]> AND Private Git Repository - cours-maths-dis.git/blob - ensembles/IntroAuxEnsembles.tex
Logo AND Algorithmique Numérique Distribuée

Private GIT Repository
modif algo euclide
[cours-maths-dis.git] / ensembles / IntroAuxEnsembles.tex
1 \section{Rappels de théorie des ensembles}
2
3 \subsection{Notion première d'ensemble}
4
5 \begin{description}
6  \item[Ensemble]\index{ensemble} Notion première qui ne se définit pas. C'est une collection d'objets réunis en vertu d'une propriété commune.
7
8 On peut définir un ensemble de deux manières :
9 \begin{itemize}
10  \item \emph{en extension} : on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent,
11  \item \emph{en compréhension} : en donnant la propriété que doivent posséder les éléments de l'ensemble.
12 \end{itemize}
13 \end{description}
14
15 \begin{Exo}
16 Définir les ensembles suivants en compréhension :
17 \begin{enumerate}
18 \item A = \{1,2,4,8,16,32,64\}
19 \item B = \{1,2,7,14\}
20 \item C = \{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 \}
21 \end{enumerate}
22 \end{Exo}
23
24 \textit{\underline{Réponse :}} 1) Les puissances de 2 inférieures ou égales à 64. 2) Les diviseurs de 14. 3) Les entiers inférieurs ou égaux à 20 qui ont au moins 3 diviseurs (les nombres non premiers entre 2 et 20).
25
26
27 \begin{Notation}
28 On note $\N_n$ l'ensemble des entiers inférieurs ou égaux à $n$.
29 \end{Notation}
30
31
32 \begin{Exo}
33 Définir les ensembles suivants en extension
34 \begin{enumerate}
35 \item $A = \{ x \in \R | x(x+5) = 14 \}$
36 \item $B = \{ x \in \N | x(2x+3) = 14 \}$
37 \item $C = \{ x \in \N_{10}^* | x^4 -1 \textrm{ est divisible par 5 } \}$
38 \end{enumerate}
39 \end{Exo}
40
41
42 \textit{\underline{Réponse :}} A = \{2, -7\}, B = \{2\}, et C = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\} (factoriser $x^4-1$).
43
44 \subsection{Règles de fonctionnement}
45
46
47  \paragraph{Relation d'appartenance.} \index{appartenance} On admet être capable de décider si un objet est ou non élément d'un ensemble. Le fait que l'élément $x$ appartienne à l'ensemble $X$ se note : $x \in X$.
48
49 \paragraph{Objets distincts.} On admet aussi être capable de distinguer entre eux les éléments d'un ensemble. En particulier, un ensemble ne peut pas contenir deux fois le même objet.
50
51 \paragraph{Ensemble vide.}\index{ensemble!vide} Il existe un ensemble ne contenant aucun élément, appelé ensemble vide. Symbole : le cercle barré\footnote{La notation $\varnothing$ a été introduite par le mathématicien français André Weil du groupe Bourbaki. Unicode : U+00D8} $\varnothing$.
52
53 L'ensemble vide ne correspond pas à rien ; c'est en fait un ensemble qui ne contient rien, mais en tant qu'ensemble il n'est pas rien : un sac vide est vide, mais le sac en lui même existe. 
54
55
56 La notation $\{\varnothing \}$ n'a pas le même sens que $\varnothing$. La dernière notation décrit un ensemble qui ne contient rien alors que le premier décrit un ensemble contenant un élément : l'ensemble vide. On peut, afin de mieux comprendre, reprendre l'analogie du sac vide. Un tiroir contenant un sac vide - $\{ \varnothing \}$ - n'est pas vide - $\varnothing$ - et contient bien un objet.
57
58 D'ailleurs, l'ensemble $\{\varnothing \}$ contient un élément (qui est un ensemble), quand l'ensemble $\varnothing$ n'en contient aucun...
59
60 \paragraph{Dernière règle de fonctionnement des ensembles.} \textcolor{red}{Un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même}.
61
62 Cette dernière règle de fonctionnement peut sembler obscure, pas naturelle.
63
64 Dans l'euphorie de la naissance de la théorie des ensembles, les mathématiciens ne voyaient pas d'objection à envisager un ensemble $\Omega$ dont les éléments seraient tous les ensembles (en particulier, $\Omega \in \Omega$) : l'ensemble des ensembles, à l'origine de tout !
