partiels/0912S2/main.tex

   1 \documentclass[12pt,a4paper,french]{article}
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   4 \usepackage{a4}
   5 \usepackage{amsmath}
   6 \usepackage{amsfonts}
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  18 \usepackage{multicol}
  19 \usepackage{textcomp}
  20
  21 \usepackage{pst-all}
  22
  23 \usepackage[a4paper]{geometry}
  24
  25 \input{symboles.sty}
  26
  27 \geometry{hmargin=1cm, vmargin=1.5cm}
  28
  29 \title{
  30 Département d'informatique (décembre 09).\\
  31 Partiel de mathématiques discrètes. Semestre 1}
  32
  33 \date{}
  34
  35 \begin{document}
  36
  37 \vspace{-5em}
  38 \maketitle
  39
  40
  41 \vspace{-5em}
  42 \noindent Seule une fiche manuscrite de format A5 est autorisée.\\
  43
  44
  45 \section{QCM}
  46
  47 Q. 1. Dans la formule
  48 $(\forall x\,.\, p(x) \Rightarrow q(x)) \land r(x)$, la variable
  49 $x$ admet une occurence libre.
  50  L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  51
  52 Q. 2. La négation de
  53 $(\forall x \, . \, p(x) \Rightarrow q(x))$ est
  54 $\exists x \, . \, p(x) \land \neg q(x)$.
  55 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  56
  57 Q. 3.
  58 Soit la démonstration  syntaxique suivante:
  59 \begin{multicols}{2}
  60 \begin{tabular}{lll}
  61 \multicolumn{3}{l}{Démonstration}\\
  62 1.&$\neg B \Rightarrow \neg A$ &$H_1$ \\
  63 2.&$A$ &$H_2$ \\
  64 3.&\_\_\_\_\_ &\_\_\_\_\_ \\
  65 4.&\_\_\_\_\_ &\_\_\_\_\_ \\
  66 5.&$\neg\neg B$ &réduction de l'absurde entre 4. et 1. \\
  67 6.&$\neg \neg B \Rightarrow B$ &Axiome 9.\\
  68 7.& $B$ &mp entre 5. et 6.
  69 \end{tabular}
  70 Si elle était complète cela permetrait de
  71 démontrer syntaxiquement
  72 $(\neg B \Rightarrow \neg A) \Rightarrow (A \Rightarrow B).
  73 $
  74 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  75 \end{multicols}
  76
  77 Q. 4. On considère les prédicats et constantes suivants avec leur interprétation sur un univers constitué d'individus humains.
  78
  79 \begin{center}
  80 \begin{tabular}{|r|l|}
  81 \hline
  82  prédicat & sens \\
  83 \hline
  84 $\textit{aime}(x,y)$                 & $x$ aime $y$ \\
  85 $\textit{maries}(x,y)$                & $x$ et $y$ sont mariés  \\
  86 $\textit{femme}(x)$                  & $x$ est une femme \\
  87 $\textit{homme}(x)$                  & $x$ est un  homme \\
  88 $\textit{fidele}(x)$                 & $x$ est fidèle \\
  89 $\textit{honete}(x)$                 & $x$ dit la vérité \\
  90 $a$                                  & Alice \\
  91 $b$                                  & Bob \\
  92 $c$                                  & Clinton \\
  93 \hline
  94 \end{tabular}
  95 \end{center}
  96
  97 $
  98 \exists x,y  \, . \, (
  99        \textit{maries}(x,y) \land
 100   \neg \textit{aime}(x,y) \land
 101   \neg \textit{aime}(y,x))
 102 $
 103 peut se traduire en
 104 \og dans certains couples, un conjoint n'aime pas l'autre \fg.
 105 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 106
 107 Q. 5.
 108 Soit \textit{dodec} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un dodécaèdre,
 109 \textit{cube} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un cube,
 110 \textit{petit} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est petit,
 111 \textit{entre} le prédicat ternaire qui est vrai si son premier paramètre est entre le second et le troisième
 112 et
 113 \textit{devant} le prédicat binaire qui est vrai si son premier paramètre est devant son second paramètre.
 114 \og les seuls grands cubes sont b et c \fg{} peut-elle se traduire en
 115 $
 116 \forall x \, .\,
 117 (\neg petit(x) \land cube(x))
 118 \leftrightarrow
 119  ( x = b \lor  x = c).
