krylov_multi.tex

   1 \documentclass{article}
   2 \usepackage[utf8]{inputenc}
   3 \usepackage{amsfonts,amssymb}
   4 \usepackage{amsmath}
   5 \usepackage{graphicx}
   6 \usepackage{algorithm}
   7 \usepackage{algpseudocode}
   8 \usepackage{multirow}
   9
  10 \algnewcommand\algorithmicinput{\textbf{Input:}}
  11 \algnewcommand\Input{\item[\algorithmicinput]}
  12
  13 \algnewcommand\algorithmicoutput{\textbf{Output:}}
  14 \algnewcommand\Output{\item[\algorithmicoutput]}
  15
  16 \newcommand{\Time}[1]{\mathit{Time}_\mathit{#1}}
  17 \newcommand{\Prec}{\mathit{prec}}
  18 \newcommand{\Ratio}{\mathit{Ratio}}
  19
  20 %\usepackage{xspace}
  21 %\usepackage[textsize=footnotesize]{todonotes}
  22 %\newcommand{\LZK}[2][inline]{%
  23 %\todo[color=green!40,#1]{\sffamily\textbf{LZK:} #2}\xspace}
  24
  25 \title{A scalable multisplitting algorithm for solving large sparse linear systems}
  26 \date{}
  27
  28
  29
  30 \begin{document}
  31 \author{Raphaël Couturier \and Lilia Ziane Khodja}
  32
  33 \maketitle
  34
  35
  36 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  37 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  38
  39 \begin{abstract}
  40 In  this paper  we  revisit  the Krylov  multisplitting  algorithm presented  in
  41 \cite{huang1993krylov}  which  uses  a  scalar  method to  minimize  the  Krylov
  42 iterations computed by a multisplitting algorithm. Our new algorithm is based on
  43 a  parallel multisplitting  algorithm  with few  blocks  of large  size using  a
  44 parallel GMRES method inside each block and on a parallel Krylov minimization in
  45 order to improve the convergence. Some large scale experiments with a 3D Poisson
  46 problem  are presented.   They  show  the obtained  improvements  compared to  a
  47 classical GMRES both in terms of number of iterations and execution times.
  48 \end{abstract}
  49
  50 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  51 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  52
  53 \section{Introduction}
  54 Iterative methods are used to solve  large sparse linear systems of equations of
  55 the form  $Ax=b$ because they are  easier to parallelize than  direct ones. Many
  56 iterative  methods have  been proposed  and  adapted by  many researchers.   For
  57 example, the GMRES method and the  Conjugate Gradient method are very well known
  58 and  used by  many researchers~\cite{S96}. Both methods  are based  on the
  59 Krylov subspace which consists in forming  a basis of a sequence of successive
  60 matrix powers times the initial residual.
  61
  62 When  solving large  linear systems  with  many cores,  iterative methods  often
  63 suffer  from scalability problems.   This is  due to  their need  for collective
  64 communications  to  perform  matrix-vector  products and  reduction  operations.
  65 Preconditioners can be  used in order to increase  the convergence of iterative
  66 solvers.   However, most  of the  good preconditioners  are not  scalable when
  67 thousands of cores are used.
  68
  69 Traditional iterative  solvers have  global synchronizations that  penalize the
  70 scalability.   Two  possible solutions  consists  either  in using  asynchronous
  71 iterative  methods~\cite{ref18} or  to  use multisplitting  algorithms. In  this
  72 paper, we will  reconsider the use of a multisplitting  method. In opposition to
  73 traditional  multisplitting  method  that  suffer  from  slow  convergence,  as
  74 proposed  in~\cite{huang1993krylov},  the  use  of a  minimization  process  can
  75 drastically improve the convergence.
  76
  77
  78 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  79 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  80
  81 \section{Related works}
  82 A general framework  for studying parallel multisplitting has  been presented in~\cite{o1985multi}
  83 by O'Leary and White. Convergence conditions are given for the
  84 most general case.  Many authors improved multisplitting algorithms by proposing
  85 for  example  an  asynchronous  version~\cite{bru1995parallel}  and  convergence
  86 conditions~\cite{bai1999block,bahi2000asynchronous}   in  this  case   or  other
  87 two-stage algorithms~\cite{frommer1992h,bru1995parallel}.
