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[cours-maths-dis.git] / main13.thm

\contentsline {Def}{{Définition}{1.{1}}{Algèbre de Boole}}{4}{Def.1.1}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{1.{1}}{}}{4}{Rem.1.1}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{1}}{Somme disjonctive}}{4}{Exo.1.1}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{2}}{Opérateurs de Sheffer et de Peirce}}{4}{Exo.1.2}
\contentsline {Th}{{Propriété}{1.{1}}{Suppression de redondance}}{5}{Th.1.1}
\contentsline {Proof}{{Preuve}{1.{$\alpha $}}{}}{5}{Proof.1.1}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{1.{3}}{}}{5}{Exo.1.3}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{4}}{}}{5}{Exo.1.4}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{5}}{Calcul booléen élémentaire}}{5}{Exo.1.5}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{6}}{Calcul booléen}}{5}{Exo.1.6}
\contentsline {Def}{{Définition}{1.{2}}{Fonction booléenne}}{5}{Def.1.2}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{1.{7}}{}}{6}{Exo.1.7}
\contentsline {Def}{{Définition}{1.{3}}{Aspect d'une variable}}{6}{Def.1.3}
\contentsline {Def}{{Définition}{1.{4}}{Fonction booléenne nulle}}{6}{Def.1.4}
\contentsline {Def}{{Définition}{1.{5}}{Fonction référentiel}}{6}{Def.1.5}
\contentsline {Def}{{Définition}{1.{6}}{Minterme, maxterme}}{6}{Def.1.6}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{1.{8}}{Minterme à trois variables}}{6}{Exo.1.8}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{1.{9}}{Maxterme à trois variables}}{6}{Exo.1.9}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{10}}{}}{6}{Exo.1.10}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{11}}{}}{6}{Exo.1.11}
\contentsline {Th}{{Propriété}{1.{2}}{Nombre de mintermes et de maxtermes}}{6}{Th.1.2}
\contentsline {Def}{{Définition}{1.{7}}{Monômes}}{6}{Def.1.7}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{12}}{}}{6}{Exo.1.12}
\contentsline {Th}{{Propriété}{1.{3}}{}}{6}{Th.1.3}
\contentsline {Proof}{{Preuve}{1.{$\beta $}}{}}{6}{Proof.1.2}
\contentsline {Th}{{Propriété}{1.{4}}{}}{6}{Th.1.4}
\contentsline {Proof}{{Preuve}{1.{$\gamma $}}{}}{7}{Proof.1.3}
\contentsline {Th}{{Propriété}{1.{5}}{Forme canonique disjonctive}}{7}{Th.1.5}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{1.{2}}{}}{7}{Rem.1.2}
\contentsline {Th}{{Propriété}{1.{6}}{Forme canonique conjonctive}}{7}{Th.1.6}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{1.{13}}{}}{7}{Exo.1.13}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{1.{14}}{}}{7}{Exo.1.14}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{1.{3}}{}}{7}{Rem.1.3}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{15}}{}}{7}{Exo.1.15}
\contentsline {Exoc}{{Exercice (corrigé)}{1.{16}}{}}{8}{Exo.1.16}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{17}}{Fonctions booléennes}}{9}{Exo.1.17}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{18}}{}}{9}{Exo.1.18}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{19}}{Application de la méthode de Karnaugh}}{9}{Exo.1.19}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{20}}{Composition de la méthode de Karnaugh}}{9}{Exo.1.20}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{21}}{BTS-2009}}{9}{Exo.1.21}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{1.{22}}{BTS-2002}}{9}{Exo.1.22}
\contentsline {Def}{{Définition}{2.{1}}{Proposition}}{11}{Def.2.1}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{1}}{}}{11}{Exo.2.1}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{2.{1}}{}}{12}{Rem.2.1}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{2}}{}}{12}{Exo.2.2}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{3}}{}}{12}{Exo.2.3}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{4}}{}}{12}{Exo.2.4}
\contentsline {Th}{{Propriété}{2.{1}}{}}{12}{Th.2.1}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{5}}{}}{12}{Exo.2.5}
