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Private GIT Repository
d0fac6496dfa69f2e71ea4e5606fbebe1bfdae73
[GMRES2stage.git] / paper.tex
1
2 %% bare_conf.tex
3 %% V1.3
4 %% 2007/01/11
5 %% by Michael Shell
6 %% See:
7 %% http://www.michaelshell.org/
8 %% for current contact information.
9 %%
10 %% This is a skeleton file demonstrating the use of IEEEtran.cls
11 %% (requires IEEEtran.cls version 1.7 or later) with an IEEE conference paper.
12 %%
13 %% Support sites:
14 %% http://www.michaelshell.org/tex/ieeetran/
15 %% http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/IEEEtran/
16 %% and
17 %% http://www.ieee.org/
18
19 %%*************************************************************************
20 %% Legal Notice:
21 %% This code is offered as-is without any warranty either expressed or
22 %% implied; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or
23 %% FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE! 
24 %% User assumes all risk.
25 %% In no event shall IEEE or any contributor to this code be liable for
26 %% any damages or losses, including, but not limited to, incidental,
27 %% consequential, or any other damages, resulting from the use or misuse
28 %% of any information contained here.
29 %%
30 %% All comments are the opinions of their respective authors and are not
31 %% necessarily endorsed by the IEEE.
32 %%
33 %% This work is distributed under the LaTeX Project Public License (LPPL)
34 %% ( http://www.latex-project.org/ ) version 1.3, and may be freely used,
35 %% distributed and modified. A copy of the LPPL, version 1.3, is included
36 %% in the base LaTeX documentation of all distributions of LaTeX released
37 %% 2003/12/01 or later.
38 %% Retain all contribution notices and credits.
39 %% ** Modified files should be clearly indicated as such, including  **
40 %% ** renaming them and changing author support contact information. **
41 %%
42 %% File list of work: IEEEtran.cls, IEEEtran_HOWTO.pdf, bare_adv.tex,
43 %%                    bare_conf.tex, bare_jrnl.tex, bare_jrnl_compsoc.tex
44 %%*************************************************************************
45
46 % *** Authors should verify (and, if needed, correct) their LaTeX system  ***
47 % *** with the testflow diagnostic prior to trusting their LaTeX platform ***
48 % *** with production work. IEEE's font choices can trigger bugs that do  ***
49 % *** not appear when using other class files.                            ***
50 % The testflow support page is at:
51 % http://www.michaelshell.org/tex/testflow/
52
53
54
55 % Note that the a4paper option is mainly intended so that authors in
56 % countries using A4 can easily print to A4 and see how their papers will
57 % look in print - the typesetting of the document will not typically be
58 % affected with changes in paper size (but the bottom and side margins will).
59 % Use the testflow package mentioned above to verify correct handling of
60 % both paper sizes by the user's LaTeX system.
61 %
62 % Also note that the "draftcls" or "draftclsnofoot", not "draft", option
63 % should be used if it is desired that the figures are to be displayed in
64 % draft mode.
65 %
66 \documentclass[10pt, conference, compsocconf]{IEEEtran}
67 % Add the compsocconf option for Computer Society conferences.
68 %
69 % If IEEEtran.cls has not been installed into the LaTeX system files,
70 % manually specify the path to it like:
71 % \documentclass[conference]{../sty/IEEEtran}
72
73
74
75
76
77 % Some very useful LaTeX packages include:
78 % (uncomment the ones you want to load)
79
80
81 % *** MISC UTILITY PACKAGES ***
82 %
83 %\usepackage{ifpdf}
84 % Heiko Oberdiek's ifpdf.sty is very useful if you need conditional
85 % compilation based on whether the output is pdf or dvi.
86 % usage:
87 % \ifpdf
88 %   % pdf code
89 % \else
90 %   % dvi code
91 % \fi
92 % The latest version of ifpdf.sty can be obtained from:
93 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/oberdiek/
94 % Also, note that IEEEtran.cls V1.7 and later provides a builtin
95 % \ifCLASSINFOpdf conditional that works the same way.
96 % When switching from latex to pdflatex and vice-versa, the compiler may
97 % have to be run twice to clear warning/error messages.
98
99
100
101
102
103
104 % *** CITATION PACKAGES ***
105 %
106 %\usepackage{cite}
107 % cite.sty was written by Donald Arseneau
108 % V1.6 and later of IEEEtran pre-defines the format of the cite.sty package
109 % \cite{} output to follow that of IEEE. Loading the cite package will
110 % result in citation numbers being automatically sorted and properly
111 % "compressed/ranged". e.g., [1], [9], [2], [7], [5], [6] without using
112 % cite.sty will become [1], [2], [5]--[7], [9] using cite.sty. cite.sty's
113 % \cite will automatically add leading space, if needed. Use cite.sty's
114 % noadjust option (cite.sty V3.8 and later) if you want to turn this off.
115 % cite.sty is already installed on most LaTeX systems. Be sure and use
116 % version 4.0 (2003-05-27) and later if using hyperref.sty. cite.sty does
117 % not currently provide for hyperlinked citations.
118 % The latest version can be obtained at:
119 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/cite/
120 % The documentation is contained in the cite.sty file itself.
121
122
123
124
125
126
127 % *** GRAPHICS RELATED PACKAGES ***
128 %
129 \ifCLASSINFOpdf
130   % \usepackage[pdftex]{graphicx}
131   % declare the path(s) where your graphic files are
132   % \graphicspath{{../pdf/}{../jpeg/}}
133   % and their extensions so you won't have to specify these with
134   % every instance of \includegraphics
135   % \DeclareGraphicsExtensions{.pdf,.jpeg,.png}
136 \else
137   % or other class option (dvipsone, dvipdf, if not using dvips). graphicx
138   % will default to the driver specified in the system graphics.cfg if no
139   % driver is specified.
140   % \usepackage[dvips]{graphicx}
141   % declare the path(s) where your graphic files are
142   % \graphicspath{{../eps/}}
143   % and their extensions so you won't have to specify these with
144   % every instance of \includegraphics
145   % \DeclareGraphicsExtensions{.eps}
146 \fi
147 % graphicx was written by David Carlisle and Sebastian Rahtz. It is
148 % required if you want graphics, photos, etc. graphicx.sty is already
149 % installed on most LaTeX systems. The latest version and documentation can
150 % be obtained at: 
151 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/required/graphics/
152 % Another good source of documentation is "Using Imported Graphics in
153 % LaTeX2e" by Keith Reckdahl which can be found as epslatex.ps or
154 % epslatex.pdf at: http://www.ctan.org/tex-archive/info/
155 %
156 % latex, and pdflatex in dvi mode, support graphics in encapsulated
157 % postscript (.eps) format. pdflatex in pdf mode supports graphics
158 % in .pdf, .jpeg, .png and .mps (metapost) formats. Users should ensure
159 % that all non-photo figures use a vector format (.eps, .pdf, .mps) and
160 % not a bitmapped formats (.jpeg, .png). IEEE frowns on bitmapped formats
161 % which can result in "jaggedy"/blurry rendering of lines and letters as
162 % well as large increases in file sizes.