65
66 Leur enthousiasme fut stoppé lorsque Russell leur opposa le paradoxe...
67
68
69 \begin{Exo}[Paradoxe de  Bertrand Russell (1872-1970)]
70 Soit $X$ l'ensemble de tous les éléments qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes.
71
72 A-t-on $X \in X$? A-t-on $X \not \in X$ ?
73 \end{Exo}
74
75 \begin{Rem}
76 Dit autrement : le barbier qui rase tous les barbiers qui ne se rasent pas eux-mêmes...se rase-t-il lui-même ?
77 \end{Rem}
78
79 \begin{Rem}
80 On en déduit donc que l'on ne peut pas parler de l'ensemble de tous les ensembles (cet ensemble devrait s'appartenir lui-même). Il ne faut pas négliger l'impact d'une telle révélation. 
81 \end{Rem}
82
83
84 \subsection{Sous-ensembles, ensemble des parties}
85
86 \paragraph{Sous-ensemble.}\index{ensemble!sous-} Les sous-ensembles sont définis par la relation d'inclusion\index{inclusion}...
87
88 \begin{Def}
89 $A$ est un sous-ensemble de $B$ ($A \subset B$)\fg{} si et seulement si tout élément de $A$ appartient à $B$. On dit aussi que $A$ est une partie de $B$.
90 \end{Def}
91
92
93 \begin{Th}
94 L'ensemble vide est inclus dans n'importe quel ensemble.
95 \end{Th}
96
97 \begin{Proof}
98 D'après la définition d'un sous-ensemble, cela veut dire que pour tout élément x de $\varnothing$, x appartient à A. Raisonnons a contrario : si l'ensemble vide n'est pas inclus dans A, alors il existe au moins un élément de l'ensemble vide qui n'appartient pas à A. Or, il n'y a aucun élément dans l'ensemble vide, donc plus particulièrement aucun élément de l'ensemble vide qui n'appartienne pas à A. On en conclut donc que tout élément de $\varnothing$ appartient à A, et donc que $\varnothing$ est un sous-ensemble de A. 
99 \end{Proof}
100
101 Plus généralement, toute proposition commençant par « pour tout élément de $\varnothing$» est vraie. On a de plus le résultat suivant :
102
103 \begin{Th}
104 Tout ensemble est inclus dans lui-même.
105 \end{Th}
106
107 \paragraph{Ensemble des parties.} \index{ensemble!des parties}
108
109 \begin{Def}
110 Soit $A$ un ensemble. L'ensemble des parties de $A$, noté $\mathcal{P}(A)$, est l'ensemble de tous les sous-ensembles de $A$.
111 \end{Def}
112
113 On sait déjà que $\varnothing$ et $A$ sont deux parties de $A$...
114
115 \begin{Th}
116 Pour tout ensemble $A$, on a $\varnothing, A \in \mathcal{P}(A)$.
117 \end{Th}
118
119
120 \begin{Ex}
121  Si $A = \{ 1, 2, 3\}$, alors  $\mathcal{P}(A) = \{ \varnothing , \{1 \},\{2 \}, \{3 \},  \{1,2 \}, \{1,3 \}, \{2,3 \}, \{1,2,3 \} \}$
122 \end{Ex}
123
124
125
126 \begin{Ex}
127  Si $A = \varnothing, \mathcal{P}(A) = \{ \varnothing \}, \mathcal{P} \left( \mathcal{P} (a) \right) = \{ \varnothing , \{ \varnothing \} \} $. Cela n'est pas qu'un jeu de l'esprit :
128  \begin{itemize}
129  \item On définit 0 comme étant $\varnothing$,
130  \item 1 correspond alors à $\mathcal{P}(\varnothing)$,
131  \item 2 est alors  $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$,
132  \item \emph{etc.}
133  \end{itemize}
134  D'autres définitions de l'ensemble des entiers naturels existent.
135 \end{Ex}
136
137 De manière plus générale, si $A$ possède $n$ éléments, $\mathcal{P}(A)$ en possède $2^n$.
138
139 \begin{Exo}
140 Justifier le fait que le nombre d'éléments de $\mathcal{P}(A)$ est égal à $2^n$, où $n$ représente le nombre d'éléments de $A$.