 120 $
 121 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 122
 123 Q. 6. On considère les prédicats et constantes suivants avec leur interprétation sur un univers constitué d'individus humains.
 124
 125 \begin{center}
 126 \begin{tabular}{|r|l|}
 127 \hline
 128  prédicat & sens \\
 129 \hline
 130 $\textit{aime}(x,y)$                 & $x$ aime $y$ \\
 131 $\textit{maries}(x,y)$                & $x$ et $y$ sont mariés  \\
 132 $\textit{femme}(x)$                  & $x$ est une femme \\
 133 $\textit{homme}(x)$                  & $x$ est un  homme \\
 134 $\textit{fidele}(x)$                 & $x$ est fidèle \\
 135 $\textit{honete}(x)$                 & $x$ dit la vérité \\
 136 $a$                                  & Alice \\
 137 $b$                                  & Bob \\
 138 $c$                                  & Clinton \\
 139 \hline
 140 \end{tabular}
 141 \end{center}
 142 $
 143 \exists x \, . \, (\forall y \, . \,
 144   \textit{homme}(x) \land
 145  (\textit{femme}(y) \Rightarrow
 146   \textit{aime}(x,y))
 147 $
 148 peut se traduire en \og certains hommes sont aimés de toutes les femmes \fg.
 149 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 150
 151 Q. 7. La formule
 152 $(\forall x\,.\, (\exists y\,.\, p(x) \land p(y))$ est équivalente à
 153 $(\forall y\,.\, (\exists x\,.\, p(y) \land p(x))$.
 154 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 155
 156 Q. 8. La négation de
 157 $(\exists y \, . \, p(y) \land \neg q(y))$ est
 158 $(\forall y \, . \, \neg p(y) \lor \neg   q(y))$.
 159 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 160
 161 Q. 9.  On considère la proposition
 162 $
 163   (A \Rightarrow B) \Rightarrow
 164   ((A \Rightarrow C) \Rightarrow (A \Rightarrow B \land C))
 165 $
 166 Il existe une démonstration syntaxique sous hypothèses  qui prouve que cette proposition est un théorème. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 167
 168
 169 Q. 10.
 170 Soit \textit{dodec} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un dodécaèdre,
 171 \textit{cube} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un cube,
 172 \textit{petit} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est petit,
 173 \textit{entre} le prédicat ternaire qui est vrai si son premier paramètre est entre le second et le troisième
 174 et
 175 \textit{devant} le prédicat binaire qui est vrai si son premier paramètre est devant son second paramètre.
 176 \og Il y a au moins deux objets qui n’ont rien derrière eux \fg{} peut-elle se traduire en
 177 $
 178 \exists x,y\, .\,
 179 x \neq y \land
 180  (\forall w\, .\, (w = x \lor  w = y) \rightarrow (\forall z  ¬devant(z, w))).
 181 $
 182 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 183
 184 Q. 11. La formule
 185 $\forall x \,.\, x > 0 \Rightarrow
 186   (\exists y \, . \, e^y = x )
 187 $
 188 est vraie sur l'univers $\mathds{R}$.
 189 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 190
 191 Q. 12.
 192 Soit $a$ et $b$ des symboles de constante,
 193 $f$ un symbole de fonction unaire,
 194 $g$ un symbole de fonction binaire et
 195 $S$ un symbole de relation binaire.
 196 L'expression $g(a,f(b))$  contient quatre termes.
 197 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 198
 199 Q. 13.
 200 Soit la démonstration  syntaxique suivante:
 201 \begin{multicols}{2}
 202 \begin{center}
 203 \begin{tabular}{lll}
 204 \multicolumn{3}{l}{Démonstration sous hypothèses
 205 $\{\neg B \Rightarrow \neg A, A\}$}\\
 206 1.& $\neg B \Rightarrow \neg A$ &$H_1$ \\
 207 2.&$A$ &$H_2$ \\
 208 3.&\_\_\_\_\_ &\_\_\_\_\_ \\
 209 4.&\_\_\_\_\_ &\_\_\_\_\_ \\
 210 5.&$\neg\neg B$ &réduction de l'absurde entre 4. et 1. \\
 211 6.&$\neg \neg B \Rightarrow B$ &Axiome 9 ($B/P$).\\
 212 7.& $B$ &mp entre 5. et 6.\\
 213 Conclusion
 214 \end{tabular}
 215 \end{center}
 216 Si elle était complète cela permetrait
 217 démontrer syntaxiquement le théorème de la contraposée. Vrai ou faux ?