163 %
164 % You can find documentation about the pdfTeX application at:
165 % http://www.tug.org/applications/pdftex
166
167
168
169
170
171 % *** MATH PACKAGES ***
172 %
173 %\usepackage[cmex10]{amsmath}
174 % A popular package from the American Mathematical Society that provides
175 % many useful and powerful commands for dealing with mathematics. If using
176 % it, be sure to load this package with the cmex10 option to ensure that
177 % only type 1 fonts will utilized at all point sizes. Without this option,
178 % it is possible that some math symbols, particularly those within
179 % footnotes, will be rendered in bitmap form which will result in a
180 % document that can not be IEEE Xplore compliant!
181 %
182 % Also, note that the amsmath package sets \interdisplaylinepenalty to 10000
183 % thus preventing page breaks from occurring within multiline equations. Use:
184 %\interdisplaylinepenalty=2500
185 % after loading amsmath to restore such page breaks as IEEEtran.cls normally
186 % does. amsmath.sty is already installed on most LaTeX systems. The latest
187 % version and documentation can be obtained at:
188 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/required/amslatex/math/
189
190
191
192
193
194 % *** SPECIALIZED LIST PACKAGES ***
195 %
196 %\usepackage{algorithmic}
197 % algorithmic.sty was written by Peter Williams and Rogerio Brito.
198 % This package provides an algorithmic environment fo describing algorithms.
199 % You can use the algorithmic environment in-text or within a figure
200 % environment to provide for a floating algorithm. Do NOT use the algorithm
201 % floating environment provided by algorithm.sty (by the same authors) or
202 % algorithm2e.sty (by Christophe Fiorio) as IEEE does not use dedicated
203 % algorithm float types and packages that provide these will not provide
204 % correct IEEE style captions. The latest version and documentation of
205 % algorithmic.sty can be obtained at:
206 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/algorithms/
207 % There is also a support site at:
208 % http://algorithms.berlios.de/index.html
209 % Also of interest may be the (relatively newer and more customizable)
210 % algorithmicx.sty package by Szasz Janos:
211 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/algorithmicx/
212
213
214
215
216 % *** ALIGNMENT PACKAGES ***
217 %
218 %\usepackage{array}
219 % Frank Mittelbach's and David Carlisle's array.sty patches and improves
220 % the standard LaTeX2e array and tabular environments to provide better
221 % appearance and additional user controls. As the default LaTeX2e table
222 % generation code is lacking to the point of almost being broken with
223 % respect to the quality of the end results, all users are strongly
224 % advised to use an enhanced (at the very least that provided by array.sty)
225 % set of table tools. array.sty is already installed on most systems. The
226 % latest version and documentation can be obtained at:
227 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/required/tools/
228
229
230 %\usepackage{mdwmath}
231 %\usepackage{mdwtab}
232 % Also highly recommended is Mark Wooding's extremely powerful MDW tools,
233 % especially mdwmath.sty and mdwtab.sty which are used to format equations
234 % and tables, respectively. The MDWtools set is already installed on most
235 % LaTeX systems. The lastest version and documentation is available at:
236 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/mdwtools/
237
238
239 % IEEEtran contains the IEEEeqnarray family of commands that can be used to
240 % generate multiline equations as well as matrices, tables, etc., of high
241 % quality.
242
243
244 \usepackage{eqparbox}
245 % Also of notable interest is Scott Pakin's eqparbox package for creating
246 % (automatically sized) equal width boxes - aka "natural width parboxes".
247 % Available at:
248 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/eqparbox/
249
250
251
252
253
254 % *** SUBFIGURE PACKAGES ***
255 %\usepackage[tight,footnotesize]{subfigure}
256 % subfigure.sty was written by Steven Douglas Cochran. This package makes it
257 % easy to put subfigures in your figures. e.g., "Figure 1a and 1b". For IEEE
258 % work, it is a good idea to load it with the tight package option to reduce
259 % the amount of white space around the subfigures. subfigure.sty is already
260 % installed on most LaTeX systems. The latest version and documentation can
261 % be obtained at:
262 % http://www.ctan.org/tex-archive/obsolete/macros/latex/contrib/subfigure/
263 % subfigure.sty has been superceeded by subfig.sty.
264
265
266
267 %\usepackage[caption=false]{caption}
268 %\usepackage[font=footnotesize]{subfig}
269 % subfig.sty, also written by Steven Douglas Cochran, is the modern
270 % replacement for subfigure.sty. However, subfig.sty requires and
271 % automatically loads Axel Sommerfeldt's caption.sty which will override
272 % IEEEtran.cls handling of captions and this will result in nonIEEE style
273 % figure/table captions. To prevent this problem, be sure and preload
274 % caption.sty with its "caption=false" package option. This is will preserve
275 % IEEEtran.cls handing of captions. Version 1.3 (2005/06/28) and later 
276 % (recommended due to many improvements over 1.2) of subfig.sty supports
277 % the caption=false option directly:
278 %\usepackage[caption=false,font=footnotesize]{subfig}
279 %
280 % The latest version and documentation can be obtained at:
281 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/subfig/
282 % The latest version and documentation of caption.sty can be obtained at:
283 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/caption/
284
285
286
287
288 % *** FLOAT PACKAGES ***
289 %
290 %\usepackage{fixltx2e}
291 % fixltx2e, the successor to the earlier fix2col.sty, was written by
292 % Frank Mittelbach and David Carlisle. This package corrects a few problems
293 % in the LaTeX2e kernel, the most notable of which is that in current
294 % LaTeX2e releases, the ordering of single and double column floats is not
295 % guaranteed to be preserved. Thus, an unpatched LaTeX2e can allow a
296 % single column figure to be placed prior to an earlier double column
297 % figure. The latest version and documentation can be found at:
298 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/base/
299
300
301
302 %\usepackage{stfloats}
303 % stfloats.sty was written by Sigitas Tolusis. This package gives LaTeX2e
304 % the ability to do double column floats at the bottom of the page as well
305 % as the top. (e.g., "\begin{figure*}[!b]" is not normally possible in
306 % LaTeX2e). It also provides a command:
307 %\fnbelowfloat
308 % to enable the placement of footnotes below bottom floats (the standard
309 % LaTeX2e kernel puts them above bottom floats). This is an invasive package
310 % which rewrites many portions of the LaTeX2e float routines. It may not work
311 % with other packages that modify the LaTeX2e float routines. The latest
312 % version and documentation can be obtained at:
313 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/sttools/
314 % Documentation is contained in the stfloats.sty comments as well as in the
315 % presfull.pdf file. Do not use the stfloats baselinefloat ability as IEEE
316 % does not allow \baselineskip to stretch. Authors submitting work to the
317 % IEEE should note that IEEE rarely uses double column equations and
318 % that authors should try to avoid such use. Do not be tempted to use the
319 % cuted.sty or midfloat.sty packages (also by Sigitas Tolusis) as IEEE does
320 % not format its papers in such ways.
321
322
323
324
325
326 % *** PDF, URL AND HYPERLINK PACKAGES ***
327 %
328 %\usepackage{url}
329 % url.sty was written by Donald Arseneau. It provides better support for
330 % handling and breaking URLs. url.sty is already installed on most LaTeX
331 % systems. The latest version can be obtained at:
332 % http://www.ctan.org/tex-archive/macros/latex/contrib/misc/
333 % Read the url.sty source comments for usage information. Basically,
334 % \url{my_url_here}.