\contentsline {Th}{{Propriété}{2.{2}}{}}{13}{Th.2.2}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{2.{2}}{}}{13}{Rem.2.2}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{6}}{}}{13}{Exo.2.6}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{7}}{}}{13}{Exo.2.7}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{8}}{}}{13}{Exo.2.8}
\contentsline {Th}{{Propriété}{2.{3}}{Règles de priorité des connecteurs logiques}}{13}{Th.2.3}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{9}}{}}{14}{Exo.2.9}
\contentsline {Th}{{Propriété}{2.{4}}{Associativité des opérateurs $\ou $ et $\et $}}{14}{Th.2.4}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{10}}{}}{14}{Exo.2.10}
\contentsline {Def}{{Définition}{2.{2}}{Fonction de vérité de $F$}}{14}{Def.2.2}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{11}}{}}{14}{Exo.2.11}
\contentsline {Def}{{Définition}{2.{3}}{Tautologie}}{15}{Def.2.3}
\contentsline {Notation}{{Notation}{2.{1}}{}}{15}{Notation.2.1}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{12}}{}}{15}{Exo.2.12}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{13}}{}}{15}{Exo.2.13}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{14}}{}}{15}{Exo.2.14}
\contentsline {Def}{{Définition}{2.{4}}{Antilogie}}{15}{Def.2.4}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{15}}{}}{15}{Exo.2.15}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{16}}{}}{15}{Exo.2.16}
\contentsline {Def}{{Définition}{2.{5}}{Conséquence logique}}{15}{Def.2.5}
\contentsline {Notation}{{Notation}{2.{2}}{}}{15}{Notation.2.2}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{17}}{}}{16}{Exo.2.17}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{18}}{}}{16}{Exo.2.18}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{19}}{}}{16}{Exo.2.19}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{20}}{}}{16}{Exo.2.20}
\contentsline {Def}{{Définition}{2.{6}}{Formules équivalentes}}{16}{Def.2.6}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{2.{3}}{}}{16}{Rem.2.3}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{21}}{}}{16}{Exo.2.21}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{22}}{}}{17}{Exo.2.22}
\contentsline {Th}{{Propriété}{2.{5}}{Théorème de la validité}}{17}{Th.2.5}
\contentsline {Proof}{{Preuve}{2.{$\alpha $}}{}}{17}{Proof.2.1}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{2.{23}}{Exemple d'application}}{17}{Exo.2.23}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{24}}{}}{18}{Exo.2.24}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{25}}{}}{18}{Exo.2.25}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{26}}{}}{18}{Exo.2.26}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{27}}{}}{18}{Exo.2.27}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{2.{28}}{}}{18}{Exo.2.28}
\contentsline {Notation}{{Notation}{3.{1}}{}}{20}{Notation.3.1}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{1}}{}}{20}{Exo.3.1}
\contentsline {Def}{{Définition}{3.{1}}{}}{20}{Def.3.1}
\contentsline {Th}{{Propriété}{3.{1}}{}}{20}{Th.3.1}
\contentsline {Proof}{{Preuve}{3.{$\alpha $}}{}}{21}{Proof.3.1}
\contentsline {Th}{{Propriété}{3.{2}}{}}{21}{Th.3.2}
\contentsline {Def}{{Définition}{3.{2}}{}}{21}{Def.3.2}
\contentsline {Th}{{Propriété}{3.{3}}{}}{21}{Th.3.3}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{3.{2}}{}}{21}{Exo.3.2}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{3}}{}}{21}{Exo.3.3}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{4}}{}}{21}{Exo.3.4}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{5}}{}}{21}{Exo.3.5}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{6}}{}}{21}{Exo.3.6}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{7}}{}}{21}{Exo.3.7}
\contentsline {Def}{{Définition}{3.{3}}{}}{21}{Def.3.3}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{8}}{}}{21}{Exo.3.8}