 218 \end{multicols}
 219
 220 Q. 14.
 221 Soit $a$ et $b$ des symboles de constante,
 222 $f$ un symbole de fonction unaire,
 223 $g$ un symbole de fonction binaire et
 224 $S$ un symbole de relation binaire.
 225 L'expression $S(f(a),g(x,f(y)))$ est un terme complexe. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 226
 227 Q. 15. On considère les prédicats et constantes suivants avec leur interprétation sur un univers constitué d'individus humains.
 228
 229 \begin{center}
 230 \begin{tabular}{|r|l|}
 231 \hline
 232  prédicat & sens \\
 233 \hline
 234 $\textit{aime}(x,y)$                 & $x$ aime $y$ \\
 235 $\textit{maries}(x,y)$                & $x$ et $y$ sont mariés  \\
 236 $\textit{femme}(x)$                  & $x$ est une femme \\
 237 $\textit{homme}(x)$                  & $x$ est un  homme \\
 238 $\textit{fidele}(x)$                 & $x$ est fidèle \\
 239 $\textit{honete}(x)$                 & $x$ dit la vérité \\
 240 $a$                                  & Alice \\
 241 $b$                                  & Bob \\
 242 $c$                                  & Clinton \\
 243 \hline
 244 \end{tabular}
 245 \end{center}
 246 \og L'époux qui aime son épouse lui est fidèle \fg peut se traduire en
 247 $
 248 \forall x,y \, . \,
 249 \textit{homme}(x) \land
 250 \textit{femme}(y) \land
 251 \textit{maries}(x,y) \land
 252 \textit{aime}(x,y) \land
 253 \textit{aime}(y,x).
 254 $
 255 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 256
 257 Q. 16.
 258 Soit $x$ et $y$ des entiers naturels.
 259 $\forall x \, .\, (\exists y \, .\, x +y \ge x +1 )$
 260 est vraie.
 261 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 262
 263 Q. 17.
 264 Soit \textit{dodec} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un dodécaèdre,
 265 \textit{cube} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un cube,
 266 \textit{petit} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est petit,
 267 \textit{entre} le prédicat ternaire qui est vrai si son premier paramètre est entre le second et le troisième
 268 et
 269 \textit{devant} le prédicat binaire qui est vrai si son premier paramètre est devant son second paramètre.
 270 Dans la formule suivante $y$ et $u$ ont des occurences libres
 271 $
 272 \forall x \, . \,
 273 \textit{dodec}(x) \lor  devant(x, y) \Rightarrow
 274 (
 275 (\exists y \, .\, cube(y) \land \neg devant(x, y))
 276 \land  entre(u,y,x).
 277 )
 278 $
 279 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 280
 281 Q. 18. La négation de
 282 $(\exists y \, . \, p(y) \land \neg q(y))$ est
 283 $(\forall y \, . \, \neg p(y) \lor  q(y))$.
 284 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 285
 286 Q. 19. Si j'étudie, je n'échoue pas en maths,
 287 si je ne joue pas au basket-ball, alors j'étudie,
 288 mais j'ai échoué en mathématiques.
 289 Donc, j'ai joué au basket-ball.
 290 Le raisonnement proposé est-il incorrect?
 291
 292 Q. 20.
 293 Soit $a$ et $b$ des symboles de constante,
 294 $f$ un symbole de fonction unaire,
 295 $g$ un symbole de fonction binaire et
 296 $S$ un symbole de relation binaire.
 297 L'expression $g(a,f(b))$
 298 contient 1 seul termeL'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 299
 300 Q. 21. La formule
 301 $\forall x \,.\, x > 0 \Rightarrow
 302   (\exists y \, . \, e^y = x)
 303 $
 304 est vraie sur l'univers $\mathds{N}$.
 305 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 306
 307 Q. 22.
 308 Soit \textit{dodec} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un dodécaèdre,
 309 \textit{cube} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un cube,
 310 \textit{petit} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est petit,
 311 \textit{entre} le prédicat ternaire qui est vrai si son premier paramètre est entre le second et le troisième
 312 et
 313 \textit{devant} le prédicat binaire qui est vrai si son premier paramètre est devant son second paramètre.
 314 Les formules
 315 $
 316 \exists x \, .\, dodec(x) \land petit(x)$ et
 317 $
 318 \exists x \, .\, dodec(x) \Rightarrow petit(x)
 319 $
 320 n'ont jamais la même valeur de vérité.