  88
  89 In~\cite{huang1993krylov},  the  authors  proposed  a  parallel  multisplitting
  90 algorithm in which all the tasks except  one are devoted to solve a sub-block of
  91 the splitting  and to send their  local solutions to  the first task which  is in
  92 charge to  combine the vectors at  each iteration.  These vectors  form a Krylov
  93 basis for  which the first task minimizes  the error function over  the basis to
  94 increase the convergence, then the other tasks receive the updated solution until
  95 convergence of the global system.
  96
  97 In~\cite{couturier2008gremlins}, the  authors proposed practical implementations
  98 of multisplitting algorithms that take benefit from multisplitting algorithms {\bf ???} to
  99 solve large scale linear systems. Inner  solvers could be based on scalar direct
 100 method with the LU method or scalar iterative one with GMRES.
 101
 102 In~\cite{prace-multi},  the  authors have  proposed a  parallel  multisplitting
 103 algorithm in which large blocks are solved using a GMRES solver. The authors have
 104 performed large scale experiments up-to  32,768 cores and they conclude that
 105 asynchronous  multisplitting algorithm  could be more  efficient  than traditional
 106 solvers on an exascale architecture with hundreds of thousands of cores.
 107
 108 The key idea of a multisplitting method to solve a large system of linear equations $Ax=b$ is defined as follows. The first step consists in partitioning the matrix $A$ in $L$ several ways
 109 \begin{equation}
 110 A = M_\ell - N_\ell,
 111 \label{eq01}
 112 \end{equation}
 113 where for all $\ell\in\{1,\ldots,L\}$ $M_\ell$ are non-singular matrices. Then the linear system is solved by iteration based on the obtained splittings as follows
 114 \begin{equation}
 115 x^{k+1}=\displaystyle\sum^L_{\ell=1} E_\ell M^{-1}_\ell (N_\ell x^k + b),~k=1,2,3,\ldots
 116 \label{eq02}
 117 \end{equation}
 118 where $E_\ell$ are non-negative and diagonal weighting matrices and their sum is an identity matrix $I$. The convergence of such a method is dependent on the condition
 119 \begin{equation}
 120 \rho(\displaystyle\sum^L_{\ell=1}E_\ell M^{-1}_\ell N_\ell)<1.
 121 \label{eq03}
 122 \end{equation}
 123 where $\rho$ is the spectral radius of the square matrix.
 124
 125 The advantage of the multisplitting method is that at each iteration $k$ there are $L$ different linear sub-systems
 126 \begin{equation}
 127 v_\ell^k=M^{-1}_\ell N_\ell x_\ell^{k-1} + M^{-1}_\ell b,~\ell\in\{1,\ldots,L\},
 128 \label{eq04}
 129 \end{equation}
 130 to be solved independently by a direct or an iterative method, where $v_\ell$ is the solution of the local sub-system. Thus the computations of $\{v_\ell\}_{1\leq \ell\leq L}$ may be performed in parallel by a set of processors. A multisplitting method using an iterative method as an inner solver is called an inner-outer iterative method or a two-stage method. The results $v_\ell$ obtained from the different splittings~(\ref{eq04}) are combined to compute solution $x$ of the linear system by using the diagonal weighting matrices
 131 \begin{equation}
 132 x^k = \displaystyle\sum^L_{\ell=1} E_\ell v_\ell^k,
 133 \label{eq05}
 134 \end{equation}
 135 In the case where the diagonal weighting matrices $E_\ell$ have only zero and one factors (i.e. $v_\ell$ are disjoint vectors), the multisplitting method is non-overlapping and corresponds to the block Jacobi method.