\contentsline {Def}{{Définition}{3.{4}}{Reunion}}{21}{Def.3.4}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{3.{9}}{}}{21}{Exo.3.9}
\contentsline {Def}{{Définition}{3.{5}}{Intersection}}{21}{Def.3.5}
\contentsline {Th}{{Propriété}{3.{4}}{Propriétés de la réunion et de l'intersection}}{22}{Th.3.4}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{10}}{}}{22}{Exo.3.10}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{11}}{}}{22}{Exo.3.11}
\contentsline {Th}{{Propriété}{3.{5}}{Distributivités de $\cup $ et $\cap $}}{22}{Th.3.5}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{12}}{}}{22}{Exo.3.12}
\contentsline {Def}{{Définition}{3.{6}}{Complémentation}}{22}{Def.3.6}
\contentsline {Th}{{Propriété}{3.{6}}{}}{22}{Th.3.6}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{13}}{}}{22}{Exo.3.13}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{14}}{}}{22}{Exo.3.14}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{15}}{}}{23}{Exo.3.15}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{16}}{}}{23}{Exo.3.16}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{3.{17}}{Fonction caractéristique des parties d'un ensemble}}{23}{Exo.3.17}
\contentsline {Def}{{Définition}{4.{1}}{Relation binaire}}{24}{Def.4.1}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{1}}{}}{24}{Exo.4.1}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{4.{1}}{}}{24}{Rem.4.1}
\contentsline {Def}{{Définition}{4.{2}}{Réflexivité}}{24}{Def.4.2}
\contentsline {Def}{{Définition}{4.{3}}{Antisymétrie}}{24}{Def.4.3}
\contentsline {Def}{{Définition}{4.{4}}{Transitivité}}{24}{Def.4.4}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{2}}{}}{24}{Exo.4.2}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{3}}{}}{24}{Exo.4.3}
\contentsline {Def}{{Définition}{4.{5}}{Relation d'ordre}}{25}{Def.4.5}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{4}}{}}{25}{Exo.4.4}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{5}}{Relation de divisibilité}}{25}{Exo.4.5}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{6}}{}}{25}{Exo.4.6}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{7}}{Diagrammes de transitivité}}{25}{Exo.4.7}
\contentsline {Def}{{Définition}{4.{6}}{Relation symétrique}}{25}{Def.4.6}
\contentsline {Def}{{Définition}{4.{7}}{Relation d'équivalence}}{25}{Def.4.7}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{8}}{}}{25}{Exo.4.8}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{9}}{Relation de congruence modulo $n$ dans $\Z $}}{25}{Exo.4.9}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{10}}{}}{25}{Exo.4.10}
\contentsline {Def}{{Définition}{4.{8}}{Classe d'équivalence}}{26}{Def.4.8}
\contentsline {Notation}{{Notation}{4.{1}}{}}{26}{Notation.4.1}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{11}}{}}{26}{Exo.4.11}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{12}}{}}{26}{Exo.4.12}
\contentsline {Th}{{Propriété}{4.{1}}{}}{26}{Th.4.1}
\contentsline {Pre}{{Preuve}{1}{}}{26}{Pre.1}
\contentsline {Def}{{Définition}{4.{9}}{Partition d'un ensemble}}{26}{Def.4.9}
\contentsline {Th}{{Propriété}{4.{2}}{}}{26}{Th.4.2}
\contentsline {Pre}{{Preuve}{2}{}}{26}{Pre.2}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{4.{13}}{}}{26}{Exo.4.13}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{14}}{}}{26}{Exo.4.14}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{4.{15}}{}}{26}{Exo.4.15}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{1}}{}}{28}{Exo.5.1}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{2}}{}}{28}{Exo.5.2}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{3}}{}}{28}{Exo.5.3}
\contentsline {Def}{{Définition}{5.{1}}{Multiple, diviseur}}{28}{Def.5.1}
\contentsline {Def}{{Définition}{5.{2}}{Nombre premier}}{28}{Def.5.2}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{5.{1}}{}}{28}{Rem.5.1}