141 \end{Exo}
142
143
144 \begin{Exo}
145 On considère A = \{1,2\}. Dire quelles assertions sont exactes :
146 \begin{itemize}
147 \item $1 \in A$,
148 \item $1 \subset A$,
149 \item $\{1\} \in A$,
150 \item $\{1\} \subset A$,
151 \item $\varnothing \in A$,
152 \item $\varnothing \subset A$.
153 \end{itemize}
154 \end{Exo}
155
156 \begin{Exo}
157 Reprendre l'exercice précédent, avec $A = \{\{1\}, \{2\}\}$.
158 \end{Exo}
159
160 \subsection{Représentation graphique}
161
162 On peut représenter ensembles et sous-ensembles à l'aide d'un diagramme de Venn (les célèbres \og patates \fg{})...
163
164 \begin{Exo}[Diagramme de Venn]
165 A partir des affirmations
166 \begin{enumerate}
167 \item les poëtes sont des gens heureux, 
168 \item tous les docteurs sont riches et 
169 \item nul être heureux n'est riche, 
170 \end{enumerate}
171 déterminer la validité de chacune des conclusions suivantes
172 \begin{enumerate}
173 \item Aucun poëte n'est riche.
174 \item Les docteurs sont des gens heureux.
175 \item Nul ne peut être à la fois docteur et poëte.
176 \end{enumerate}
177 \end{Exo}
178
179
180 \subsection{Exercices}
181
182 \begin{Exo}
183 Est-ce que $\{a\} \in \{a,b,c\}$ ? Former la liste des parties de $\{a,b,c\}$.
184 \end{Exo}
185
186
187 \begin{Exo}
188  Montrer que $\mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B)$ quand $A \subset B$.
189 \end{Exo}
190
191
192
193 \begin{Exo}
194 Soit $\mathbb{B} = \{0,1\}$.
195 \begin{enumerate}
196  \item A-t-on $\mathbb{B} \in \mathbb{B}$ ?
197 \item Quels sont les éléments de $\mathcal{P}(\mathbb{B})$ ?
198 \item Quels sont les éléments de $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{B}))$ ?
199 \end{enumerate}
200 \end{Exo}
201
202
203
204 \section{Opérations sur les ensembles}
205
206 \subsection{\'Egalite de deux ensembles}
207
208 \begin{Def}
209 Deux ensembles sont \emph{égaux} si et seulement si ils ont les mêmes éléments.
210 \end{Def}
211
212
213
214 $A \subset B$ et $B \subset A \Longleftrightarrow A = B$. 
215
216 \begin{Exo}
217 Dans chacun des cas suivants, déterminer si les ensembles sont égaux :
218 \begin{enumerate}
219  \item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \geqslant |x| \}$
220 \item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \leqslant |x| \}$
221 \item $A = \Z$ et $B = \{ x \in \Z | x^2-x \textrm{ pair } \}$
222 \item $A = \{x \in \mathbb{N}_{10} \mid x \textrm{ impair, non divisible par 3 }\}$ et $B =\{x \in \mathbb{N}_{10} \mid \textrm{ 24 divise } x^2 -1 \}$
223 \end{enumerate}
224 \end{Exo}
225
226 \textit{\underline{Réponse :}} Pour le 3, $x^2-x = x(x-1)$, et réfléchir sur la parité de ce produit.
227
228 \subsection{Réunion, intersection}
229
230 \paragraph{Réunion}\index{réunion} $A$ et $B$ sont deux ensembles, on considère la réunion de $A$ et de $B$, notée $A \cup B$, l'ensemble des éléments qui sont éléments de $A$ ou de $B$.\\
231 \begin{Ex}
232  $A = \{1,2,3\}, B = \{1,4,5\}, \text{ alors } A \cup B = \{ 1,2,3,4,5\}$
233 \end{Ex}
234
235
236
237 \begin{Exo}
238 Faire la réunion des ensembles $A = \{x \in \R | 0 \leqslant x \leqslant 3 \}$, $B = \{ x \in \R | -2 < x \leqslant 1 \}$.
239 \end{Exo}
240
241
242
243 \begin{Th}[Propriétés de la réunion]
244 La réunion de deux ensembles possède certaines propriétés :
245 \begin{itemize}
246  \item idempotence : $A \cup A = A$
247  \item commutativité : $A \cup B = B \cup A$
248  \item associativité : $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
249  \item élément neutre : $A \cup \varnothing = A$
250 \end{itemize}
251 \end{Th}
252
253 \begin{Exo}
254 Donner des exemples d'opérateurs idempotents, commutatifs, associatifs, et possédant un élément neutre, par exemple en arithmétique, ou en analyse.