 136
 137 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 138 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 139
 140 \section{A two-stage method with a minimization}
 141 Let $Ax=b$ be a given large and sparse linear system of $n$ equations to solve in parallel on $L$ clusters of processors, physically adjacent or geographically distant, where $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ is a square and non-singular matrix, $x\in\mathbb{R}^{n}$ is the solution vector and $b\in\mathbb{R}^{n}$ is the right-hand side vector. The multisplitting of this linear system is defined as follows
 142 \begin{equation}
 143 \left\{
 144 \begin{array}{lll}
 145 A & = & [A_{1}, \ldots, A_{L}]\\
 146 x & = & [X_{1}, \ldots, X_{L}]\\
 147 b & = & [B_{1}, \ldots, B_{L}]
 148 \end{array}
 149 \right.
 150 \label{sec03:eq01}
 151 \end{equation}
 152 where for $\ell\in\{1,\ldots,L\}$, $A_\ell$ is a rectangular block of size $n_\ell\times n$ and $X_\ell$ and $B_\ell$ are sub-vectors of size $n_\ell$ each, such that $\sum_\ell n_\ell=n$. In this work, we use a row-by-row splitting without overlapping in such a way that successive rows of sparse matrix $A$ and both vectors $x$ and $b$ are assigned to one cluster. So, the multisplitting format of the linear system is defined as follows
 153 \begin{equation}
 154 \forall \ell\in\{1,\ldots,L\} \mbox{,~} A_{\ell \ell}X_\ell + \displaystyle\sum_{\substack{m=1\\m\neq\ell}}^L A_{\ell m}X_m = B_\ell,
 155 \label{sec03:eq02}
 156 \end{equation}
 157 where $A_{\ell m}$ is a sub-block of size $n_\ell\times  n_m$ of the rectangular matrix $A_\ell$, $X_m\neq  X_\ell$ is a sub-vector of size $n_m$ of the solution vector $x$ and $\sum_{m\neq \ell}n_m+n_\ell=n$, for all $m\in\{1,\ldots,L\}$.
 158
 159 Our multisplitting method proceeds by iteration for solving the linear system in such a way each sub-system
 160 \begin{equation}
 161 \left\{
 162 \begin{array}{l}
 163 A_{\ell \ell}X_\ell = Y_\ell \mbox{,~such that}\\
 164 Y_\ell = B_\ell - \displaystyle\sum_{\substack{m=1\\m\neq \ell}}^{L}A_{\ell m}X_m,
 165 \end{array}
 166 \right.
 167 \label{sec03:eq03}
 168 \end{equation}
 169 is solved independently by a {\it cluster of processors} and communications are required to update the right-hand side vectors $Y_\ell$, such that the vectors $X_m$ represent the data dependencies between the clusters. In this work, we use the parallel restarted GMRES method~\cite{ref34} as an inner iteration method to solve sub-systems~(\ref{sec03:eq03}). GMRES is one of the most used Krylov iterative methods to solve sparse linear systems. %In practice, GMRES is used with a preconditioner to improve its convergence. In this work, we used a preconditioning matrix equivalent to the main diagonal of sparse sub-matrix $A_{ll}$. This preconditioner is straightforward to implement in parallel and gives good performances in many situations.
 170
 171 It should be noted that the convergence of the inner iterative solver for the different sub-systems~(\ref{sec03:eq03}) does not necessarily involve the convergence of the multisplitting method. It strongly depends on the properties of the global sparse linear system to be solved and the computing environment~\cite{o1985multi,ref18}. Furthermore, the multisplitting of the linear system among several clusters of processors increases the spectral radius of the iteration matrix, thereby slowing the convergence. In this paper, we based on the work presented in~\cite{huang1993krylov} to increase the convergence and improve the scalability of the multisplitting methods.
 172
 173 In order to accelerate the convergence, we implemented the outer iteration of the multisplitting solver as a Krylov iterative method which minimizes some error function over a Krylov subspace~\cite{S96}. The Krylov subspace that we used is spanned by a basis composed of successive solutions issued from solving the $L$ splittings~(\ref{sec03:eq03})
 174 \begin{equation}
 175 S=\{x^1,x^2,\ldots,x^s\},~s\leq n,
 176 \label{sec03:eq04}
 177 \end{equation}
 178 where for $j\in\{1,\ldots,s\}$, $x^j=[X_1^j,\ldots,X_L^j]$ is a solution of the global linear system. The advantage of such a Krylov subspace is that we need neither an orthogonal basis nor synchronizations between clusters to generate this basis.