\contentsline {Def}{{Définition}{5.{3}}{Décomposition en facteurs premiers}}{28}{Def.5.3}
\contentsline {Th}{{Propriété}{5.{1}}{}}{28}{Th.5.1}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{4}}{}}{29}{Exo.5.4}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{5}}{}}{29}{Exo.5.5}
\contentsline {Th}{{Propriété}{5.{2}}{}}{29}{Th.5.2}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{6}}{Nombres premiers en quantité infinie}}{29}{Exo.5.6}
\contentsline {Def}{{Définition}{5.{4}}{PGCD, PPCM}}{29}{Def.5.4}
\contentsline {Def}{{Définition}{5.{5}}{Nombres premiers entre eux}}{29}{Def.5.5}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{7}}{Nombres de Fermat}}{29}{Exo.5.7}
\contentsline {Th}{{Propriété}{5.{3}}{}}{29}{Th.5.3}
\contentsline {Def}{{Définition}{5.{6}}{Division euclidienne}}{29}{Def.5.6}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{5.{8}}{}}{29}{Exo.5.8}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{5.{9}}{}}{29}{Exo.5.9}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{10}}{}}{29}{Exo.5.10}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{11}}{Numéro Sécurité Sociale (\url {www.bibmath.net})}}{30}{Exo.5.11}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{12}}{}}{30}{Exo.5.12}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{5.{2}}{}}{31}{Rem.5.2}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{13}}{}}{31}{Exo.5.13}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{14}}{}}{31}{Exo.5.14}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{15}}{}}{31}{Exo.5.15}
\contentsline {Th}{{Propriété}{5.{4}}{Théorème de Bézout}}{31}{Th.5.4}
\contentsline {Proof}{{Preuve}{5.{$\alpha $}}{}}{31}{Proof.5.1}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{5.{3}}{}}{31}{Rem.5.3}
\contentsline {Proof}{{Preuve}{5.{$\beta $}}{}}{31}{Proof.5.2}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{16}}{Application de l'algorithme d'Euclide et de Bézout}}{31}{Exo.5.16}
\contentsline {Pre}{{Preuve}{3}{}}{32}{Pre.3}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{5.{17}}{}}{32}{Exo.5.17}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{5.{4}}{}}{32}{Rem.5.4}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{18}}{}}{32}{Exo.5.18}
\contentsline {Th}{{Propriété}{5.{5}}{Théorème de Gauss}}{32}{Th.5.5}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{19}}{}}{33}{Exo.5.19}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{20}}{}}{33}{Exo.5.20}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{21}}{}}{33}{Exo.5.21}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{22}}{}}{33}{Exo.5.22}
\contentsline {Def}{{Définition}{5.{7}}{Congruence modulo $n$}}{33}{Def.5.7}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{23}}{}}{33}{Exo.5.23}
\contentsline {Th}{{Propriété}{5.{6}}{}}{33}{Th.5.6}
\contentsline {Proof}{{Preuve}{5.{$\gamma $}}{}}{33}{Proof.5.3}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{5.{24}}{}}{34}{Exo.5.24}
\contentsline {Th}{{Propriété}{5.{7}}{}}{34}{Th.5.7}
\contentsline {Notation}{{Notation}{5.{1}}{}}{34}{Notation.5.1}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{5.{25}}{}}{34}{Exo.5.25}
\contentsline {Def}{{Définition}{5.{8}}{}}{34}{Def.5.8}
\contentsline {Th}{{Propriété}{5.{8}}{}}{34}{Th.5.8}
\contentsline {Proof}{{Preuve}{5.{$\delta $}}{}}{34}{Proof.5.4}
\contentsline {Def}{{Définition}{5.{9}}{}}{34}{Def.5.9}
\contentsline {Ex}{{Exemple}{5.{26}}{}}{34}{Exo.5.26}
\contentsline {Rem}{{Remarque}{5.{5}}{}}{35}{Rem.5.5}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{27}}{}}{35}{Exo.5.27}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{28}}{Systèmes de congruences}}{35}{Exo.5.28}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{29}}{}}{35}{Exo.5.29}
\contentsline {Exo}{{Exercice}{5.{30}}{}}{35}{Exo.5.30}