ensembles/IntroAuxEnsembles13.tex

   1 \section{Des Définitions}
   2
   3 \subsection{Notion première d'ensemble}
   4
   5 \begin{description}
   6  \item[Ensemble]\index{ensemble} Un ensemble est une collection
   7    d'objets distincts réunis en vertu d'une propriété commune.
   8
   9 On peut définir un ensemble de deux manières :
  10 \begin{itemize}
  11  \item \emph{en extension} : on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent,
  12  \item \emph{en compréhension} : en donnant la propriété que doivent posséder les éléments de l'ensemble.
  13 \end{itemize}
  14 \end{description}
  15
  16 \begin{Notation}
  17 On note $\N_n$ l'ensemble des entiers inférieurs ou égaux à $n$.
  18 \end{Notation}
  19
  20 \begin{Exo}
  21 \begin{enumerate}
  22 \item Définir les ensembles suivants en compréhension:
  23 \begin{enumerate}
  24 \item A = \{1,2,4,8,16,32,64\};
  25 \item B = \{1,2,7,14\}.
  26 \end{enumerate}
  27 \item Définir les ensembles suivants en extension:
  28 \begin{enumerate}
  29 \item $A = \{ x \in \R | x(x+5) = 14 \}$;
  30 \item $C = \{ x \in \N_{10}^* | x^4 -1 \textrm{ est divisible par 5 } \}$.
  31 \end{enumerate}
  32 \end{enumerate}
  33 \end{Exo}
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  36 \subsection{Règles de fonctionnement}
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  39  \paragraph{Relation d'appartenance.} \index{appartenance} On admet être capable de décider si un objet est ou non élément d'un ensemble. Le fait que l'élément $x$ appartienne à l'ensemble $X$ se note : $x \in X$.
  40
  41 \paragraph{Objets distincts.} On admet aussi être capable de distinguer entre eux les éléments d'un ensemble. En particulier, un ensemble ne peut pas contenir deux fois le même objet.
  42
  43 \paragraph{Ensemble vide.}\index{ensemble!vide} Il existe un ensemble ne contenant aucun élément, appelé ensemble vide: $\varnothing$.
  44 L'ensemble vide ne correspond pas à rien ; c'est en fait un ensemble qui ne contient rien, mais en tant qu'ensemble il n'est pas rien : un sac vide est vide, mais le sac en lui même existe.
  45
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  47 \paragraph{Dernière règle de fonctionnement des ensembles.}Un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même.
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  49
  50
  51 \subsection{Sous-ensembles, ensemble des parties}
  52
  53 Les sous-ensembles sont définis par la relation d'inclusion\index{inclusion}.
  54
  55 \begin{Def}
  56 $A$ est un sous-ensemble de $B$ ($A \subset B$)\fg{} si et seulement si tout élément de $A$ appartient à $B$. On dit aussi que $A$ est une partie de $B$.
  57 \end{Def}
  58
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  60 \begin{Th}
  61 L'ensemble vide est inclus dans n'importe quel ensemble.
  62 \end{Th}
  63
  64 \begin{Proof}
  65 Raisonnons par l'absurde:
  66 si l'ensemble vide n'est pas inclus dans $A$,
  67 alors il existe au moins un élément de l'ensemble vide qui n'appartient pas à $A$.
  68 Ceci est absurde puisque l'ensemble vide est vide.
  69 \end{Proof}
  70
  71
  72 \begin{Th}
  73 Tout ensemble est inclus dans lui-même.
  74 \end{Th}
  75
  76
  77 \begin{Def}
  78 Soit $A$ un ensemble. L'ensemble des parties de $A$, noté $\mathcal{P}(A)$, est l'ensemble de tous les sous-ensembles de $A$.
  79 \end{Def}
  80
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  82
  83 \begin{Th}
  84 Pour tout ensemble $A$, on a $\varnothing\in \mathcal{P}(A)$ et
  85 $A \in \mathcal{P}(A)$.
  86 \end{Th}
  87
  88
  89 \begin{Ex}
  90  Si $A = \{ 1, 2, 3\}$, alors  $\mathcal{P}(A) = \{ \varnothing , \{1 \},\{2 \}, \{3 \},  \{1,2 \}, \{1,3 \}, \{2,3 \}, \{1,2,3 \} \}$.
  91 \end{Ex}
  92
  93
  94 \begin{Exo}
  95 Justifier le fait que le nombre d'éléments de $\mathcal{P}(A)$ est égal à $2^n$, où $n$ représente le nombre d'éléments de $A$.
  96 \end{Exo}
  97
  98
  99 \begin{Exo}
 100 On considère A = \{1,2\}. Dire quelles assertions sont exactes :
 101 \begin{enumerate}
 102 \item $1 \in A$,
 103 \item $1 \subset A$,
 104 \item $\{1\} \in A$,
 105 \item $\{1\} \subset A$,
 106 \item $\varnothing \in A$,
 107 \item $\varnothing \subset A$.