 179
 180 The multisplitting method is periodically restarted every $s$ iterations with a new initial guess $\tilde{x}=S\alpha$ which minimizes the error function $\|b-Ax\|_2$ over the Krylov subspace spanned by vectors of $S$. So $\alpha$ is defined as the solution of the large overdetermined linear system
 181 \begin{equation}
 182 R\alpha=b,
 183 \label{sec03:eq05}
 184 \end{equation}
 185 where $R=AS$ is a dense rectangular matrix of size $n\times s$ and $s\ll n$. This leads us to solve a system of normal equations
 186 \begin{equation}
 187 R^TR\alpha=R^Tb,
 188 \label{sec03:eq06}
 189 \end{equation}
 190 which is associated with the least squares problem
 191 \begin{equation}
 192 \text{minimize}~\|b-R\alpha\|_2,
 193 \label{sec03:eq07}
 194 \end{equation}
 195 where $R^T$ denotes the transpose of matrix $R$. Since $R$ (i.e. $AS$) and $b$ are split among $L$ clusters, the symmetric positive definite system~(\ref{sec03:eq06}) is solved in parallel. Thus an iterative method would be more appropriate than a direct one to solve this system. We use the parallel Conjugate Gradient method for the normal equations CGNR~\cite{S96,refCGNR}.
 196
 197 \begin{algorithm}[!t]
 198 \caption{A two-stage linear solver with inner iteration GMRES method}
 199 \begin{algorithmic}[1]
 200 \Input $A_\ell$ (sparse sub-matrix), $B_\ell$ (right-hand side sub-vector)
 201 \Output $X_\ell$ (solution sub-vector)\vspace{0.2cm}
 202 \State Load $A_\ell$, $B_\ell$
 203 \State Set the initial guess $x^0$
 204 \State Set the minimizer $\tilde{x}^0=x^0$
 205 \For {$k=1,2,3,\ldots$ until the global convergence}
 206 \State Restart with $x^0=\tilde{x}^{k-1}$:
 207 \For {$j=1,2,\ldots,s$}
 208 \State \label{line7}Inner iteration solver: \Call{InnerSolver}{$x^0$, $j$}
 209 \State Construct basis $S$: add column vector $X_\ell^j$ to the matrix $S_\ell^k$
 210 \State Exchange local values of $X_\ell^j$ with the neighboring clusters
 211 \State Compute dense matrix $R$: $R_\ell^{k,j}=\sum^L_{i=1}A_{\ell i}X_i^j$
 212 \EndFor
 213 \State \label{line12}Minimization $\|b-R\alpha\|_2$: \Call{UpdateMinimizer}{$S_\ell$, $R$, $b$, $k$}
 214 \State Local solution of linear system $Ax=b$: $X_\ell^k=\tilde{X}_\ell^k$
 215 \State Exchange the local minimizer $\tilde{X}_\ell^k$ with the neighboring clusters
 216 \EndFor
 217
 218 \Statex
 219
 220 \Function {InnerSolver}{$x^0$, $j$}
 221 \State Compute local right-hand side $Y_\ell = B_\ell - \sum^L_{\substack{m=1\\m\neq \ell}}A_{\ell m}X_m^0$
 222 \State Solving local splitting $A_{\ell \ell}X_\ell^j=Y_\ell$ using parallel GMRES method, such that $X_\ell^0$ is the initial guess
 223 \State \Return $X_\ell^j$
 224 \EndFunction
 225
 226 \Statex
 227
 228 \Function {UpdateMinimizer}{$S_\ell$, $R$, $b$, $k$}
 229 \State Solving normal equations $(R^k)^TR^k\alpha^k=(R^k)^Tb$ in parallel by $L$ clusters using parallel CGNR method
 230 \State Compute local minimizer $\tilde{X}_\ell^k=S_\ell^k\alpha^k$
 231 \State \Return $\tilde{X}_\ell^k$
 232 \EndFunction
 233 \end{algorithmic}
 234 \label{algo:01}
 235 \end{algorithm}
 236
 237 The main key points of our Krylov multisplitting method to solve a large sparse linear system are given in Algorithm~\ref{algo:01}. This algorithm is based on a two-stage method with a minimization using restarted GMRES iterative method as an inner solver. It is executed in parallel by each cluster of processors. Matrices and vectors with the subscript $\ell$ represent the local data for cluster $\ell$, where $\ell\in\{1,\ldots,L\}$. The two-stage solver uses two different parallel iterative algorithms: GMRES method to solve each splitting~(\ref{sec03:eq03}) on a cluster of processors, and CGNR method executed in parallel by all clusters to minimize the function error~(\ref{sec03:eq07}) over the Krylov subspace spanned by $S$. The algorithm requires two global synchronizations between $L$ clusters. The first one is performed at line~\ref{line12} in Algorithm~\ref{algo:01} to exchange local values of vector solution $x$ (i.e. the minimizer $\tilde{x}$) required to restart the multisplitting solver. The second one is needed to construct the matrix $R$. We chose to perform this latter synchronization $s$ times in every outer iteration $k$ (line~\ref{line7} in Algorithm~\ref{algo:01}). This is a straightforward way to compute the sparse matrix-dense matrix multiplication $R=AS$. We implemented all synchronizations by using message passing collective communications of MPI library.