335
336
337
338
339
340 % *** Do not adjust lengths that control margins, column widths, etc. ***
341 % *** Do not use packages that alter fonts (such as pslatex).         ***
342 % There should be no need to do such things with IEEEtran.cls V1.6 and later.
343 % (Unless specifically asked to do so by the journal or conference you plan
344 % to submit to, of course. )
345
346
347 % correct bad hyphenation here
348 \hyphenation{op-tical net-works semi-conduc-tor}
349
350
351 \usepackage[utf8]{inputenc}
352 \usepackage[T1]{fontenc}
353 \usepackage{algorithm}
354 \usepackage{algpseudocode}
355 \usepackage{amsmath}
356 \usepackage{amssymb}
357 \usepackage{multirow}
358 \usepackage{graphicx}
359
360 \algnewcommand\algorithmicinput{\textbf{Input:}}
361 \algnewcommand\Input{\item[\algorithmicinput]}
362
363 \algnewcommand\algorithmicoutput{\textbf{Output:}}
364 \algnewcommand\Output{\item[\algorithmicoutput]}
365
366 \newtheorem{proposition}{Proposition}
367
368 \begin{document}
369 %
370 % paper title
371 % can use linebreaks \\ within to get better formatting as desired
372 \title{TSIRM: A Two-Stage Iteration with least-squares Residual Minimization algorithm to solve large sparse linear systems}
373
374
375
376
377
378
379 % author names and affiliations
380 % use a multiple column layout for up to two different
381 % affiliations
382
383 \author{\IEEEauthorblockN{Rapha\"el Couturier\IEEEauthorrefmark{1}, Lilia Ziane Khodja\IEEEauthorrefmark{2}, and Christophe Guyeux\IEEEauthorrefmark{1}}
384 \IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{1} Femto-ST Institute, University of Franche-Comt\'e, France\\
385 Email: \{raphael.couturier,christophe.guyeux\}@univ-fcomte.fr}
386 \IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{2} INRIA Bordeaux Sud-Ouest, France\\
387 Email: lilia.ziane@inria.fr}
388 }
389
390
391
392 % conference papers do not typically use \thanks and this command
393 % is locked out in conference mode. If really needed, such as for
394 % the acknowledgment of grants, issue a \IEEEoverridecommandlockouts
395 % after \documentclass
396
397 % for over three affiliations, or if they all won't fit within the width
398 % of the page, use this alternative format:
399
400 %\author{\IEEEauthorblockN{Michael Shell\IEEEauthorrefmark{1},
401 %Homer Simpson\IEEEauthorrefmark{2},
402 %James Kirk\IEEEauthorrefmark{3}, 
403 %Montgomery Scott\IEEEauthorrefmark{3} and
404 %Eldon Tyrell\IEEEauthorrefmark{4}}
405 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{1}School of Electrical and Computer Engineering\\
406 %Georgia Institute of Technology,
407 %Atlanta, Georgia 30332--0250\\ Email: see http://www.michaelshell.org/contact.html}
408 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{2}Twentieth Century Fox, Springfield, USA\\
409 %Email: homer@thesimpsons.com}
410 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{3}Starfleet Academy, San Francisco, California 96678-2391\\
411 %Telephone: (800) 555--1212, Fax: (888) 555--1212}
412 %\IEEEauthorblockA{\IEEEauthorrefmark{4}Tyrell Inc., 123 Replicant Street, Los Angeles, California 90210--4321}}
413
414
415
416
417 % use for special paper notices
418 %\IEEEspecialpapernotice{(Invited Paper)}
419
420
421
422
423 % make the title area
424 \maketitle
425
426
427 \begin{abstract}
428 In  this article, a  two-stage iterative  algorithm is  proposed to  improve the
429 convergence  of  Krylov  based  iterative  methods,  typically  those  of  GMRES
430 variants.  The  principle of  the  proposed approach  is  to  build an  external
431 iteration over the  Krylov method, and to frequently  store its current residual
432 (at each GMRES restart for instance).  After a given number of outer iterations,
433 a least-squares minimization step is applied on the matrix composed by the saved
434 residuals, in order  to compute a better solution and to  make new iterations if
435 required.  It  is proven that the  proposal has the  same convergence properties
436 than the  inner embedded  method itself.  Experiments  using up to  16,394 cores
437 also  show that the  proposed algorithm  runs around  5 or  7 times  faster than
438 GMRES.
439 \end{abstract}
440
441 \begin{IEEEkeywords}
442 Iterative Krylov methods; sparse linear systems; two stage iteration; least-squares residual minimization; PETSc
443 \end{IEEEkeywords}
444
445
446 % For peer review papers, you can put extra information on the cover
447 % page as needed:
448 % \ifCLASSOPTIONpeerreview
449 % \begin{center} \bfseries EDICS Category: 3-BBND \end{center}
450 % \fi
451 %
452 % For peerreview papers, this IEEEtran command inserts a page break and
453 % creates the second title. It will be ignored for other modes.
454 \IEEEpeerreviewmaketitle
455
456
457
458
459 % An example of a floating figure using the graphicx package.
460 % Note that \label must occur AFTER (or within) \caption.
461 % For figures, \caption should occur after the \includegraphics.
462 % Note that IEEEtran v1.7 and later has special internal code that
463 % is designed to preserve the operation of \label within \caption
464 % even when the captionsoff option is in effect. However, because
465 % of issues like this, it may be the safest practice to put all your
466 % \label just after \caption rather than within \caption{}.
467 %
468 % Reminder: the "draftcls" or "draftclsnofoot", not "draft", class
469 % option should be used if it is desired that the figures are to be
470 % displayed while in draft mode.
471 %
472 %\begin{figure}[!t]
473 %\centering
474 %\includegraphics[width=2.5in]{myfigure}
475 % where an .eps filename suffix will be assumed under latex, 
476 % and a .pdf suffix will be assumed for pdflatex; or what has been declared
477 % via \DeclareGraphicsExtensions.
478 %\caption{Simulation Results}
479 %\label{fig_sim}
480 %\end{figure}
481
482 % Note that IEEE typically puts floats only at the top, even when this
483 % results in a large percentage of a column being occupied by floats.
484
485
486 % An example of a double column floating figure using two subfigures.
487 % (The subfig.sty package must be loaded for this to work.)
488 % The subfigure \label commands are set within each subfloat command, the
489 % \label for the overall figure must come after \caption.
490 % \hfil must be used as a separator to get equal spacing.
491 % The subfigure.sty package works much the same way, except \subfigure is
492 % used instead of \subfloat.
493 %
494 %\begin{figure*}[!t]
495 %\centerline{\subfloat[Case I]\includegraphics[width=2.5in]{subfigcase1}%
496 %\label{fig_first_case}}
497 %\hfil
498 %\subfloat[Case II]{\includegraphics[width=2.5in]{subfigcase2}%
499 %\label{fig_second_case}}}
500 %\caption{Simulation results}
501 %\label{fig_sim}
502 %\end{figure*}
503 %
504 % Note that often IEEE papers with subfigures do not employ subfigure
505 % captions (using the optional argument to \subfloat), but instead will
506 % reference/describe all of them (a), (b), etc., within the main caption.
507
508
509 % An example of a floating table. Note that, for IEEE style tables, the 
510 % \caption command should come BEFORE the table. Table text will default to
511 % \footnotesize as IEEE normally uses this smaller font for tables.