255 \end{Exo}
256
257
258
259
260 \paragraph{Intersection}\index{intersection} L'intersection de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble, noté $A \cap B$ des éléments communs à $A$ et à $B$.
261
262
263
264 \begin{Exo}
265  Dans chacun des cas suivants, faire l'intersection des ensembles $A$ et $B$.
266 \begin{enumerate}
267  \item A = l'ensemble des rectangles, et B = l'ensemble des losanges.
268 \item  $A = \{x \in \R | 0 \leqslant x \leqslant 3 \}$, $B = \{ x \in \R | -2 < x \leqslant 1 \}$
269 \end{enumerate}
270 \end{Exo}
271
272 \begin{Th}[Propriétés de l'intersection]
273
274 L'intersection de deux ensembles possède certaines propriétés :
275 \begin{itemize}
276  \item idempotence : $A \cap A = A$
277  \item commutativité : $A \cap B = B \cap A$
278  \item associativité : $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
279  \item élément neutre : si l'on se place dans un ensemble $E$ et que $A$ est une partie de $E$, alors $E$ est élément neutre pour l'intersection : $A \cap E = A$
280 \end{itemize}
281 \end{Th}
282
283 \paragraph{Propriétés mutuelles de ces deux opérations} Ces deux opérations ont des propriétés symétriques...
284
285 \begin{Th}[Distributivités de $\cup$ et $\cap$]
286 On a les distributivités :
287 \begin{itemize}
288  \item de $\cup$ sur $\cap$ : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
289 \item de $\cap$ sur $\cup$ : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
290 \end{itemize}
291 \end{Th}
292
293
294
295
296
297
298 \begin{Exo}
299  On se donne trois ensembles $A, B, C$ tels que $A \cap B \cap C = \varnothing $. Sont-ils nécessairement disjoints deux à deux ? Donner des exemples.
300 \end{Exo}
301
302
303 \subsection{Complémentation}
304
305 \begin{Def}[Complémentation]
306 Pour $A \subset E$, on définit le \emph{complémentaire}\index{ensemble!complémentaire}\index{complémentation} de $A$ par rapport à $E$ comme l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas éléments de $A$.
307 \end{Def}
308
309
310 \begin{Notation}
311 Il existe plusieurs manières de noter le complémentaire de A dans E : $E \setminus A$ (\og $E$ moins $A$ \fg{}), $\bar A$, ou encore $\mathcal{C}_E A$.
312 \end{Notation}
313
314
315 \begin{Rem}
316 Il faut donc se placer, pour la définition de la complémentation, dans $\mathcal{P}(E)$ (où $E$ est un ensemble fixé) : \emph{la complémentation se définit par rapport à un ensemble}.
317 \end{Rem}
318
319
320 \begin{Th}
321 La complémentation a plusieurs propriétés remarquables :
322  \begin{itemize}
323  \item involution\index{involution} : $\bar{\bar{A}} = A$,
324  \item loi de De Morgan\index{loi de De Morgan}  : $\bar{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$, et $\bar{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$.
325 \end{itemize}
326 \end{Th}
327
328 \begin{Exo}
329 Connaissez-vous d'autres opérations involutives ?
330 \end{Exo}
331
332 \begin{Exo}
333 Illustrez, à l'aide d'un diagramme de Venn, les lois de De Morgan.
334 \end{Exo}
335
336 \begin{Exo}
337 Faire la réunion des ensembles $A$ et $B$, quand $A = \{x \in \N | x \textrm{ impair } \}$, et $B = \{ x \in \N | x \textrm{  pas divisible par 3 } \}$.
338 \end{Exo}
339
340 \textit{\underline{Réponse :}} Rechercher à quoi correspond le complémentaire de la réunion de $A$ et $B$.
341
342
343
344 \subsection{Produit cartésien}
345
346 Le produit cartésien des ensembles $A$ et $B$ (dans cet ordre) est l'ensemble, que l'on note $A \times B$ (\og $A$ croix $B$ \fg{}) des couples ordonnés $(a,b)$ où $a \in A$ et $b \in B$.\\
347
348
349 Dans le couple $(a,b)$, 
350 \begin{itemize}
351 \item $(a,b)$ n'est pas un ensemble et 
352 \item $(a,b)$ est distinct de $(b,a)$.
