IH/iihmsp13/ci1.tex

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   5 In this section is explained how CIs can be used as an information hiding scheme.
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   7 \subsection{Most and Least Significant Coefficients}\label{sec:msc-lsc}
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  11 We first take into account the fact that, in a watermarking process, terms of the original content $x$ that may be replaced by terms issued
  12 from the watermark $y$ are less important than other: they could be changed
  13 without be perceived as such. More generally, a
  14 \emph{signification function}
  15 attaches a weight to each term defining a digital media,
  16 depending on its position $t$ \cite{todo}.
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  18 \begin{definition}[Signification function]
  19 A \emph{signification function} is a real sequence
  20 $(u^k)^{k \in \mathds{N}}$. % with a limit equal to 0.
  21 \end{definition}
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  24 \begin{example}\label{Exemple LSC}
  25 Let us consider a set of
  26 grayscale images stored into portable graymap format (P3-PGM):
  27 each pixel ranges between 256 gray levels, \textit{i.e.},
  28 is memorized with eight bits.
  29 In that context, we consider
  30 $u^k = 8 - (k  \mod  8)$  to be the $k$-th term of a signification function
  31 $(u^k)^{k \in \mathds{N}}$.
  32 Intuitively, in each group of eight bits (\textit{i.e.}, for each pixel)
  33 the first bit has an importance equal to 8, whereas the last bit has an
  34 importance equal to 1. This is compliant with the idea that
  35 changing the first bit affects more the image than changing the last one.
  36 \end{example}
  37
  38 \begin{definition}[Significance of coefficients]
  39 \label{def:msc,lsc}
  40 Let $(u^k)^{k \in \mathds{N}}$ be a signification function,
  41 $m$ and $M$ be two reals s.t. $m < M$.
  42 \begin{itemize}
  43 \item The \emph{most significant coefficients (MSCs)} of $x$ is the finite
  44   vector  $$u_M = \left( k ~ \big|~ k \in \mathds{N} \textrm{ and } u^k
  45     \geqslant M \textrm{ and }  k \le \mid x \mid \right);$$
  46  \item The \emph{least significant coefficients (LSCs)} of $x$ is the
  47 finite vector
  48 $$u_m = \left( k ~ \big|~ k \in \mathds{N} \textrm{ and } u^k
  49   \le m \textrm{ and }  k \le \mid x \mid \right);$$
  50  \item The \emph{passive coefficients} of $x$ is the finite vector
  51    $$u_p = \left( k ~ \big|~ k \in \mathds{N} \textrm{ and }
  52 u^k \in ]m;M[ \textrm{ and }  k \le \mid x \mid \right).$$
  53  \end{itemize}
  54  \end{definition}
  55
  56 For a given host content $x$,
  57 MSCs are then ranks of $x$  that describe the relevant part
  58 of the image, whereas LSCs translate its less significant parts.
  59 These two definitions are illustrated on Figure~\ref{fig:MSCLSC}, where the significance function $(u^k)$ is defined as in Example \ref{Exemple LSC}, $M=5$, and $m=6$.
  60
  61 \begin{figure*}[htb]
  62 \begin{center}
  63
  64 \begin{minipage}[b]{.98\linewidth}
  65   \centering
  66   \centerline{\includegraphics[width=6.cm]{img/lena512}}
  67    %\centerline{\epsfig{figure=img/lena512.pdf,width=4cm}}
  68   \centerline{(a) Original Lena.}
  69 \end{minipage}
  70 \begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
  71   \centering
  72     \centerline{\includegraphics[width=6.cm]{img/lena_msb_678}}
  73    %\centerline{\epsfig{figure=img/lena_msb_678.pdf,width=4cm}}
  74   \centerline{(b) MSCs of Lena.}
  75 \end{minipage}
  76 \hfill
  77 \begin{minipage}[b]{0.49\linewidth}
  78   \centering
  79     \centerline{\includegraphics[width=6.cm]{img/lena_lsb_1234_facteur17}}
  80
  81  %\centerline{\epsfig{figure=img/lena_lsb_1234_facteur17.pdf,width=4cm}}
  82   \centerline{(c) LSCs of Lena ($\times 17$).}
  83 \end{minipage}
  84 %
  85 \caption{Most and least significant coefficients of Lena.}
  86 \label{fig:MSCLSC}
  87 \end{center}
  88
  89 \end{figure*}
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 100 \subsection{Presentation of the Scheme}
 101
 102 We have proposed in \cite{guyeux10ter} to use chaotic iterations as an information hiding scheme, as follows.
 103 Let:
 104 \begin{itemize}
 105   \item $(K,N) \in [0;1]\times \mathds{N}$ be an embedding key,
 106   \item $X \in \mathbb{B}^\mathsf{N}$ be the $\mathsf{N}$ LSCs of a cover $C$,% $X$ be the initial state $X_0$,
 107   \item $(S^n)_{n \in \mathds{N}} \in \llbracket 0, \mathsf{N-1}
 108   \rrbracket^{\mathds{N}}$ be a strategy, which depends on the message to hide $M \in [0;1]$ and $K$,
 109   \item $f_0 : \mathbb{B}^\mathsf{N} \rightarrow \mathbb{B}^\mathsf{N}$ be the vectorial logical negation.