512 % The \label must come after \caption as always.
513 %
514 %\begin{table}[!t]
515 %% increase table row spacing, adjust to taste
516 %\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
517 % if using array.sty, it might be a good idea to tweak the value of
518 % \extrarowheight as needed to properly center the text within the cells
519 %\caption{An Example of a Table}
520 %\label{table_example}
521 %\centering
522 %% Some packages, such as MDW tools, offer better commands for making tables
523 %% than the plain LaTeX2e tabular which is used here.
524 %\begin{tabular}{|c||c|}
525 %\hline
526 %One & Two\\
527 %\hline
528 %Three & Four\\
529 %\hline
530 %\end{tabular}
531 %\end{table}
532
533
534 % Note that IEEE does not put floats in the very first column - or typically
535 % anywhere on the first page for that matter. Also, in-text middle ("here")
536 % positioning is not used. Most IEEE journals/conferences use top floats
537 % exclusively. Note that, LaTeX2e, unlike IEEE journals/conferences, places
538 % footnotes above bottom floats. This can be corrected via the \fnbelowfloat
539 % command of the stfloats package.
540
541
542
543 %%%*********************************************************
544 %%%*********************************************************
545 \section{Introduction}
546 % no \IEEEPARstart
547 % You must have at least 2 lines in the paragraph with the drop letter
548 % (should never be an issue)
549
550 Iterative methods have recently become more attractive than direct ones to solve
551 very large sparse  linear systems\cite{Saad2003}.  They are more  efficient in a
552 parallel context,  supporting thousands of  cores, and they require  less memory
553 and  arithmetic operations than  direct methods~\cite{bahicontascoutu}.  This is
554 why new iterative methods are frequently proposed or adapted by researchers, and
555 the increasing need to solve very  large sparse linear systems has triggered the
556 development  of  such  efficient  iterative  techniques  suitable  for  parallel
557 processing.
558
559 Most  of the  successful  iterative  methods currently  available  are based  on
560 so-called ``Krylov  subspaces''. They consist  in forming a basis  of successive
561 matrix powers  multiplied by an  initial vector, which  can be for  instance the
562 residual. These methods  use vectors orthogonality of the  Krylov subspace basis
563 in  order to solve  linear systems.   The most  known iterative  Krylov subspace
564 methods are conjugate gradient and GMRES ones (Generalized Minimal RESidual).
565
566
567 However,  iterative  methods  suffer   from  scalability  problems  on  parallel
568 computing  platforms  with many  processors,  due  to  their need  of  reduction
569 operations,   and  to   collective  communications   to   achieve  matrix-vector
570 multiplications. The  communications on large  clusters with thousands  of cores
571 and large sizes  of messages can significantly affect  the performances of these
572 iterative methods. As a consequence, Krylov subspace iteration methods are often
573 used  with  preconditioners  in  practice,  to increase  their  convergence  and
574 accelerate their  performances.  However, most  of the good  preconditioners are
575 not scalable on large clusters.
576
577 In  this research work,  a two-stage  algorithm based  on two  nested iterations
578 called inner-outer  iterations is proposed.  This algorithm  consists in solving
579 the sparse  linear system iteratively with  a small number  of inner iterations,
580 and  restarting  the  outer step  with  a  new  solution minimizing  some  error
581 functions  over some previous  residuals. For  further information  on two-stage
582 iteration      methods,     interested      readers      are     invited      to
583 consult~\cite{Nichols:1973:CTS}. Two-stage algorithms are easy to parallelize on
584 large clusters.  Furthermore,  the least-squares minimization technique improves
585 its convergence and performances.
586
587 The present  article is  organized as follows.   Related works are  presented in
588 Section~\ref{sec:02}. Section~\ref{sec:03} details the two-stage algorithm using
589 a  least-squares  residual   minimization,  while  Section~\ref{sec:04}  provides
590 convergence  results  regarding this  method.   Section~\ref{sec:05} shows  some
591 experimental  results  obtained  on  large  clusters  using  routines  of  PETSc
592 toolkit. This research work ends by  a conclusion section, in which the proposal
593 is summarized while intended perspectives are provided.
594
595 %%%*********************************************************
596 %%%*********************************************************
597
598
599
600 %%%*********************************************************
601 %%%*********************************************************
602 \section{Related works}
603 \label{sec:02} 
604 %Wherever Times is specified, Times Roman or Times New Roman may be used. If neither is available on your system, please use the font closest in appearance to Times. Avoid using bit-mapped fonts if possible. True-Type 1 or Open Type fonts are preferred. Please embed symbol fonts, as well, for math, etc.
605 %%%*********************************************************
606 %%%*********************************************************
607
608
609
610 %%%*********************************************************
611 %%%*********************************************************
612 \section{Two-stage iteration with least-squares residuals minimization algorithm}
613 \label{sec:03}
614 A two-stage algorithm is proposed  to solve large  sparse linear systems  of the
615 form  $Ax=b$,  where  $A\in\mathbb{R}^{n\times   n}$  is  a  sparse  and  square
616 nonsingular   matrix,   $x\in\mathbb{R}^n$    is   the   solution   vector,   and
617 $b\in\mathbb{R}^n$ is  the right-hand side.  As explained previously, 
618 the algorithm is implemented  as an
619 inner-outer iteration  solver based  on iterative Krylov  methods. The  main 
620 key-points of the proposed solver are given in Algorithm~\ref{algo:01}.
621 It can be summarized as follows: the
622 inner solver is a Krylov based one. In order to accelerate its convergence, the 
623 outer solver periodically applies a least-squares minimization  on the residuals computed by  the inner one. %Tsolver which does not required to be changed.
624
625 At each  outer iteration,  the sparse linear  system $Ax=b$ is  partially solved
626 using only $m$ iterations of  an iterative method, this latter being initialized
627 with the last obtained approximation.  GMRES method~\cite{Saad86}, or any of its
628 variants, can potentially be used  as inner solver. The current approximation of
629 the Krylov  method is then  stored inside  a $n \times  s$ matrix $S$,  which is
630 composed by  the $s$  last solutions  that have been  computed during  the inner
631 iterations phase.   In the remainder,  the $i$-th column  vector of $S$  will be
632 denoted by $S_i$.
633
634 At each $s$ iterations, another kind of minimization step is applied in order to
635 compute a new  solution $x$. For that, the previous  residuals of $Ax=b$ are computed by
636 the inner iterations with $(b-AS)$. The minimization of the residuals is obtained by  
637 \begin{equation}
638    \underset{\alpha\in\mathbb{R}^{s}}{min}\|b-R\alpha\|_2
639 \label{eq:01}
640 \end{equation}
641 with $R=AS$. The new solution $x$ is then computed with $x=S\alpha$.
642
643
644 In  practice, $R$  is a  dense rectangular  matrix belonging in  $\mathbb{R}^{n\times s}$,
645 with $s\ll n$.   In order  to minimize~\eqref{eq:01}, a  least-squares method  such as
646 CGLS ~\cite{Hestenes52}  or LSQR~\cite{Paige82} is used. Remark that these  methods are more
647 appropriate than a single direct method in a parallel context.