 238
 239 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 240 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 241
 242 \section{Experiments}
 243 In order to illustrate  the interest  of our algorithm. We have  compared our
 244 algorithm  with  the  GMRES  method  which  is a very  well  used  method  in  many
 245 situations.  We have chosen to focus on only one problem which is very simple to
 246 implement: a 3 dimension Poisson problem.
 247
 248 \begin{equation}
 249 \left\{
 250                 \begin{array}{ll}
 251                   \nabla u&=f \mbox{~in~} \omega\\
 252                   u &=0 \mbox{~on~}  \Gamma=\partial \omega
 253                 \end{array}
 254               \right.
 255 \end{equation}
 256
 257 After discretization, with a finite  difference scheme, a seven point stencil is
 258 used. It  is well-known that the  spectral radius of  matrices representing such
 259 problems are very close to 1.  Moreover, the larger the number of discretization
 260 points is,  the closer to 1  the spectral radius  is.  Hence, to solve  a matrix
 261 obtained for  a 3D Poisson  problem, the number  of iterations is high.  Using a
 262 preconditioner  it  is   possible  to  reduce  the  number   of  iterations  but
 263 preconditioners are not scalable when using many cores.
 264
 265 Doing many experiments  with many cores is  not easy and requires to  access to a
 266 supercomputer  with several  hours for  developing  a code  and then  improving
 267 it. In the following we presented  some experiments we could achieved out on the
 268 Hector architecture,  the previous UK's  high-end computing resource,  funded by
 269 the UK Research Councils, which has been stopped in the early 2014.
 270
 271 Table~\ref{tab1} shows  the result of  the experiments.  The first  column shows
 272 the  size of  the  3D Poisson  problem.  The size  is chosen  in  order to  have
 273 approximately  50,000 components  per core.   The second  column  represents the
 274 number of  cores used. In parenthesis,  there is the decomposition  used for the
 275 Krylov multisplitting. The  third column and the sixth  column respectively show
 276 the execution time for the GMRES  and the Krylov multisplitting codes. The fourth
 277 and  the   seventh  column  describes   the  number  of  iterations.    For  the
 278 multisplitting  code, the  total number  of inner  iterations is  represented in
 279 parenthesis. For  the GMRES code (alone  and in the  multisplitting version) the
 280 restart parameter is fixed to 16. The precision of the GMRES version is fixed to
 281 1e-6. For  the multisplitting,  there are two  precisions, one for  the external
 282 solver which is fixed to 1e-6 and another one for the inner solver (GMRES) which
 283 is fixed to 1e-10. It should be noted  that a high precision is used but we also
 284 fixed  a maximum number of  iterations for each  internal step. In  practice, we
 285 limit the  number of iterations in the internal step to  10. So an internal  iteration is finished
 286 when the precision is reached or  when the maximum internal number of iterations
 287 is reached. The precision and the maximum number of iterations of CGNR method are fixed to 1e-25 and 20 respectively. The size of the Krylov subspace basis $S$ is fixed to 10 vectors.