 108 \end{enumerate}
 109 \end{Exo}
 110
 111 \begin{Exo}
 112 Reprendre l'exercice précédent, avec $A = \{\{1\}, \{2\}\}$.
 113 \end{Exo}
 114
 115
 116
 117
 118 \begin{Exo}
 119 Est-ce que $\{a\} \in \{a,b,c\}$ ? Former la liste des parties de $\{a,b,c\}$.
 120 \end{Exo}
 121
 122
 123 \begin{Exo}
 124  Montrer que $\mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B)$ quand $A \subset B$.
 125 \end{Exo}
 126
 127
 128 \section{Opérations sur les ensembles}
 129
 130 \subsection{\'Egalite de deux ensembles}
 131
 132 \begin{Def}
 133 Deux ensembles sont \emph{égaux} si et seulement si ils ont les mêmes éléments.
 134 \end{Def}
 135
 136
 137
 138 $ A = B\Longleftrightarrow A \subset B \land B \subset A$.
 139
 140 \begin{Exo}
 141 Dans chacun des cas suivants, déterminer si les ensembles sont égaux :
 142 \begin{enumerate}
 143  \item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \geqslant |x| \}$;
 144 \item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \leqslant |x| \}$;
 145 \item $A = \Z$ et $B = \{ x \in \Z | x^2-x \textrm{ pair } \}$;
 146 on pourra réfléchir sur la parité de $x^2-x$.
 147 \end{enumerate}
 148 \end{Exo}
 149
 150 \subsection{Réunion, intersection}
 151
 152 \begin{Def}[Reunion]\index{réunion}
 153 La \emph{réunion} des deux ensembles $A$ et  $B$, notée $A \cup B$ est
 154 l'ensemble des éléments qui sont éléments de $A$ ou de $B$.
 155 \end{Def}
 156 \begin{Ex}
 157  $A = \{1,2,3\}, B = \{1,4,5\}, \text{ alors } A \cup B = \{ 1,2,3,4,5\}$
 158 \end{Ex}
 159
 160
 161 \begin{Def}[Intersection]\index{réunion}
 162 L'\emph{intersection} des deux ensembles $A$ et  $B$, notée $A \cap B$,
 163 est l'ensemble des éléments communs à $A$ et à $B$.
 164 \end{Def}
 165
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 167
 168
 169
 170
 171
 172 \begin{Th}[Propriétés de la réunion et de l'intersection]
 173 La réunion de deux ensembles possède certaines propriétés :
 174 \begin{itemize}
 175  \item idempotence : $A \cup A = A$ et $A \cap A = A$;
 176  \item commutativité : $A \cup B = B \cup A $ et $A \cap B = B \cap A$;
 177  \item associativité : $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$ et $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$;
 178  \item éléments neutres : $A \cup \varnothing = A$ et $A \cap \Omega = A$.
 179 \end{itemize}
 180 \end{Th}
 181
 182 \begin{Exo}
 183 \item Construire la réunion puis l'intersection des ensembles $A = \{x \in \R | 0 \leqslant x \leqslant 3 \}$, $B = \{ x \in \R | -2 < x \leqslant 1 \}$.
 184 \end{Exo}
 185
 186 \begin{Exo}
 187 Construire la réunion des ensembles $A$ et $B$
 188 définis par
 189 $$A = \{x \in \N | x \textrm{ est impair } \} \textrm{ et }
 190 B = \{ x \in \N | x \textrm{  n'est pas divisible par 3 } \}.$$
 191 \end{Exo}
 192
 193
 194 \begin{Th}[Distributivités de $\cup$ et $\cap$]
 195 On a les distributivités suivantes:
 196 \begin{itemize}
 197  \item de $\cup$ sur $\cap$ : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
 198 \item de $\cap$ sur $\cup$ : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
 199 \end{itemize}
 200 \end{Th}
 201
 202 \begin{Exo}
 203  On se donne trois ensembles $A, B, C$ tels que $A \cap B \cap C = \varnothing $. Sont-ils nécessairement disjoints deux à deux ? Donner des exemples.
 204 \end{Exo}
 205
 206
 207 \subsection{Complémentation}
 208
 209 \begin{Def}[Complémentation]
 210 Pour $A \subset E$, on définit le \emph{complémentaire}\index{ensemble!complémentaire}\index{complémentation} de $A$ par rapport à $E$ comme l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas éléments de $A$. On note le complémentaire de $A$ dans $E$ : $E \setminus A$ (\og $E$ moins $A$ \fg{}) ou $\bar A$ quand ce n'est pas ambiguë.
 211 \end{Def}
 212
 213
 214
 215 \begin{Th}
 216 La complémentation a plusieurs propriétés remarquables :
 217  \begin{itemize}
 218  \item involution\index{involution} : $\bar{\bar{A}} = A$,
 219  \item loi de De Morgan\index{loi de De Morgan}  : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$, et $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$.