648
649
650
651 \begin{algorithm}[t]
652 \caption{TSIRM}
653 \begin{algorithmic}[1]
654   \Input $A$ (sparse matrix), $b$ (right-hand side)
655   \Output $x$ (solution vector)\vspace{0.2cm}
656   \State Set the initial guess $x_0$
657   \For {$k=1,2,3,\ldots$ until convergence (error$<\epsilon_{tsirm}$)} \label{algo:conv}
658     \State  $[x_k,error]=Solve(A,b,x_{k-1},max\_iter_{kryl})$   \label{algo:solve}
659     \State $S_{k \mod s}=x_k$ \label{algo:store} \Comment{update column (k mod s) of S}
660     \If {$k \mod s=0$ {\bf and} error$>\epsilon_{kryl}$}
661       \State $R=AS$ \Comment{compute dense matrix} \label{algo:matrix_mul}
662             \State $\alpha=Least\_Squares(R,b,max\_iter_{ls})$ \label{algo:}
663       \State $x_k=S\alpha$  \Comment{compute new solution}
664     \EndIf
665   \EndFor
666 \end{algorithmic}
667 \label{algo:01}
668 \end{algorithm}
669
670 Algorithm~\ref{algo:01} summarizes  the principle  of the proposed  method.  The
671 outer iteration is inside the \emph{for} loop. Line~\ref{algo:solve}, the Krylov
672 method is called  for a maximum of $max\_iter_{kryl}$  iterations.  In practice,
673 we suggest to  set this parameter equal to the restart  number in the GMRES-like
674 method. Moreover,  a tolerance  threshold must be  specified for the  solver. In
675 practice, this threshold must be  much smaller than the convergence threshold of
676 the  TSIRM algorithm  (\emph{i.e.}, $\epsilon_{tsirm}$).  We also  consider that
677 after the call of the $Solve$ function, we obtain the vector $x_k$ and the error
678 which is defined by $||Ax^k-b||_2$.
679
680   Line~\ref{algo:store},
681 $S_{k \mod  s}=x^k$ consists in  copying the solution  $x_k$ into the  column $k
682 \mod s$ of $S$.   After the minimization, the matrix $S$ is  reused with the new
683 values of the residuals.  To solve the minimization problem, an iterative method
684 is used. Two parameters are required  for that: the maximum number of iterations
685 and the threshold to stop the method.
686
687 Let us summarize the most important parameters of TSIRM:
688 \begin{itemize}
689 \item $\epsilon_{tsirm}$: the threshold to stop the TSIRM method;
690 \item $max\_iter_{kryl}$: the maximum number of iterations for the Krylov method;
691 \item $s$: the number of outer iterations before applying the minimization step;
692 \item $max\_iter_{ls}$: the maximum number of iterations for the iterative least-squares method;
693 \item $\epsilon_{ls}$: the threshold used to stop the least-squares method.
694 \end{itemize}
695
696
697 The  parallelization  of  TSIRM  relies   on  the  parallelization  of  all  its
698 parts. More  precisely, except  the least-squares step,  all the other  parts are
699 obvious to  achieve out in parallel. In  order to develop a  parallel version of
700 our   code,   we   have   chosen  to   use   PETSc~\cite{petsc-web-page}.    For
701 line~\ref{algo:matrix_mul} the  matrix-matrix multiplication is  implemented and
702 efficient since the  matrix $A$ is sparse and since the  matrix $S$ contains few
703 columns in  practice. As explained  previously, at least  two methods seem  to be
704 interesting to solve the least-squares minimization, CGLS and LSQR.
705
706 In the following  we remind the CGLS algorithm. The LSQR  method follows more or
707 less the same principle but it takes more place, so we briefly explain the parallelization of CGLS which is similar to LSQR.
708
709 \begin{algorithm}[t]
710 \caption{CGLS}
711 \begin{algorithmic}[1]
712   \Input $A$ (matrix), $b$ (right-hand side)
713   \Output $x$ (solution vector)\vspace{0.2cm}
714   \State Let $x_0$ be an initial approximation
715   \State $r_0=b-Ax_0$
716   \State $p_1=A^Tr_0$
717   \State $s_0=p_1$
718   \State $\gamma=||s_0||^2_2$
719   \For {$k=1,2,3,\ldots$ until convergence ($\gamma<\epsilon_{ls}$)} \label{algo2:conv}
720     \State $q_k=Ap_k$
721     \State $\alpha_k=\gamma/||q_k||^2_2$
722     \State $x_k=x_{k-1}+\alpha_kp_k$
723     \State $r_k=r_{k-1}-\alpha_kq_k$
724     \State $s_k=A^Tr_k$
725     \State $\gamma_{old}=\gamma$
726     \State $\gamma=||s_k||^2_2$
727     \State $\beta_k=\gamma/\gamma_{old}$
728     \State $p_{k+1}=s_k+\beta_kp_k$
729   \EndFor
730 \end{algorithmic}
731 \label{algo:02}
732 \end{algorithm}
733
734
735 In each iteration  of CGLS, there is two  matrix-vector multiplications and some
736 classical operations:  dot product, norm, multiplication  and addition on  vectors. All
737 these operations are easy to implement in PETSc or similar environment.
738
739
740
741 %%%*********************************************************
742 %%%*********************************************************
743
744 \section{Convergence results}
745 \label{sec:04}
746
747
748 We can now claim that,
749 \begin{proposition}
750 \label{prop:saad}
751 If $A$ is either a definite positive or a positive matrix and GMRES($m$) is used as solver, then the TSIRM algorithm is convergent. 
752
753 Furthermore, let $r_k$ be the
754 $k$-th residue of TSIRM, then
755 we have the following boundaries:
756 \begin{itemize}
757 \item when $A$ is positive:
758 \begin{equation}
759 ||r_k|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{km}{2}} ||r_0|| ,
760 \end{equation}
761 where $M$ is the symmetric part of $A$, $\alpha = \lambda_{min}(M)^2$ and $\beta = \lambda_{max}(A^T A)$;
762 \item when $A$ is positive definite:
763 \begin{equation}
764 \|r_k\| \leq \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{km/2} \|r_0\|.
765 \end{equation}
766 \end{itemize}
767 %In the general case, where A is not positive definite, we have
768 %$\|r_n\| \le \inf_{p \in P_n} \|p(A)\| \le \kappa_2(V) \inf_{p \in P_n} \max_{\lambda \in \sigma(A)} |p(\lambda)| \|r_0\|, .$
769 \end{proposition}
770
771 \begin{proof}
772 Let us first recall that the residue is under control when considering the GMRES algorithm on a positive definite matrix, and it is bounded as follows:
773 \begin{equation*}
774 \|r_k\| \leq \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{k/2} \|r_0\| .
775 \end{equation*}
776 Additionally, when $A$ is a positive real matrix with symmetric part $M$, then the residual norm provided at the $m$-th step of GMRES satisfies:
777 \begin{equation*}
778 ||r_m|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{m}{2}} ||r_0|| ,
779 \end{equation*}
780 where $\alpha$ and $\beta$ are defined as in Proposition~\ref{prop:saad}, which proves 
781 the convergence of GMRES($m$) for all $m$ under such assumptions regarding $A$.
782 These well-known results can be found, \emph{e.g.}, in~\cite{Saad86}.
783
784 We will now prove by a mathematical induction that, for each $k \in \mathbb{N}^\ast$, 
785 $||r_k|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{mk}{2}} ||r_0||$ when $A$ is positive, and $\|r_k\| \leq \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{km/2} \|r_0\|$ when $A$ is positive definite.
