sor                   & 1,404.53 & 106,530   & 212.55 & 12,990  & 180.97 & 10,470 & 7.76 \\
971   16,384     & mg                    & 1,430.56 & 63,930    & 237.17 & 8,310   & 244.26 & 7,950  & 6.03 \\
972   16,384     & sor                   & 2,852.14 & 216,240   & 418.46 & 21,690  & 505.26 & 23,970 & 6.82 \\
973 \hline
974
975 \end{tabular}
976 \caption{Comparison of FGMRES and TSIRM with FGMRES for example ex15 of PETSc with two preconditioners (mg and sor) with 25,000 components per core on Juqueen (threshold 1e-3, restart=30, s=12),  time is expressed in seconds.}
977 \label{tab:03}
978 \end{center}
979 \end{table*}
980
981 Table~\ref{tab:03} shows  the execution  times and the  number of  iterations of
982 example ex15  of PETSc on the  Juqueen architecture. Different  numbers of cores
983 are  studied ranging  from  2,048  up-to 16,383 with the two preconditioners {\it mg} and {\it sor}.   For those experiments,  the number  of components  (or unknowns  of the
984 problems)  per core  is fixed  to 25,000,  also called  weak  scaling. This
985 number can seem relatively small. In fact, for some applications that need a lot
986 of  memory, the  number of  components per  processor requires  sometimes  to be
987 small.
988
989
990
991 In Table~\ref{tab:03}, we  can notice that TSIRM is always faster  than FGMRES. The last
992 column shows the ratio between FGMRES and the best version of TSIRM according to
993 the minimization  procedure: CGLS or  LSQR. Even if  we have computed  the worst
994 case  between CGLS  and LSQR,  it is  clear that  TSIRM is  always  faster than
995 FGMRES. For this example, the  multigrid preconditioner is faster than SOR. The
996 gain  between   TSIRM  and  FGMRES  is   more  or  less  similar   for  the  two
997 preconditioners.  Looking at the number  of iterations to reach the convergence,
998 it is  obvious that TSIRM allows the  reduction of the number  of iterations. It
999 should be noticed  that for TSIRM, in those experiments,  only the iterations of
1000 the Krylov solver  are taken into account.  Iterations of CGLS  or LSQR were not
1001 recorded but they are time-consuming. In general each $max\_iter_{kryl}*s$ which
1002 corresponds to 30*12, there are $max\_iter_{ls}$ which corresponds to 15.
1003
1004 \begin{figure}[htbp]
1005 \centering
1006   \includegraphics[width=0.45\textwidth]{nb_iter_sec_ex15_juqueen}
1007 \caption{Number of iterations per second with ex15 and the same parameters than in Table~\ref{tab:03} (weak scaling)}
1008 \label{fig:01}
1009 \end{figure}
1010
1011
1012 In  Figure~\ref{fig:01}, the number  of iterations  per second  corresponding to
1013 Table~\ref{tab:03}  is  displayed.   It  can  be  noticed  that  the  number  of
1014 iterations per second of FMGRES is  constant whereas it decreases with TSIRM with
1015 both preconditioners. This  can be explained by the fact that  when the number of
1016 cores increases the time for the least-squares minimization step also increases but, generally,
1017 when  the number  of cores  increases,  the number  of iterations  to reach  the
1018 threshold also increases,  and, in that case, TSIRM is  more efficient to reduce
1019 the number of iterations. So, the overall benefit of using TSIRM is interesting.
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026 \begin{table*}[htbp]
1027 \begin{center}
1028 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} 
1029 \hline
1030
1031   nb. cores & threshold   & \multicolumn{2}{c|}{FGMRES} & \multicolumn{2}{c|}{TSIRM CGLS} &  \multicolumn{2}{c|}{TSIRM LSQR} & best gain \\ 
1032 \cline{3-8}
1033              &                       & Time  & \# Iter.  & Time  & \# Iter. & Time  & \# Iter. & \\\hline \hline
1034   2,048      & 8e-5                  & 108.88 & 16,560  & 23.06  &  3,630  & 22.79  & 3,630   & 4.77 \\
1035   2,048      & 6e-5                  & 194.01 & 30,270  & 35.50  &  5,430  & 27.74  & 4,350   & 6.99 \\
1036   4,096      & 7e-5                  & 160.59 & 22,530  & 35.15  &  5,130  & 29.21  & 4,350   & 5.49 \\
1037   4,096      & 6e-5                  & 249.27 & 35,520  & 52.13  &  7,950  & 39.24  & 5,790   & 6.35 \\
1038   8,192      & 6e-5                  & 149.54 & 17,280  & 28.68  &  3,810  & 29.05  & 3,990  & 5.21 \\
1039   8,192      & 5e-5                  & 785.04 & 109,590 & 76.07  &  10,470  & 69.42 & 9,030  & 11.30 \\
1040   16,384     & 4e-5                  & 718.61 & 86,400 & 98.98  &  10,830  & 131.86  & 14,790  & 7.26 \\
1041 \hline
1042
1043 \end{tabular}
1044 \caption{Comparison of FGMRES  and TSIRM with FGMRES algorithms for ex54 of Petsc (both with the MG preconditioner) with 25,000 components per core on Curie (restart=30, s=12),  time is expressed in seconds.}
1045 \label{tab:04}
1046 \end{center}
1047 \end{table*}
1048
1049
1050 In  Table~\ref{tab:04},  some  experiments   with  example  ex54  on  the  Curie
1051 architecture are reported.  For this  application, we fixed $\alpha=0.6$.  As it
1052 can be seen in that Table, the size of the problem has a strong influence on the
1053 number of iterations to reach the  convergence. That is why we have preferred to
1054 change the threshold.  If we set  it to $1e-3$ as with the previous application,
1055 only one iteration is necessray  to reach the convergence. So Table~\ref{tab:04}
1056 shows the results  of differents executions with differents  number of cores and
1057 differents thresholds. As  with the previous example, we  can observe that TSIRM
1058 is faster than FGMRES. The ratio greatly depends on the number of iterations for
1059 FMGRES to reach the threshold. The greater the number of iterations to reach the
1060 convergence is, the  better the ratio between our algorithm  and FMGRES is. This
1061 experiment is  also a  weak scaling with  approximately $25,000$  components per
1062 core. It can also  be observed that the difference between CGLS  and LSQR is not
1063 significant. Both can be good but it seems not possible to know in advance which
1064 one will be the best.
