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   1 \section{The envelope-following method in a nutshell}
   2 \label{sec:ef}
   3
   4 In transient analysis\index{transient analysis},
   5 a nonlinear circuit's behavior can be represented
   6 by a coupled set of nonlinear first-order
   7 differential algebraic equations\index{differential algebraic equations}
   8 (DAE) of the form
   9 \begin{equation}\label{eq:dae}
  10    \frac{\ud}{\ud t} q(x(t)) + f(x(t)) = b(t),
  11 \end{equation}
  12 where $x(t)\in \mathbb{R}^N$ is the vector of circuit variables,
  13 usually comprising node voltages and possibly branch currents,
  14 $f(\cdot)$ is a nonlinear function that maps $x(t)$ to a vector
  15 of $N$ entries most of
  16 which are sums of resistive currents at a node,
  17 $q(\cdot)$ %is also a nonlinear function that
  18 maps $x(t)$ to a vector of $N$ entries of
  19 capacitor charges or inductor fluxes,
  20 and $b(t)$ contains the input source values.
  21 For many power electronics circuits, the input
  22 switching signal is known %as a circuit parameter
  23 and is periodic with clock period $T$.
  24
  25 Assume the time inside one period $T$ has been discretised
  26 into $M$ time steps, $0=t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_M=T$, and the
  27 $i$-th step length is $h_i = t_i-t_{i-1}$.
  28 In practice, the discretisation is nonuniform to
  29 control truncation error\index{truncation error} and convergence.
  30 Then, given an initial condition $x(0)$ at $t=0$,
  31 numerical integration is applied to find the time domain solution of
  32 circuit state $x(t)$ at each time step till $t=T$.
  33 %, in a consequent time series.
  34
  35 For those circuits whose carrier waveforms\index{carrier waveforms}
  36 vary slowly in a large number of periods,
  37 the envelope-following\index{envelope-following} method only integrates the
  38 DAE in several selected periods and then jumps over to a new time point.
  39 By repeating this ``simulate and skip'' action,
  40 envelope-following method attains its efficiency
  41 compared to conventional transient analysis, but still can accurately
  42 obtain the slow varying envelope.
  43
  44 For example, if the clock period is $T$, and the suitable jump
  45 interval for the envelope is $k$ periods, then the envelope step is
  46 $kT$.  Suppose the state at time $t=mT$ is known as $x(mT)$, and the
  47 envelope-following wants to obtain the state at the next envelope
  48 step, $x((m+k)T)$.  If the envelope step is much larger than the clock
  49 period ($k$ is much bigger than one), envelope-following will lead to
  50 significant savings in simulation time.
  51
  52 % One simple way to estimate $x((m+k)T)$ is to use the information at
  53 % $mT$ and $(m-1)T$, which leads to the forward-Euler method as
  54 To estimate $x((m+k)T)$,
  55 a forward Euler\index{Euler!forward Euler} style jumping relies only on $x(mT)$ and $x((m-1)T)$,
  56 i.e.,
  57 \[
  58    x((m+k)T)
  59    =
  60    x(mT) + k\left[ x(mT)-x((m-1)T) \right].
  61 \]
  62 However, this approach is inefficient due to its restriction on
  63 envelope step $k$, since larger $k$ usually causes instability.
  64 Instead, backward Euler\index{Euler!backward Euler} jumping,
  65 %and the equation becomes
  66 \[
  67   x((m+k)T)-x(mT) = k\left[x((m+k)T)-x((m+k-1)T)\right],
  68 \]
  69 allows larger envelope steps.
  70 Here $x((m+k-1)T)$ is the unknown variable to be solved
  71 by Newton iteration\index{iterative method!Newton iteration},
  72 and $x((m+k)T)$ is dependent on $x((m+k-1)T)$
  73 in each iteration.
  74 % Forward-Euler may be used to generate the initial guess.
  75 The Newton update equation in each iteration is thus expressed as
  76 % x^{j+1}((m+k-1)T) = x^{j}((m+k-1)T) - A^{-1} \left[(k-1)x^j((m+k)T) - kx^j((m+k-1)T)+ x(mT)\right],
  77 %\begin{equation} \label{eq:Newton}
  78 %\begin{split}
  79 \begin{multline} \label{eq:Newton}
  80   \Delta x((m+k-1)T)= A^{-1} \left[(k-1)x^j((m+k)T) \right. \\
  81    \left. - kx^j((m+k-1)T)+ x(mT)\right],
  82 \end{multline}
  83 %\end{split}
  84 %\end{equation}
  85 where the Jacobian matrix\index{Jacobian matrix} $A$ is computed as
  86 a combination of circuit sensitivity matrix\index{sensitivity matrix}
  87 and identity matrix, as
  88 \begin{equation} \label{eq:A}
  89   A = (k-1)\frac{\ud x((m+k)T)}{\ud x((m+k-1)T)} -kI
  90     = (k-1)J-kI.
  91 \end{equation}
  92 In each Newton iteration,
  93 $x((m+k-1)T)$ is used as initial condition to calculate
  94 $x((m+k)T)$ by integrating the DAE in one clock period.
  95 Meanwhile, %circuit matrices, for example,
  96 the conductance matrix $G_i=\ud f(x(t_i))/\ud x(t_i)$
  97 and the capacitance matrix $C_i=\ud q(x(t_i))/\ud x(t_i)$
  98 at each time step %in this period,
  99 are used to derive the %circuit
 100 sensitivity matrix $J= \ud x((m+k)T) / \ud x((m+k-1)T)$.
 101 % i.e.,
 102 % \[
 103 %   x((m+k)T) = \Phi(x((m+k-1)T),(m+k-1)T,(m+k)T).
 104 % \]
 105
 106 Different integration rules can be applied to
 107 the computation of sensitivity matrix.
 108 It can be easily derived that,
 109 %for one signal period with $M$ time steps,
 110 if the DAE is integrated with backward Euler rule,
 111 the sensitivity is
 112 \[
 113    J = \frac{\ud x_M}{\ud x_0}
 114    = \prod_{i=1}^{M}
 115      \left( \frac{1}{h_i} C_i + G_i \right)^{-1}
 116      \frac{1}{h_i}C_{i-1}
 117 %  \frac{\ud x_n}{\ud x_0}
 118 %  = \left(\frac{1}{h_n} C_n + G_n\right)^{-1}
 119 %    \frac{1}{h_n}C_{n-1} \frac{\ud x_{n-1}}{\ud x_0}
 120 \]
 121 %is the sensitivity matrix
 122 % In the next section, we will formulate the sensitivity in
 123 % Gear-2 scheme.
 124 % and for trapezoidal integration,
 125 % \[
 126 %   \frac{\ud x_n}{\ud x_0}
 127 %  = \left(\frac{1}{h_n} C_n + \frac{1}{2} G_n\right)^{-1}
 128 %    \left(\frac{1}{h_n} C_{n-1} - \frac{1}{2} G_{n-1}\right)
 129 %    \frac{\ud x_{n-1}}{\ud x_0}.
 130 % \]
 131
 132 In summary, the envelope-following method is fundamentally
 133 a boosted version of traditional transient analysis,
 134 with certain skips over several periods and a Newton iteration
 135 to update or correct the errors brought by the skips,
 136 as is exhibited by Fig.~\ref{fig:ef_flow}.
 137 \begin{figure}[!tb]
 138 \centering
 139 \resizebox{.7\textwidth}{!}{\input{./Chapters/chapter16/figures/ef_flow.pdf_t}}
 140 \caption{The flow of envelope-following method.}
 141 \label{fig:ef_flow}
 142 %\end{center}
 143 \end{figure}
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