 321 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 322
 323 Q. 23. Si je travaille, je ne peux pas étudier;
 324 Soit je travaille, soit je suis reçu en mathématiques;
 325 j'ai été reçu en mathématiques.
 326 Donc j'ai étudié.
 327  Le raisonnement proposé est-il incorrect?
 328
 329 Q. 24. La formule
 330 $(\forall x\,.\, (\exists y\,.\, p(x) \land q(y))$ est équivalente à
 331 $(\exists y\,.\, (\forall x\,.\, p(x) \land q(y))$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 332
 333 Q. 25.
 334 Soit \textit{dodec} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un dodécaèdre,
 335 \textit{cube} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un cube,
 336 \textit{petit} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est petit,
 337 \textit{entre} le prédicat ternaire qui est vrai si son premier paramètre est entre le second et le troisième
 338 et
 339 \textit{devant} le prédicat binaire qui est vrai si son premier paramètre est devant son second paramètre.
 340 Dans la formule suivante toutes les occurences de $x$ sont liées.
 341 $
 342 \forall x \, . \,
 343 \textit{dodec}(x) \lor  devant(x, y) \Rightarrow
 344 (
 345 (\exists y \, .\, cube(y) \land \neg devant(x, y))
 346 \land  entre(u,y,x)
 347 )
 348 .$
 349 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 350
 351 Q. 26. Pour l'anniversaire de mon épouse, je lui offre des fleurs;
 352 soit il s'agit de l'anniversaire de mon épouse, soit je rentre tard;
 353 aujourd'hui, je n'apporte pas de fleurs à mon épouse.
 354 Donc aujourd'hui, je rentre tard.
 355  Le raisonnement proposé est-il correct?
 356
 357 Q. 27.
 358 En logique des propositions, $P$ se déduit syntaxiquement de
 359 $H_1$, \ldots, $H_n$ si et seulement si
 360 $P$ est une conséquence logique de $H_1$, \ldots, $H_n$.
 361 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 362
 363 Q. 28. On considère les prédicats et constantes suivants avec leur interprétation sur un univers constitué d'individus humains.
 364
 365 \begin{center}
 366 \begin{tabular}{|r|l|}
 367 \hline
 368  prédicat & sens \\
 369 \hline
 370 $\textit{aime}(x,y)$                 & $x$ aime $y$ \\
 371 $\textit{maries}(x,y)$                & $x$ et $y$ sont mariés  \\
 372 $\textit{femme}(x)$                  & $x$ est une femme \\
 373 $\textit{homme}(x)$                  & $x$ est un  homme \\
 374 $\textit{fidele}(x)$                 & $x$ est fidèle \\
 375 $\textit{honete}(x)$                 & $x$ dit la vérité \\
 376 $a$                                  & Alice \\
 377 $b$                                  & Bob \\
 378 $c$                                  & Clinton \\
 379 \hline
 380 \end{tabular}
 381 \end{center}
 382 \og Chaque époux aiment son épouse et réciproquement \fg peut se  traduire en
 383 $
 384 \forall x,y \, . \,
 385 (\textit{homme}(x) \land
 386 \textit{femme}(y) \land
 387 \textit{maries}(x,y)) \Rightarrow
 388 (\textit{aime}(x,y) \land
 389 \textit{aime}(y,x)).
 390 $
 391 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 392
 393
 394 Q. 29.
 395 Soit \textit{dodec} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un dodécaèdre,
 396 \textit{cube} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est un cube,
 397 \textit{petit} le prédicat unaire qui est vrai si son paramètre est petit,
 398 \textit{entre} le prédicat ternaire qui est vrai si son premier paramètre est entre le second et le troisième
 399 et
 400 \textit{devant} le prédicat binaire qui est vrai si son premier paramètre est devant son second paramètre.
 401 \og si un cube a quelque chose devant lui alors il est petit \fg{} peut-elle se traduire en
 402 $
 403 \forall x\, .\,
 404 ( \exists y \, . \, cube(x) \land devant(x,y))
 405 \Rightarrow
 406 petit(x)
 407 .$
 408 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 409
 410 Q. 30.
 411 Dans la formule
 412 $(\forall x \, . \, x \ge 5) \land (\exists y \, . \, y \ge x)$
 413 toutes les coccurences de la variable $x$ sont liées.