786
787 The base case is obvious, as for $k=1$, the TSIRM algorithm simply consists in applying GMRES($m$) once, leading to a new residual $r_1$ that follows the inductive hypothesis due, to the results recalled above.
788
789 Suppose now that the claim holds for all $m=1, 2, \hdots, k-1$, that is, $\forall m \in \{1,2,\hdots, k-1\}$, $||r_m|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{km}{2}} ||r_0||$ in the positive case, and $\|r_k\| \leq \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{km/2} \|r_0\|$ in the definite positive one.
790 We will show that the statement holds too for $r_k$. Two situations can occur:
791 \begin{itemize}
792 \item If $k \not\equiv 0 ~(\textrm{mod}\ m)$, then the TSIRM algorithm consists in executing GMRES once. In that case and by using the inductive hypothesis, we obtain either $||r_k|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{m}{2}} ||r_{k-1}||\leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{km}{2}} ||r_0||$ if $A$ is positive, or $\|r_k\| \leqslant \left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{m/2} \|r_{k-1}\|$ $\leqslant$ $\left( 1-\frac{\lambda_{\mathrm{min}}^2(1/2(A^T + A))}{ \lambda_{\mathrm{max}}(A^T A)} \right)^{km/2} \|r_{0}\|$ in the positive definite case.
793 \item Else, the TSIRM algorithm consists in two stages: a first GMRES($m$) execution leads to a temporary $x_k$ whose residue satisfies $||r_k|| \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{m}{2}} ||r_{k-1}||\leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{km}{2}} ||r_0||$, and a least squares resolution.
794 Let $\operatorname{span}(S) = \left \{ {\sum_{i=1}^k \lambda_i v_i \Big| k \in \mathbb{N}, v_i \in S, \lambda _i \in \mathbb{R}} \right \}$ be the linear span of a set of real vectors $S$. So,\\
795 $\min_{\alpha \in \mathbb{R}^s} ||b-R\alpha ||_2 = \min_{\alpha \in \mathbb{R}^s} ||b-AS\alpha ||_2$
796
797 $\begin{array}{ll}
798 & = \min_{x \in span\left(S_{k-s+1}, S_{k-s+2}, \hdots, S_{k} \right)} ||b-AS\alpha ||_2\\
799 & = \min_{x \in span\left(x_{k-s+1}, x_{k-s}+2, \hdots, x_{k} \right)} ||b-AS\alpha ||_2\\
800 & \leqslant \min_{x \in span\left( x_{k} \right)} ||b-Ax ||_2\\
801 & \leqslant \min_{\lambda \in \mathbb{R}} ||b-\lambda Ax_{k} ||_2\\
802 & \leqslant ||b-Ax_{k}||_2\\
803 & = ||r_k||_2\\
804 & \leqslant \left(1-\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{km}{2}} ||r_0||,
805 \end{array}$
806 \end{itemize}
807 which concludes the induction and the proof.
808 \end{proof}
809
810 We can remark that, at each iterate, the residue of the TSIRM algorithm is lower 
811 than the one of the GMRES method.
812
813 %%%*********************************************************
814 %%%*********************************************************
815 \section{Experiments using PETSc}
816 \label{sec:05}
817
818
819 In order to see the influence of our algorithm with only one processor, we first
820 show a comparison with GMRES or FGMRES and our algorithm. In Table~\ref{tab:01},
821 we  show the  matrices we  have  used and  some of  them characteristics.  Those
822 matrices  are   chosen  from   the  Davis  collection   of  the   University  of
823 Florida~\cite{Dav97}. They are matrices arising in real-world applications.  For
824 all the  matrices, the name,  the field,  the number of  rows and the  number of
825 nonzero elements are given.
826
827 \begin{table}[htbp]
828 \begin{center}
829 \begin{tabular}{|c|c|r|r|r|} 
830 \hline
831 Matrix name              & Field             &\# Rows   & \# Nonzeros   \\\hline \hline
832 crashbasis         & Optimization      & 160,000  &  1,750,416  \\
833 parabolic\_fem     & Comput. fluid dynamics  & 525,825 & 2,100,225 \\
834 epb3               & Thermal problem   & 84,617  & 463,625  \\
835 atmosmodj          & Comput. fluid dynamics  & 1,270,432 & 8,814,880 \\
836 bfwa398            & Electromagnetics pb & 398 & 3,678 \\
837 torso3             & 2D/3D problem & 259,156 & 4,429,042 \\
838 \hline
839
840 \end{tabular}
841 \caption{Main characteristics of the sparse matrices chosen from the Davis collection}
842 \label{tab:01}
843 \end{center}
844 \end{table}
845
846 The following  parameters have been chosen  for our experiments.   As by default
847 the restart  of GMRES is performed every  30 iterations, we have  chosen to stop
848 the GMRES every 30 iterations (\emph{i.e.} $max\_iter_{kryl}=30$).  $s$ is set to 8. CGLS is
849 chosen  to minimize  the least-squares  problem with  the  following parameters:
850 $\epsilon_{ls}=1e-40$ and $max\_iter_{ls}=20$.  The external precision is set to
851 $\epsilon_{tsirm}=1e-10$.  Those  experiments have been performed  on a Intel(R)
852 Core(TM) i7-3630QM CPU @ 2.40GHz with the version 3.5.1 of PETSc.
853
854
855 In  Table~\ref{tab:02}, some  experiments comparing  the solving  of  the linear
856 systems obtained with the previous matrices  with a GMRES variant and with out 2
857 stage algorithm are  given. In the second column, it can  be noticed that either
858 GRMES or  FGMRES (Flexible  GMRES)~\cite{Saad:1993} is used  to solve  the linear
859 system.   According to  the matrices,  different preconditioner  is  used.  With
860 TSIRM, the same solver and the  same preconditionner are used.  This Table shows
861 that  TSIRM  can  drastically reduce  the  number  of  iterations to  reach  the
862 convergence when the  number of iterations for the normal GMRES  is more or less
863 greater than  500. In fact  this also depends  on tow parameters: the  number of
864 iterations  to  stop  GMRES  and   the  number  of  iterations  to  perform  the
865 minimization.
866
867
868 \begin{table}[htbp]
869 \begin{center}
870 \begin{tabular}{|c|c|r|r|r|r|} 
871 \hline
872
873  \multirow{2}{*}{Matrix name}  & Solver /   & \multicolumn{2}{c|}{GMRES} & \multicolumn{2}{c|}{TSIRM CGLS} \\ 
874 \cline{3-6}
875        &  precond             & Time  & \# Iter.  & Time  & \# Iter.  \\\hline \hline
876
877 crashbasis         & gmres / none             &  15.65     & 518  &  14.12 & 450  \\
878 parabolic\_fem     & gmres / ilu           & 1009.94   & 7573 & 401.52 & 2970 \\
879 epb3               & fgmres / sor             &  8.67     & 600  &  8.21 & 540  \\
880 atmosmodj          &  fgmres / sor & 104.23  & 451 & 88.97 & 366  \\
881 bfwa398            & gmres / none  & 1.42 & 9612 & 0.28 & 1650 \\
882 torso3             & fgmres / sor  & 37.70 & 565 & 34.97 & 510 \\
883 \hline
884
885 \end{tabular}
886 \caption{Comparison of (F)GMRES and TSIRM with (F)GMRES in sequential with some matrices, time is expressed in seconds.}
887 \label{tab:02}
888 \end{center}
889 \end{table}
890
891
892
893
894
895 In order to perform larger experiments, we have tested some example applications
896 of PETSc. Those  applications are available in the ksp part  which is suited for
897 scalable linear equations solvers:
898 \begin{itemize}
899 \item ex15  is an example  which solves in  parallel an operator using  a finite
900   difference  scheme.   The  diagonal  is  equal to  4  and  4  extra-diagonals
901   representing the neighbors in each directions  are equal to -1. This example is
902   used  in many  physical phenomena, for  example, heat  and fluid  flow, wave
903   propagation, etc.