353 \end{itemize}
354
355
356
357 \begin{Exo}
358 Représenter graphiquement la réunion des ensembles $A = \{(x,y) \in \R^2 | x+y \leqslant 2 \}$, et $B = \{ (x,y) \in \R^2 | 2 < 3x -y \}$.
359 \end{Exo}
360
361
362
363 \begin{Exo}
364 Représenter graphiquement l'intersection des ensembles $A = \{(x,y) \in \R^2 | x+y \leqslant 2 \}$, et $B = \{ (x,y) \in \R^2 | 2 < 3x -y \}$. 
365 \end{Exo}
366
367
368
369 \section{Exercices}
370
371 \subsection{Ensembles de base}
372
373 \begin{Exo}
374 Rappelez la définition et la notation des ensembles fondamentaux suivants : entiers naturels, entiers relatifs, nombres rationnels, décimaux, réels et complexes.
375 \end{Exo}
376
377 \begin{Exo}
378 Connaissez-vous d'autres ensembles de nombres ? Quelle en est la définition ?
379 \end{Exo}
380
381 \begin{Exo}
382 Réalisez un diagramme de Venn des ensembles des deux précédents exercices.
383 \end{Exo}
384
385 \subsection{La différence symétrique}
386
387 \begin{Def}
388 Pour deux ensembles $A$ et $B$, on appelle différence symétrique, note $A\Delta B$, 
389 l'ensemble défini par 
390 \[
391 A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)
392 \]
393 c'est-à-dire que $A \Delta B$ est constitué des éléments qui appartiennent soit à $A$, soit à $B$, mais pas aux deux.
394 \end{Def}
395
396
397 \begin{Exo}
398 Soit 
399 $A=\{1,2,3,4,5,6\}$,
400 $B=\{1,3,5,7,9\}$,
401 $C=\{4,5,6,7,8,9\}$ et 
402 $D=\{2,3,5,7,8\}$.\\
403 Trouver 
404 $A\Delta B$, $C\Delta B$, $A\cap (B \Delta D)$,
405 $B\Delta C$, $A\Delta D$ et $(A\cap B)\Delta(A \cap D)$.
406 \end{Exo}
407
408 \begin{Exo}
409 Montrez que $A\Delta B = [A\inter(E\moins B)]\union[(E\moins A) \inter B]$
410 \end{Exo}
411
412 \begin{Exo}
413 Calculer $A \Delta A$, $A \Delta (E\moins A)$, $A \Delta E$ et $E\moins (A\triangle B)$.
414 \end{Exo}
415
416
417 \begin{Exo}
418 Montrer que, si $A\triangle B=C$, alors $A\triangle C=B$ et $B\triangle C=A$.
419 \end{Exo}
420
421 \begin{Exo}
422 Montrer que la différence ensembliste est commutative, 
423 et possède un élément neutre. %, est distributive, et associative.
424 \end{Exo}
425
426 \begin{Exo}
427 Montrer que si $A \Delta B = A \Delta C$ alors $B = C$.
428 \end{Exo}
429
430
431 \subsection{Généraux}
432
433 \begin{Exo}
434 Soit $E$ un ensemble.
435
436 Démontrer que, quelles que soient les parties $A$, $B$, $X$, $Y$ de $E$, l'implication suivante est vraie : 
437
438 \begin{center}
439 $(X\inter A=X\inter B)$ et $Y\sse X\Imp Y\inter A=Y\inter B$.
440 \end{center}
441 \end{Exo}
442
443
444 \begin{Exo}
445 On se place dans l'ensemble ${\cal P}(E)$ des parties d'un ensemble non vide $E$; $A$, $B$ et $C$ sont des parties de $E$.
446
447 Montrer que $(A\union C)\sse(A\union B)$ et $(A\inter C)\sse(A\inter B)$
448 implique que $C\sse B$.
449 \end{Exo}
450
451
452
453
454 \begin{Exo}
455 Soit $E$ un ensemble non vide et ${\cal P}(E)$ l'ensemble de ses parties.
456
457 Soit $f$ une application croissante, pour l'inclusion, de ${\cal P}(E)$ dans lui-même (c'est-à-dire : si $X$ et $Y$ sont deux parties de $E$ et si $X \sse Y$, alors $f(X) \sse f(Y)$).