 288
 289 \begin{table}[htbp]
 290 \begin{center}
 291 \begin{tabular}{|c|c||c|c|c||c|c|c||c|}
 292 \hline
 293 \multirow{2}{*}{Pb size}&\multirow{2}{*}{Nb. cores} &  \multicolumn{3}{c||}{GMRES} &  \multicolumn{3}{c||}{Krylov Multisplitting} & \multirow{2}{*}{Ratio}\\
 294  \cline{3-8}
 295            &                   &  Time (s) & nb Iter. & $\Delta$  &   Time (s)& nb Iter. & $\Delta$ & \\
 296 \hline
 297 $468^3$ & 2048 (2x1024)        &  299.7    & 41,028    & 5.02e-8  &  48.4    & 691(6,146) & 8.24e-08  & 6.19   \\
 298 \hline
 299 $590^3$ & 4096 (2x2048)        &  433.1    & 55,494    & 4.92e-7  &  74.1    & 1,101(8,211) & 6.62e-08  & 5.84   \\
 300 \hline
 301 $743^3$ & 8192 (2x4096)        & 704.4     & 87,822    & 4.80e-07 &  151.2   & 3,061(14,914) & 5.87e-08 & 4.65    \\
 302 \hline
 303 $743^3$ & 8192 (4x2048)        & 704.4     & 87,822    & 4.80e-07 &  110.3   & 1,531(12,721) & 1.47e-07& 6.39  \\
 304 \hline
 305
 306 \end{tabular}
 307 \caption{Results}
 308 \label{tab1}
 309 \end{center}
 310 \end{table}
 311
 312
 313 From these  experiments, it can be  observed that the  multisplitting version is
 314 always  faster   than  the  GMRES   version.   The  acceleration  gain   of  the
 315 multisplitting version is between 4 and 6.  It can be noticed that the number of
 316 iterations is drastically reduced with  the multisplitting version even it is not
 317 neglectable.
 318
 319 \section{Conclusion and perspectives}
 320 We have implemented a Krylov multisplitting method to solve sparse linear systems on large-scale computing platforms. We have developed a synchronous two-stage method based on the block Jacobi multisplitting and uses GMRES iterative method as an inner iteration. Our contribution in this paper is twofold. First we have constituted a multi-cluster environment based on processors of the computing platform on which each linear sub-system issued from the splitting is solved in parallel by a cluster of processors. Second, we have implemented the outer iteration of the multisplitting method using Krylov subspace method which minimizes some error function. This increases the convergence and improves the scalability of the multisplitting method.
 321
 322 We have tested our multisplitting method for solving the sparse linear system issued from the discretization of a 3D Poisson problem. We have compared its performances to those of classical GMRES method on a supercomputer composed of 2048 to 8192 cores. The experimental results showed that the multisplitting method is about 4 to 6 times faster than the GMRES method for different sizes of the problem split into 2 or 4 blocks when using multisplitting method. Indeed, the GMRES method has difficulties to scale with many cores while the Krylov multisplitting method allows to hide latency and reduce the inter-cluster communications.
 323
 324 In future works, we plan to conduct experiments on larger number of cores and test the scalability of our Krylov multisplitting method. It would be interesting to validate its performances for solving other linear/nonlinear and symmetric/nonsymmetric problems. Moreover, we intend to develop multisplitting methods based on asynchronous iteration in which communications are overlapped by computations. These methods would be interesting for platforms composed of distant clusters interconnected by a high-latency network. In addition, we intend to investigate the convergence improvements of our method by using preconditioning techniques for Krylov iterative methods and multisplitting methods with overlapping blocks.
 325
 326
 327 %Other applications (=> other matrices)\\
 328 %Larger experiments\\
 329 %Async\\
 330 %Overlapping\\
 331 %preconditioning
 332
 333
 334 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 335 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 336
 337 \bibliographystyle{plain}
 338 \bibliography{biblio}
 339
 340 \end{document}