904 \item ex54 is another example based on 2D problem discretized with quadrilateral
905   finite elements. For this example, the user can define the scaling of material
906   coefficient in embedded circle called $\alpha$.
907 \end{itemize}
908 For more technical details on these applications, interested readers are invited
909 to read  the codes  available in  the PETSc sources.   Those problems  have been
910 chosen because they are scalable with many  cores which is not the case of other
911 problems that we have tested.
912
913 In  the  following   larger  experiments  are  described  on   two  large  scale
914 architectures:  Curie and  Juqeen.  Both  these architectures  are supercomputer
915 composed of 80,640 cores for Curie and 458,752 cores for Juqueen. Those machines
916 are respectively hosted  by GENCI in France and  Jülich Supercomputing Centre in
917 Germany. They belongs with other similar architectures of the PRACE initiative (
918 Partnership  for Advanced  Computing in  Europe)  which aims  at proposing  high
919 performance supercomputing architecture to enhance research in Europe. The Curie
920 architecture is composed of Intel E5-2680  processors at 2.7 GHz with 2Gb memory
921 by core. The Juqueen architecture is composed  of IBM PowerPC A2 at 1.6 GHz with
922 1Gb memory per  core. Both those architecture are equiped  with a dedicated high
923 speed network.
924
925
926
927 {\bf Description of preconditioners}\\
928
929 \begin{table*}[htbp]
930 \begin{center}
931 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} 
932 \hline
933
934   nb. cores & precond   & \multicolumn{2}{c|}{FGMRES} & \multicolumn{2}{c|}{TSIRM CGLS} &  \multicolumn{2}{c|}{TSIRM LSQR} & best gain \\ 
935 \cline{3-8}
936              &                       & Time  & \# Iter.  & Time  & \# Iter. & Time  & \# Iter. & \\\hline \hline
937   2,048      & mg                    & 403.49   & 18,210    & 73.89  & 3,060   & 77.84  & 3,270  & 5.46 \\
938   2,048      & sor                   & 745.37   & 57,060    & 87.31  & 6,150   & 104.21 & 7,230  & 8.53 \\
939   4,096      & mg                    & 562.25   & 25,170    & 97.23  & 3,990   & 89.71  & 3,630  & 6.27 \\
940   4,096      & sor                   & 912.12   & 70,194    & 145.57 & 9,750   & 168.97 & 10,980 & 6.26 \\
941   8,192      & mg                    & 917.02   & 40,290    & 148.81 & 5,730   & 143.03 & 5,280  & 6.41 \\
942   8,192      & sor                   & 1,404.53 & 106,530   & 212.55 & 12,990  & 180.97 & 10,470 & 7.76 \\
943   16,384     & mg                    & 1,430.56 & 63,930    & 237.17 & 8,310   & 244.26 & 7,950  & 6.03 \\
944   16,384     & sor                   & 2,852.14 & 216,240   & 418.46 & 21,690  & 505.26 & 23,970 & 6.82 \\
945 \hline
946
947 \end{tabular}
948 \caption{Comparison of FGMRES and TSIRM with FGMRES for example ex15 of PETSc with two preconditioners (mg and sor) with 25,000 components per core on Juqueen (threshold 1e-3, restart=30, s=12),  time is expressed in seconds.}
949 \label{tab:03}
950 \end{center}
951 \end{table*}
952
953 Table~\ref{tab:03} shows  the execution  times and the  number of  iterations of
954 example ex15  of PETSc on the  Juqueen architecture. Different  numbers of cores
955 are  studied ranging  from  2,048  up-to 16,383.   Two  preconditioners have  been
956 tested: {\it mg} and {\it sor}.   For those experiments,  the number  of components  (or unknowns  of the
957 problems)  per core  is fixed  to 25,000,  also called  weak  scaling. This
958 number can seem relatively small. In fact, for some applications that need a lot
959 of  memory, the  number of  components per  processor requires  sometimes  to be
960 small.
961
962
963
964 In Table~\ref{tab:03}, we  can notice that TSIRM is always faster  than FGMRES. The last
965 column shows the ratio between FGMRES and the best version of TSIRM according to
966 the minimization  procedure: CGLS or  LSQR. Even if  we have computed  the worst
967 case  between CGLS  and LSQR,  it is  clear that  TSIRM is  always  faster than
968 FGMRES. For this example, the  multigrid preconditioner is faster than SOR. The
969 gain  between   TSIRM  and  FGMRES  is   more  or  less  similar   for  the  two
970 preconditioners.  Looking at the number  of iterations to reach the convergence,
971 it is  obvious that TSIRM allows the  reduction of the number  of iterations. It
972 should be noticed  that for TSIRM, in those experiments,  only the iterations of
973 the Krylov solver  are taken into account.  Iterations of CGLS  or LSQR were not
974 recorded but they are time-consuming. In general each $max\_iter_{kryl}*s$ which
975 corresponds to 30*12, there are $max\_iter_{ls}$ which corresponds to 15.
976
977 \begin{figure}[htbp]
978 \centering
979   \includegraphics[width=0.45\textwidth]{nb_iter_sec_ex15_juqueen}
980 \caption{Number of iterations per second with ex15 and the same parameters than in Table~\ref{tab:03} (weak scaling)}
981 \label{fig:01}
982 \end{figure}
983
984
985 In  Figure~\ref{fig:01}, the number  of iterations  per second  corresponding to
986 Table~\ref{tab:03}  is  displayed.   It  can  be  noticed  that  the  number  of
987 iterations per second of FMGRES is  constant whereas it decreases with TSIRM with
988 both preconditioners. This  can be explained by the fact that  when the number of
989 cores increases the time for the least-squares minimization step also increases but, generally,
990 when  the number  of cores  increases,  the number  of iterations  to reach  the
991 threshold also increases,  and, in that case, TSIRM is  more efficient to reduce
992 the number of iterations. So, the overall benefit of using TSIRM is interesting.