 414 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 415
 416 Q. 31.
 417 Soit $x$ et $y$ des entiers naturels.
 418 $\exists x \, .\, ( \forall y \, . \,  y  \neq x \Rightarrow  x  <1 )$
 419 est vraie.
 420 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 421
 422 Q. 32.
 423 En logique des propositions,
 424 il est possible de déduire que $P$ est vraie chaque fois que
 425 $H_1$, \ldots, $H_n$ le sont par la méthode des tables de vérités sans
 426 qu'il n'existe nécessairement de démonstration syntaxique permettant
 427 d'établir $P$ à partir des hypothèses $H_1$, \ldots, $H_n$.
 428 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 429
 430 Q. 33. On considère les prédicats et constantes suivants avec leur interprétation sur un univers constitué d'individus humains.
 431
 432
 433 \begin{center}
 434 \begin{tabular}{|r|l|}
 435 \hline
 436  prédicat & sens \\
 437 \hline
 438 $\textit{aime}(x,y)$                 & $x$ aime $y$ \\
 439 $\textit{maries}(x,y)$                & $x$ et $y$ sont mariés  \\
 440 $\textit{femme}(x)$                  & $x$ est une femme \\
 441 $\textit{homme}(x)$                  & $x$ est un  homme \\
 442 $\textit{fidele}(x)$                 & $x$ est fidèle \\
 443 $\textit{honete}(x)$                 & $x$ dit la vérité \\
 444 $a$                                  & Alice \\
 445 $b$                                  & Bob \\
 446 $c$                                  & Clinton \\
 447 \hline
 448 \end{tabular}
 449 \end{center}
 450 \og Les femmes aiment toujours les hommes fidèles et qui dis.nt la vérité \fg peut se traduire en
 451 $
 452 \forall x,y \, . \,
 453 (\textit{homme}(x) \land
 454 \textit{femme}(y) \land
 455 \textit{fidele}(x) \land
 456 \textit{honete}(x)
 457 ) \Rightarrow
 458 \textit{aime}(y,x).
 459 $
 460 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 461
 462 Q. 34. La négation de
 463 $(\exists y \, . \, p(y) \land \neg q(y))$ est
 464 $(\forall y \, . \, p(y) \Rightarrow  q(y))$.
 465 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 466
 467 Q. 35. Soit la démonstration  syntaxique suivante:
 468
 469 \begin{tabular}{lll}
 470 \multicolumn{3}{l}{Démonstration sous hypothèses
 471 $\{\neg B \Rightarrow \neg A, A\}$}\\
 472 1.&$\neg B \Rightarrow \neg A$ &$H_1$ \\
 473 2.&$A$ &$H_2$ \\
 474 3.&\_\_\_\_\_ &\_\_\_\_\_ \\
 475 4.&\_\_\_\_\_ &\_\_\_\_\_ \\
 476 5.&$\neg\neg B$ &réduction de l'absurde entre 4. et 1. \\
 477 6.&$\neg \neg B \Rightarrow B $&Axiome 9 ($B/P$).\\
 478 7.& $B$ &mp entre 5. et 6.\\
 479 Conclusion
 480 \end{tabular}
 481
 482 La démonstration est correcte si en 3. et 4. on a: \newline
 483 \begin{tabular}{lll}
 484 3.& $(\neg B \Rightarrow \neg A )\Rightarrow (\neg \neg A \Rightarrow  \neg \neg B) $ &théoreme de la contraposée ($\neg B/P, \neg A /Q$). \\
 485 4.&$\neg \neg A \Rightarrow A $ &Axiome 9 ($A/P $).
 486 \end{tabular}
 487
 488
 489 Q. 36. Dans la formule
 490 $(\forall x\,.\, p(x) \Rightarrow q(x)) \land r(y)$, la variable
 491 $x$ admet une occurence libre. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 492
 493 Q. 37. La relation $\{P,Q\} \vdash R$    se lit-elle
 494 \og $R$ est une conséquence logique de l'ensemble
 495                      $\{P,Q\}$ \fg{}?
 496
 497 Q. 38. La négation de
 498 $(\forall x \, . \, p(x) \Rightarrow q(x))$ est
 499 $\exists x \, . \, \neg p(x) \Rightarrow  q(x)$.