 110 \end{itemize}
 111
 112
 113 So the watermarked media is $C$ whose LSCs are replaced by $Y_K=X^{N}$, where:
 114
 115 \begin{equation*}
 116 \left\{
 117  \begin{array}{l}
 118 X^0 = X\\
 119 \forall n < N, X^{n+1} = G_{f_0}\left(X^n\right).\\
 120 \end{array} \right.
 121 \end{equation*}
 122
 123
 124 Two ways to generate $(S^n)_{n \in \mathds{N}}$ are given in \cite{trx}, namely
 125 Chaotic Iterations with Independent Strategy~(CIIS) and Chaotic Iterations with Dependent
 126 Strategy~(CIDS).
 127 In CIIS, the strategy is independent from the cover media $C$, whereas in CIDS the strategy will be dependent on $C$.
 128
 129
 130
 131 Revoir ce qui suit.
 132
 133 As we will use the CIIS strategy in this document, we recall it below.
 134 Finally, MSCs are not used here, as we do not consider the case of authenticated watermarking.
 135
 136 \subsection{CIIS Strategy}
 137
 138 Let us firstly give the definition of the Piecewise Linear Chaotic Map~(PLCM, see~\cite{Shujun1}):
 139
 140 %\begin{definition}%[PLCM]
 141 %The \emph{Piecewise Linear Chaotic Map} is defined by
 142 \begin{equation*}
 143 F(x,p)=\left\{
 144  \begin{array}{ccc}
 145 x/p & \text{if} & x \in [0;p], \\
 146 (x-p)/(\frac{1}{2} - p) & \text{if} & x \in \left[ p; \frac{1}{2} \right],
 147 \\
 148 F(1-x,p) & \text{else,} & \\
 149 \end{array} \right.
 150 \end{equation*}
 151 %\end{definition}
 152
 153
 154 \noindent where $p \in \left] 0; \frac{1}{2} \right[$ is a ``control parameter''.
 155
 156 The general term of the strategy $(S^n)_n$ in CIIS setup is defined by
 157 the following expression: $S^n = \left \lfloor \mathsf{N} \times K^n \right \rfloor +
 158 1$, where:
 159
 160 \begin{equation*}
 161 \left\{
 162  \begin{array}{l}
 163 p \in \left[ 0 ; \frac{1}{2} \right] \\
 164 K^0 = M \otimes K\\
 165 K^{n+1} = F(K^n,p), \forall n \leq N_0, \end{array} \right.
 166 \end{equation*}
 167
 168
 169
 170 \noindent in which $\otimes$ denotes the bitwise exclusive or (XOR) between two floating part numbers (\emph{i.e.}, between their binary digits representations).
 171
 172
 173 \subsection{CIDS Strategy}
 174
 175 The same notations as above are used.
 176 We define CIDS strategy as follows: $\forall k \leqslant N$,
 177 \begin{itemize}
 178 \item if $k \leqslant \mathsf{N}$ and $X^k = 1$, then $S^k=k$,
 179 \item else $S^k=1$.
 180 \end{itemize}
 181 In this situation, if $N \geqslant \mathsf{N}$, then only two watermarked contents are possible with the information hiding scheme proposed previously, namely: $Y_K=(0,0,\cdots,0)$ and $Y_K=(1,0,\cdots,0)$.
 182
 183
 184 \subsection{PSNR evaluation}\label{section:psnr-ci-1}
 185
 186 To realize the evaluation of the PSNR of $CI_1$, we have used the same
 187 architecture as described in
 188 Section~\ref{section:architecture-presentation}~\vpageref{section:architecture-presentation}.
 189
 190 It has to be noted that in the $CI_1$ watermarking process, the embedding key
 191 correspond to the strategy associated to the number of iterations.
 192
 193 Executing the $CI_1$ process on 1000 images, on the one hand with a  constant
 194 embedding key and one the other hand with a key generated randomly we have
 195 obtain the results described in the
 196 table~\ref{table:psnr-ci1}~\vpageref{table:psnr-ci1}, an average of and a standard deviation of  has been obtained for the PSNR.\newline
 197
 198
 199
 200 \begin{table*}
 201 \begin{center}
 202
 203  \begin{tabular}{|c||c|c|c|}
 204   \hline
 205    \textbf{Strategy} &  \textbf{PSNR average} &  \textbf{PSNR standard
 206    deviation}\\
 207     \hline
 208     \hline
 209  \textbf{Constant} &  $21.6653$ &  $0.03604$  \\
 210   \hline
 211  \textbf{Generated randomly}  & $13.3909$ & $10.5690$  \\
 212   \hline
 213
 214   \hline
 215   \end{tabular}
 216   \caption{Evaluation of the PSNR of the watermarking process $CI_1$.(Tests
 217   realized on 1000 images)}
 218   \end{center}
 219   \label{table:psnr-ci1}
 220   \end{table*}
 221
 222 Let us now focus on some security aspects of information hiding schemes. In particular, we aim to explain why chaos is relevant in this field.