993
994
995
996
997
998
999 \begin{table*}[htbp]
1000 \begin{center}
1001 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} 
1002 \hline
1003
1004   nb. cores & threshold   & \multicolumn{2}{c|}{FGMRES} & \multicolumn{2}{c|}{TSIRM CGLS} &  \multicolumn{2}{c|}{TSIRM LSQR} & best gain \\ 
1005 \cline{3-8}
1006              &                       & Time  & \# Iter.  & Time  & \# Iter. & Time  & \# Iter. & \\\hline \hline
1007   2,048      & 8e-5                  & 108.88 & 16,560  & 23.06  &  3,630  & 22.79  & 3,630   & 4.77 \\
1008   2,048      & 6e-5                  & 194.01 & 30,270  & 35.50  &  5,430  & 27.74  & 4,350   & 6.99 \\
1009   4,096      & 7e-5                  & 160.59 & 22,530  & 35.15  &  5,130  & 29.21  & 4,350   & 5.49 \\
1010   4,096      & 6e-5                  & 249.27 & 35,520  & 52.13  &  7,950  & 39.24  & 5,790   & 6.35 \\
1011   8,192      & 6e-5                  & 149.54 & 17,280  & 28.68  &  3,810  & 29.05  & 3,990  & 5.21 \\
1012   8,192      & 5e-5                  & 785.04 & 109,590 & 76.07  &  10,470  & 69.42 & 9,030  & 11.30 \\
1013   16,384     & 4e-5                  & 718.61 & 86,400 & 98.98  &  10,830  & 131.86  & 14,790  & 7.26 \\
1014 \hline
1015
1016 \end{tabular}
1017 \caption{Comparison of FGMRES  and TSIRM with FGMRES algorithms for ex54 of Petsc (both with the MG preconditioner) with 25,000 components per core on Curie (restart=30, s=12),  time is expressed in seconds.}
1018 \label{tab:04}
1019 \end{center}
1020 \end{table*}
1021
1022
1023 In Table~\ref{tab:04}, some experiments with example ex54 on the Curie architecture are reported.
1024
1025
1026 \begin{table*}[htbp]
1027 \begin{center}
1028 \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} 
1029 \hline
1030
1031   nb. cores   & \multicolumn{2}{c|}{FGMRES} & \multicolumn{2}{c|}{TSIRM CGLS} &  \multicolumn{2}{c|}{TSIRM LSQR} & best gain & \multicolumn{3}{c|}{efficiency} \\ 
1032 \cline{2-7} \cline{9-11}
1033                     & Time  & \# Iter.  & Time  & \# Iter. & Time  & \# Iter. &   & FGMRES & TS CGLS & TS LSQR\\\hline \hline
1034    512              & 3,969.69 & 33,120 & 709.57 & 5,790  & 622.76 & 5,070  & 6.37  &   1    &    1    &     1     \\
1035    1024             & 1,530.06  & 25,860 & 290.95 & 4,830  & 307.71 & 5,070 & 5.25  &  1.30  &    1.21  &   1.01     \\
1036    2048             & 919.62    & 31,470 & 237.52 & 8,040  & 194.22 & 6,510 & 4.73  & 1.08   &    .75   &   .80\\
1037    4096             & 405.60    & 28,380 & 111.67 & 7,590  & 91.72  & 6,510 & 4.42  & 1.22   &  .79     &   .84 \\
1038    8192             & 785.04   & 109,590 & 76.07  & 10,470 & 69.42 & 9,030  & 11.30 &   .32  &   .58    &  .56 \\
1039
1040 \hline
1041
1042 \end{tabular}
1043 \caption{Comparison of FGMRES  and TSIRM with FGMRES for ex54 of Petsc (both with the MG preconditioner) with 204,919,225 components on Curie with different number of cores (restart=30, s=12, threshold 5e-5),  time is expressed in seconds.}
1044 \label{tab:05}
1045 \end{center}
1046 \end{table*}
1047
1048 \begin{figure}[htbp]
1049 \centering
1050   \includegraphics[width=0.45\textwidth]{nb_iter_sec_ex54_curie}
1051 \caption{Number of iterations per second with ex54 and the same parameters than in Table~\ref{tab:05} (strong scaling)}
1052 \label{fig:02}
1053 \end{figure}
1054
1055 %%%*********************************************************
1056 %%%*********************************************************
1057
1058
1059
1060 %%%*********************************************************
1061 %%%*********************************************************
1062 \section{Conclusion}
1063 \label{sec:06}
1064 %The conclusion goes here. this is more of the conclusion
1065 %%%*********************************************************
1066 %%%*********************************************************
1067
1068 A novel two-stage iterative  algorithm has been proposed in this article,
1069 in order to accelerate the convergence Krylov iterative  methods.
1070 Our TSIRM proposal acts as a merger between Krylov based solvers and
1071 a least-squares minimization step.
1072 The convergence of the method has been proven in some situations, while 
1073 experiments up to 16,394 cores have been led to verify that TSIRM runs
1074 5 or  7 times  faster than GMRES.
1075
1076
1077 For future work, the authors' intention is to investigate 
1078 other kinds of matrices, problems, and inner solvers. The 
1079 influence of all parameters must be tested too, while 
1080 other methods to minimize the residuals must be regarded.
1081 The number of outer iterations to minimize should become 
1082 adaptative to improve the overall performances of the proposal.
1083 Finally, this solver will be implemented inside PETSc.
1084
1085
1086 % conference papers do not normally have an appendix
1087
1088
1089
1090 % use section* for acknowledgement
1091 %%%*********************************************************
1092 %%%*********************************************************
1093 \section*{Acknowledgment}
1094 This  paper  is   partially  funded  by  the  Labex   ACTION  program  (contract
1095 ANR-11-LABX-01-01).   We acknowledge PRACE  for awarding  us access  to resources
1096 Curie and Juqueen respectively based in France and Germany.
1097
1098
1099
1100 % trigger a \newpage just before the given reference
1101 % number - used to balance the columns on the last page
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1103 % the document is modified later
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1105 % The "triggered" command can be changed if desired:
1106 %\IEEEtriggercmd{\enlargethispage{-5in}}
1107
1108 % references section
1109
1110 % can use a bibliography generated by BibTeX as a .bbl file
1111 % BibTeX documentation can be easily obtained at:
1112 % http://www.ctan.org/tex-archive/biblio/bibtex/contrib/doc/
1113 % The IEEEtran BibTeX style support page is at:
1114 % http://www.michaelshell.org/tex/ieeetran/bibtex/
1115 \bibliographystyle{IEEEtran}
1116 % argument is your BibTeX string definitions and bibliography database(s)
1117 \bibliography{biblio}
1118 %
1119 % <OR> manually copy in the resultant .bbl file
1120 % set second argument of \begin to the number of references
1121 % (used to reserve space for the reference number labels box)
1122 %% \begin{thebibliography}{1}
1123
1124 %% \bibitem{saad86} Y.~Saad and M.~H.~Schultz, \emph{GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm for Solving Nonsymmetric Linear Systems}, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 7(3):856--869, 1986.
1125
1126 %% \bibitem{saad96} Y.~Saad, \emph{Iterative Methods for Sparse Linear Systems}, PWS Publishing, New York, 1996.
1127
1128 %% \bibitem{hestenes52} M.~R.~Hestenes and E.~Stiefel, \emph{Methods of conjugate gradients for solving linear system}, Journal of Research of National Bureau of Standards, B49:409--436, 1952.
1129
1130 %% \bibitem{paige82} C.~C.~Paige and A.~M.~Saunders, \emph{LSQR: An Algorithm for Sparse Linear Equations and Sparse Least Squares}, ACM Trans. Math. Softw. 8(1):43--71, 1982.
1131 %% \end{thebibliography}
1132
1133
1134
1135
1136 % that's all folks
1137 \end{document}