 220 \end{itemize}
 221 \end{Th}
 222
 223
 224
 225 \begin{Exo}
 226 Pour deux ensembles $A$ et $B$ inclus dans $E$,
 227 on appelle différence symétrique, note $A\Delta B$,
 228 l'ensemble constitué des éléments de $E$ qui appartiennent soit à $A$,
 229 soit à $B$, mais pas aux deux.
 230 \begin{enumerate}
 231 \item Montrez que $A\Delta B = (A\inter \overline{B})\union(\overline{A} \inter B)$.
 232 \item Simplifier les expressions $A \Delta A$, $A \Delta \overline{A}$, $A \Delta E$ et $\overline{A\triangle B}$.
 233 \item Montrer que, si $A\triangle B=C$, alors $A\triangle C=B$ et $B\triangle C=A$.
 234 \item Montrer que si $A \Delta B = A \Delta C$ alors $B = C$.
 235 \end{enumerate}
 236 \end{Exo}
 237
 238
 239 \subsection{Produit cartésien}
 240
 241 Le produit cartésien des ensembles $A$ et $B$ (dans cet ordre) est l'ensemble, que l'on note $A \times B$ (\og $A$ croix $B$ \fg{}) des couples ordonnés $(a,b)$ où $a \in A$ et $b \in B$. Dans le couple $(a,b)$:
 242 \begin{itemize}
 243 \item $(a,b)$ n'est pas un ensemble et
 244 \item $(a,b)$ est distinct de $(b,a)$.
 245 \end{itemize}
 246
 247
 248
 249
 250 \begin{Exo}
 251 Énumérez les éléments de $\{a,b,c\}\times\{1,2\}$ .
 252 Combien y en a-t-il?
 253 \end{Exo}
 254
 255
 256
 257
 258 \section{Exercices supplémentaires}
 259
 260 \begin{Exo}
 261 Soit $E$ un ensemble non vide et $A$, $B$, $C$, $X$, $Y$ des parties de $E$.
 262 \begin{enumerate}
 263 \item Montrer que si on a $(X\inter A=X\inter B)$ et $Y\sse X$ sont
 264 alors on a $ Y\inter A=Y\inter B$.
 265  \item  Montrer que si on a
 266    $(A\union C)\sse(A\union B)$ et $(A\inter C)\sse(A\inter B)$
 267    alors  on a  $C\sse B$.
 268
 269 \item  Montrer que si on a
 270 $ A\sse (B\inter C) $ et $(B\union C)\sse A $
 271 alors on a
 272 $ A=B=C$.
 273
 274  \end{enumerate}
 275 \end{Exo}
 276
 277
 278
 279
 280 \begin{Exo}
 281 Soit $E$ un ensemble non vide et ${\cal P}(E)$ l'ensemble de ses parties.
 282
 283 Soit $f$ une application croissante, pour l'inclusion, de ${\cal P}(E)$ dans lui-même (c'est-à-dire : si $X$ et $Y$ sont deux parties de $E$ et si $X \sse Y$, alors $f(X) \sse f(Y)$).
 284 \begin{enumerate}
 285 \item Montrer que, pour tout couple $(X,Y)$ de parties de $E$, on a: $f(X) \union
 286 f(Y) \sse f(X \union Y)$.
 287
 288 \item On dit qu'une partie $X$ de $E$ est régulière si et seulement si $f(X) \sse X$. Montrer qu'il existe au moins une partie
 289 régulière dans $E$ et que, si $X$ est régulière, il en est de même de $f(X)$.
 290
 291 \item Soit $A$ l'intersection de toutes les parties régulières de $E$. Montrer que $A$ est régulière et que $f(A) = A$.
 292 \end{enumerate}
 293 \end{Exo}
 294
 295
 296
 297
 298
 299
 300
 301
 302
 303 \begin{Exo}[Fonction caractéristique des parties d'un ensemble]
 304 On appelle fonction caractéristique de la partie $A$ de l'ensemble $E$ $(E\neq\vide$, $A\neq\vide$, $A\sse E$) l'application $f_A:E\rightarrow\{0,1\}$, définie par:
 305 \begin{itemize}
 306 \item $\qqs x\in A,\ f_A(x) = 1$;
 307 \item $\qqs x \in E\moins A,\ f_A(x) = 0$.
 308 \end{itemize}
 309
 310 On pose de plus  $\qqs x\in E, f_{\vide}(x) = 0$ et $f_E(x)=1$.
 311
 312 Étudier les fonctions caractéristiques d'une réunion, d'une intersection de deux parties, ainsi que celle du
 313 complémentaire d'une partie.
 314 \end{Exo}
 315
 316
 317
 318
 319 \gsaut
 320 \centerline{\x{Fin du Chapitre}}
 321