krylov_multi.tex

   1 \documentclass{article}
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   7 \title{A scalable multisplitting algorithm for solving large sparse linear systems}
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  11 \begin{document}
  12 \author{Raphaël Couturier \and Lilia Ziane Khodja}
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  14 \maketitle
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  21 \begin{abstract}
  22 In  this  paper we  revist  the  krylov  multisplitting algorithm  presented  in
  23 \cite{huang1993krylov}  which  uses  a  scalar  method to  minimize  the  krylov
  24 iterations computed by a multisplitting algorithm. Our new algorithm is based on
  25 a  parallel multisplitting  algorithm  with few  blocks  of large  size using  a
  26 parallel GMRES method inside each block and on a parallel krylov minimization in
  27 order to improve the convergence. Some large scale experiments with a 3D Poisson
  28 problem  are presented.   They  show  the obtained  improvements  compared to  a
  29 classical GMRES both in terms of number of iterations and execution times.
  30 \end{abstract}
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  37 \section{Introduction}
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  39 Iterative methods are used to solve  large sparse linear systems of equations of
  40 the form  $Ax=b$ because they are  easier to parallelize than  direct ones. Many
  41 iterative  methods have  been proposed  and  adapted by  many researchers.  When
  42 solving large  linear systems  with many cores,  iterative methods  often suffer
  43 from  scalability  problems.    This  is  due  to  their   need  for  collective
  44 communications  to  perform  matrix-vector  products and  reduction  operations.
  45 Preconditionners can be  used in order to increase  the convergence of iterative
  46 solvers.   However, most  of the  good preconditionners  are not  sclalable when
  47 thousands of cores are used.
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  49
  50 A completer...
  51 On ne peut pas parler de tout...\\
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  57 %% BEGIN
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  59 The key idea of the multisplitting method for solving a large system of linear equations
  60 $Ax=b$ consists in partitioning the matrix $A$ in $L$ several ways
  61 \begin{equation}
  62 A = M_l - N_l,~l\in\{1,\ldots,L\},
  63 \label{eq01}
  64 \end{equation}
  65 where $M_l$ is a nonsingular matrix, and then solving the linear system by the iterative method
  66 \begin{equation}
  67 x^{k+1}=\displaystyle\sum^L_{l=1} E_l M^{-1}_l (N_l x^k + b),~k=1,2,3,\ldots
  68 \label{eq02}
  69 \end{equation}
  70 where $E_l$ is a non-negative and diagonal weighting matrix such that $\sum^L_{l=1}E_l=I$ ($I$ is the identity matrix).
  71 Thus the convergence of such a method is dependent on the condition
  72 \begin{equation}
  73 \rho(\displaystyle\sum^L_{l=1}E_l M^{-1}_l N_l)<1.
  74 \label{eq03}
  75 \end{equation}
  76
  77 The advantage of the multisplitting method is that at each iteration $k$ there are $L$ different linear
  78 systems
  79 \begin{equation}
  80 y_l=M^{-1}_l N_l x_l^{k-1} + M^{-1}_l b,~l\in\{1,\ldots,L\},
  81 \label{eq04}
  82 \end{equation}
  83 to be solved independently by a direct or an iterative method, where $y_l$ is the solution of the local system.
  84 A multisplitting method using an iterative method for solving the $L$ linear systems is called an inner-outer
  85 iterative method or a two-stage method. The solution of the global linear system at the iteration $k$ is computed
  86 as follows
  87 \begin{equation}
  88 x^k = \displaystyle\sum^L_{l=1} E_l y_l,
  89 \label{eq05}
  90 \end{equation}
  91 In the case where the diagonal weighting matrices $E_l$ have only zero and one factors (i.e. $y_l$ are disjoint vectors),
  92 the multisplitting method is non-overlapping and corresponds to the block Jacobi method.