1065
1066 Table~\ref{tab:05} show a strong scaling experiment with the exemple ex54 on the
1067 Curie  architecture. So  in  this case,  the  number of  unknownws  is fixed  to
1068 $204,919,225$ and the number of cores ranges from $512$ to $8192$ with the power
1069 of two.  The  threshold is fixed to $5e-5$ and only  the $mg$ preconditioner has
1070 been tested. Here  again we can see that TSIRM is  faster that FGMRES. Efficiecy
1071 of each algorithms is reported. It  can be noticed that FGMRES is more efficient
1072 than TSIRM except with $8,192$ cores and that its efficiency is greater that one
1073 whereas the  efficiency of TSIRM is  lower than one. Nevertheless,  the ratio of
1074 TSIRM  with any  version  of the  least-squares  method is  always faster.  With
1075 $8,192$ cores when the number of iterations is far more important for FGMRES, we
1076 can see that it is only slightly more important for TSIRM.
1077
1078 In  Figure~\ref{fig:02}  we report  the  number  of  iterations per  second  for
1079 experiments  reported in  Table~\ref{tab:05}.  This Figure  highlights that  the
1080 number of iterations per  seconds is more of less the same  for FGMRES and TSIRM
1081 with a little advantage for FGMRES. It  can be explained by the fact that, as we
1082 have previously explained, that the iterations of the least-sqaure steps are not
1083 taken into account with TSIRM.
1084
1085 \begin{table*}[htbp]
1086 \begin{center}
1087 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} 
1088 \hline
1089
1090   nb. cores   & \multicolumn{2}{c|}{FGMRES} & \multicolumn{2}{c|}{TSIRM CGLS} &  \multicolumn{2}{c|}{TSIRM LSQR} & best gain & \multicolumn{3}{c|}{efficiency} \\ 
1091 \cline{2-7} \cline{9-11}
1092                     & Time  & \# Iter.  & Time  & \# Iter. & Time  & \# Iter. &   & FGMRES & TS CGLS & TS LSQR\\\hline \hline
1093    512              & 3,969.69 & 33,120 & 709.57 & 5,790  & 622.76 & 5,070  & 6.37  &   1    &    1    &     1     \\
1094    1024             & 1,530.06  & 25,860 & 290.95 & 4,830  & 307.71 & 5,070 & 5.25  &  1.30  &    1.21  &   1.01     \\
1095    2048             & 919.62    & 31,470 & 237.52 & 8,040  & 194.22 & 6,510 & 4.73  & 1.08   &    .75   &   .80\\
1096    4096             & 405.60    & 28,380 & 111.67 & 7,590  & 91.72  & 6,510 & 4.42  & 1.22   &  .79     &   .84 \\
1097    8192             & 785.04   & 109,590 & 76.07  & 10,470 & 69.42 & 9,030  & 11.30 &   .32  &   .58    &  .56 \\
1098
1099 \hline
1100
1101 \end{tabular}
1102 \caption{Comparison of FGMRES  and TSIRM with FGMRES for ex54 of Petsc (both with the MG preconditioner) with 204,919,225 components on Curie with different number of cores (restart=30, s=12, threshold 5e-5),  time is expressed in seconds.}
1103 \label{tab:05}
1104 \end{center}
1105 \end{table*}
1106
1107 \begin{figure}[htbp]
1108 \centering
1109   \includegraphics[width=0.45\textwidth]{nb_iter_sec_ex54_curie}
1110 \caption{Number of iterations per second with ex54 and the same parameters than in Table~\ref{tab:05} (strong scaling)}
1111 \label{fig:02}
1112 \end{figure}
1113
1114
1115 Concerning the  experiments some  other remarks are  interesting.
1116 \begin{itemize}
1117 \item We  can tested other examples of  PETSc (ex29, ex45, ex49).  For all these
1118   examples,  we also obtained  similar gain  between GMRES  and TSIRM  but those
1119   examples are  not scalable with many  cores. In general, we  had some problems
1120   with more than $4,096$ cores.