 500 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 501
 502 \section{Problèmes}
 503 \subsection{Du $\forall$ à $\exists$}
 504 \begin{enumerate}
 505 \item En calcul propositionnel, montrer que
 506 $\{\neg p \lor q \} \models p \Rightarrow q $ et
 507 $\{p \Rightarrow q \} \models \neg p \lor q  $.
 508 \item Exprimer la négation de $\forall x \,.\, r(x)$.
 509 \item Montrer que $ (\forall x\, . \, r(x)) \Rightarrow q(y)$ est
 510 équivalent à $ \exists  x \, . \, \neg r(x) \lor q(y)$.
 511 \end{enumerate}
 512 \subsection{Démonstration syntaxique}
 513
 514 Dans le système \og PR \fg{} et en se servant éventuellement des théorèmes
 515 déjà démontrés dans le cours, démontrer syntaxiquement
 516 les deux formules propositionnelles suivantes:
 517 \begin{enumerate}
 518 \item
 519 $
 520 \left(
 521   A \Rightarrow
 522   \left(
 523     B \Rightarrow
 524     (C \land D)
 525   \right)
 526 \right)
 527 \Rightarrow
 528 \left(
 529   (A \land B)
 530   \Rightarrow
 531   (C \lor D)
 532 \right)
 533 $
 534
 535
 536
 537 \item $((A \Rightarrow C) \land (B \Rightarrow D)) \Rightarrow
 538   ((A \lor B) \Rightarrow (C \lor D))$
 539 \end{enumerate}
 540
 541
 542 \section*{Annexes : Axiomes de PR}
 543
 544 \begin{itemize}\item Axiome 1 : $P\imp (Q\imp P)$
 545 \item Axiome 2 : $(P\imp Q)\imp((P\imp(Q\imp R))\imp (P\imp R))$
 546 \item Axiome 3 : $P\imp(Q\imp P\et Q)$
 547 \item Axiome 4 : $P\et Q\imp P$
 548 \item Axiome 5 : $P\et Q\imp Q$
 549 \item Axiome 6 : $P\imp P\ou Q$
 550 \item Axiome 7 : $Q\imp P\ou Q$
 551 \item Axiome 8: $(P\imp R)\imp((Q\imp R) \imp(P\ou Q\imp R))$
 552 \item Axiome 9: $\non\non P\imp P$
 553 \item Axiome 10: $(P\imp Q)\imp((P\imp\non Q)\Rightarrow \neg P)$
 554 \item Axiome 11 : $(P\imp Q)\imp((Q\imp P)\imp(P\eqv Q))$
 555 \item Axiome 12 : $(P\eqv Q)\imp(P\imp Q)$
 556 \item Axiome 13 : $(P\eqv Q)\imp(Q\imp P)$
 557 \end{itemize}
 558
 559
 560 \newpage
 561
 562 \begin{huge}
 563 \begin{center}
 564 \begin{tabular}{|l|c|c||l|c|c||l|c|c|}
 565 \hline
 566 Numéro & V & F & Numéro & V & F & Numéro & V & F \\
 567 \hline
 568 Q. 1 & &  & Q. 2 & &  & Q. 3 & &  \\
 569 \hline
 570 Q. 4 & &  & Q. 5 & &  & Q. 6 & &  \\
 571 \hline
 572 Q. 7 & &  & Q. 8 & &  & Q. 9 & &  \\
 573 \hline
 574 Q. 10 & &  & Q. 11 & &  & Q. 12 & &  \\
 575 \hline
 576 Q. 13 & &  & Q. 14 & &  & Q. 15 & &  \\
 577 \hline
 578 Q. 16 & &  & Q. 17 & &  & Q. 18 & &  \\
 579 \hline
 580 Q. 19 & &  & Q. 20 & &  & Q. 21 & &  \\
 581 \hline
 582 Q. 22 & &  & Q. 23 & &  & Q. 24 & &  \\
 583 \hline
 584 Q. 25 & &  & Q. 26 & &  & Q. 27 & &  \\
 585 \hline
 586 Q. 28 & &  & Q. 29 & &  & Q. 30 & &  \\
 587 \hline
 588 Q. 31 & &  & Q. 32 & &  & Q. 33 & &  \\
 589 \hline
 590 Q. 34 & &  & Q. 35 & &  & Q. 36 & &  \\
 591 \hline
 592 Q. 37 & &  & Q. 38 & &  &  & &  \\
 593 \hline
 594 \end{tabular}
 595 \end{center}
 596 \end{huge}
 597
 598
 599
 600
 601
 602 \end{document}