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  94 %% END
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  97 \section{Related works}
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 100 A general framework  for studying parallel multisplitting has  been presented in
 101 \cite{o1985multi} by O'Leary and White. Convergence conditions are given for the
 102 most general case.  Many authors improved multisplitting algorithms by proposing
 103 for  example  a  asynchronous  version  \cite{bru1995parallel}  and  convergence
 104 condition  \cite{bai1999block,bahi2000asynchronous}   in  this  case   or  other
 105 two-stage algorithms~\cite{frommer1992h,bru1995parallel}
 106
 107 In  \cite{huang1993krylov},  the  authors  proposed  a  parallel  multisplitting
 108 algorithm in which all the tasks except  one are devoted to solve a sub-block of
 109 the splitting  and to send their  local solution to  the first task which  is in
 110 charge to  combine the vectors at  each iteration.  These vectors  form a Krylov
 111 basis for  which the first tasks minimize  the error function over  the basis to
 112 increase the convergence, then the other tasks receive the update solution until
 113 convergence of the global system.
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 117 In \cite{couturier2008gremlins}, the  authors proposed practical implementations
 118 of multisplitting algorithms that take benefit from multisplitting algorithms to
 119 solve large scale linear systems. Inner  solvers could be based on scalar direct
 120 method with the LU method or scalar iterative one with GMRES.
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 129 \section{A two-stage method with a minimization}
 130 Let $Ax=b$ be a given sparse and large linear system of $n$ equations
 131 to solve in parallel on $L$ clusters, physically adjacent or geographically
 132 distant, where $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ is a square and nonsingular
 133 matrix, $x\in\mathbb{R}^{n}$ is the solution vector and $b\in\mathbb{R}^{n}$
 134 is the right-hand side vector. The multisplitting of this linear system
 135 is defined as follows:
 136 \begin{equation}
 137 \left\{
 138 \begin{array}{lll}
 139 A & = & [A_{1}, \ldots, A_{L}]\\
 140 x & = & [X_{1}, \ldots, X_{L}]\\
 141 b & = & [B_{1}, \ldots, B_{L}]
 142 \end{array}
 143 \right.
 144 \label{sec03:eq01}
 145 \end{equation}
 146 where for all $l\in\{1,\ldots,L\}$ $A_l$ is a rectangular block of size $n_l\times n$
 147 and $X_l$ and $B_l$ are sub-vectors of size $n_l$, such that $\sum_ln_l=n$. In this
 148 case, we use a row-by-row splitting without overlapping in such a way that successive
 149 rows of the sparse matrix $A$ and both vectors $x$ and $b$ are assigned to a cluster.
 150 So, the multisplitting format of the linear system is defined as follows:
 151 \begin{equation}
 152 \forall l\in\{1,\ldots,L\} \mbox{,~} \displaystyle\sum_{i=1}^{l-1}A_{li}X_i + A_{ll}X_l + \displaystyle\sum_{i=l+1}^{L}A_{li}X_i = B_l,
 153 \label{sec03:eq02}
 154 \end{equation}
 155 where $A_{li}$ is a block of size $n_l\times n_i$ of the rectangular matrix $A_l$, $X_i\neq X_l$
 156 is a sub-vector of size $n_i$ of the solution vector $x$ and $\sum_{i<l}n_i+\sum_{i>l}n_i+n_l=n$,
 157 for all $i\in\{1,\ldots,l-1,l+1,\ldots,L\}$. Therefore, each cluster $l$ is in charge of solving
 158 the following spare sub-linear system:
 159 \begin{equation}
 160 \left\{
 161 \begin{array}{l}
 162 A_{ll}X_l = Y_l \mbox{,~such that}\\
 163 Y_l = B_l - \displaystyle\sum_{i=1,i\neq l}^{L}A_{li}X_i,
 164 \end{array}
 165 \right.
 166 \label{sec03:eq03}
 167 \end{equation}
 168 where the sub-vectors $X_i$ define the data dependencies between the cluster $l$ and other clusters.
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 175 \bibliographystyle{plain}
 176 \bibliography{biblio}
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 178 \end{document}