1121 \item We have tested many iterative  solvers available in PETSc.  In fast, it is
1122   possible to use most of them with TSIRM. From our point of view, the condition
1123   to  use  a  solver inside  TSIRM  is  that  the  solver  must have  a  restart
1124   feature. More  precisely, the solver must  support to be  stoped and restarted
1125   without decrease its  converge. That is why  with GMRES we stop it  when it is
1126   naturraly  restarted (i.e.  with  $m$ the  restart parameter).   The Conjugate
1127   Gradient (CG) and all its variants do not have ``restarted'' version in PETSc,
1128   so they  are not  efficient.  They  will converge with  TSIRM but  not quickly
1129   because if  we compare  a normal CG  with a CG  for which  we stop it  each 16
1130   iterations  for example,  the  normal CG  will  be for  more efficient.   Some
1131   restarted CG  or CG variant versions exist  and may be interested  to study in
1132   future works.
1133 \end{itemize}
1134 %%%*********************************************************
1135 %%%*********************************************************
1136
1137
1138
1139 %%%*********************************************************
1140 %%%*********************************************************
1141 \section{Conclusion}
1142 \label{sec:06}
1143 %The conclusion goes here. this is more of the conclusion
1144 %%%*********************************************************
1145 %%%*********************************************************
1146
1147 A novel two-stage iterative  algorithm has been proposed in this article,
1148 in order to accelerate the convergence Krylov iterative  methods.
1149 Our TSIRM proposal acts as a merger between Krylov based solvers and
1150 a least-squares minimization step.
1151 The convergence of the method has been proven in some situations, while 
1152 experiments up to 16,394 cores have been led to verify that TSIRM runs
1153 5 or  7 times  faster than GMRES.
1154
1155
1156 For  future  work, the  authors'  intention is  to  investigate  other kinds  of
1157 matrices, problems, and  inner solvers. The influence of  all parameters must be
1158 tested too, while other methods to minimize the residuals must be regarded.  The
1159 number of outer  iterations to minimize should become  adaptative to improve the
1160 overall performances of the proposal.   Finally, this solver will be implemented
1161 inside PETSc. This  would be very interesting because it would  allow us to test
1162 all the non-linear  examples and compare our algorithm  with the other algorithm
1163 implemented in PETSc.
1164
1165
1166 % conference papers do not normally have an appendix
1167
1168
1169
1170 % use section* for acknowledgement
1171 %%%*********************************************************
1172 %%%*********************************************************
1173 \section*{Acknowledgment}
1174 This  paper  is   partially  funded  by  the  Labex   ACTION  program  (contract
1175 ANR-11-LABX-01-01).   We acknowledge PRACE  for awarding  us access  to resources
1176 Curie and Juqueen respectively based in France and Germany.
1177
1178
1179
1180 % trigger a \newpage just before the given reference
1181 % number - used to balance the columns on the last page
1182 % adjust value as needed - may need to be readjusted if
1183 % the document is modified later
1184 %\IEEEtriggeratref{8}
1185 % The "triggered" command can be changed if desired:
1186 %\IEEEtriggercmd{\enlargethispage{-5in}}
1187
1188 % references section
1189
1190 % can use a bibliography generated by BibTeX as a .bbl file
1191 % BibTeX documentation can be easily obtained at:
1192 % http://www.ctan.org/tex-archive/biblio/bibtex/contrib/doc/
1193 % The IEEEtran BibTeX style support page is at:
1194 % http://www.michaelshell.org/tex/ieeetran/bibtex/
1195 \bibliographystyle{IEEEtran}
1196 % argument is your BibTeX string definitions and bibliography database(s)
1197 \bibliography{biblio}
1198 %
1199 % <OR> manually copy in the resultant .bbl file
1200 % set second argument of \begin to the number of references
1201 % (used to reserve space for the reference number labels box)
1202 %% \begin{thebibliography}{1}
1203
1204 %% \bibitem{saad86} Y.~Saad and M.~H.~Schultz, \emph{GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm for Solving Nonsymmetric Linear Systems}, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 7(3):856--869, 1986.
1205
1206 %% \bibitem{saad96} Y.~Saad, \emph{Iterative Methods for Sparse Linear Systems}, PWS Publishing, New York, 1996.
1207
1208 %% \bibitem{hestenes52} M.~R.~Hestenes and E.~Stiefel, \emph{Methods of conjugate gradients for solving linear system}, Journal of Research of National Bureau of Standards, B49:409--436, 1952.
1209
1210 %% \bibitem{paige82} C.~C.~Paige and A.~M.~Saunders, \emph{LSQR: An Algorithm for Sparse Linear Equations and Sparse Least Squares}, ACM Trans. Math. Softw. 8(1):43--71, 1982.
1211 %% \end{thebibliography}
1212
1213
1214
1215
1216 % that's all folks
1217 \end{document}