458 \begin{enumerate}
459 \item Montrer que, pour tout couple $(X,Y)$ de parties de $E$, on a: $f(X) \union
460 f(Y) \sse f(X \union Y)$
461
462 \item On dit qu'une partie $X$ de $E$ est régulière si et seulement si $f(X) \sse X$. Montrer qu'il existe au moins une partie
463 régulière dans $E$ et que, si $X$ est régulière, il en est de même de $f(X)$.
464
465 \item Soit $A$ l'intersection de toutes les parties régulières de $E$. Montrer que $A$ est régulière et que $f(A) = A$.
466 \end{enumerate}
467 \end{Exo}
468
469
470
471
472 \begin{Exo}
473 Soit $E$ un ensemble et $A$, $B$, $C$ des parties de $E$. 
474
475 Démontrer la proposition suivante :
476
477 \begin{center}$[ A\sse (B\inter C) ]$ et $[ (B\union C)\sse A ]
478 \Imp[ A=B=C ]$.
479 \end{center}
480 \end{Exo}
481
482
483 \begin{Exo}
484 Sous les mêmes hypothèses, montrer que
485 $A \inter (A \union B)=A \union (A \inter B) = A$
486 \end{Exo}
487
488
489
490
491
492 \begin{Exo}
493 Montrer que $(A\union B)\inter(B\union C)\inter(C\union A)=(A\inter B)\union (B\inter C)\union(C\inter A)$.
494 \end{Exo}
495
496
497
498
499 \begin{Exo}[Archives]
500 Le jour où il ne faut pas, vous découvrez que
501 \begin{itemize}
502 \item vous avez besoin d'un fichier client $C$ et du fichier prospects $P$ qui contenait la liste des clients prospects, c.à.d. des clients actuels ou potentiels visités par les représentants au dernier semestre;
503 \item Le stagiaire les a effacé par mégarde, en répondant au hasard à une question du système qu'il ne comprenait pas.
504 \end{itemize}
505 Au cours d'une réunion de crise, vous apprenez cependant qu'il reste 
506 \begin{itemize}
507 \item le fichier $F$ des clients non prospects de ce dernier trimestre;
508 \item le fichier $G$ des prospects du dernier trimestre non encore client;
509 \item le fichier $H$ des clients et/ou propspects mélangés sans distinction.
510 \end{itemize}
511 En déduire comment reconstruire $P$ et $C$.
512 \end{Exo}
513
514
515
516
517 %Exercice 3 
518 % Diagramme de Venn
519 \begin{Exo}
520 Soit les affirmations~:
521 \begin{itemize}
522 \item J'ai planté tous mes arbres onéreux l'an passé.
523 \item Tous mes arbres fruitiers sont dans mon verger.
524 \item Aucun des arbres fruitiers n'a été planté l'an passé.
525 \item J'ai un orme, qui est un arbre onéreux, mais pas dans mon verger.
526 \end{itemize}
527 Dire si les affirmations suivantes sont justes ou fausses ou impossibles à répondre.
528 \begin{enumerate}
529 \item Aucun de mes arbres fruitiers n'est onéreux.
530 \item Tous mes arbres plantés l'an passé l'ont été dans le verger.
531 \item J'ai planté au moins un arbre l'an passé.
532 \end{enumerate}
533 \end{Exo}
534
535
536
537
538
539
540 \begin{Exo}[Fonction caractéristique des parties d'un ensemble]
541 On appelle fonction caractéristique de la partie $A$ de l'ensemble $E$ $(E\neq\vide$, $A\neq\vide$, $A\sse E$) l'application $f_A:E\imp\{0,1\}$, définie par
542 \begin{itemize}
543 \item $\qqs x\in A,\ f_A(x) = 1$,
544 \item $\qqs x \in E\moins A,\ f_A(x) = 0$.
545 \end{itemize}
546
547 On pose de plus  $\qqs x\in E, f_{\vide}(x) = 0$ et $f_E(x)=1$.
548
549 Étudier les fonctions caractéristiques d'une réunion, d'une intersection de deux parties, ainsi que celle du
550 complémentaire d'une partie.
551 \end{Exo}
552
553
554 \begin{Exo}
555 On définit, dans $\{0,1\}$, trois lois de composition, de manière que,  $\qqs x \in E$, on ait $f_A(x) \cdot f_B(x)=f_{A\inter B}(x)$, $f_A(x)+f_B(x)=f_{A\union B}(x)$ et $\overline{f_A(x)} = f_{E\moins A}(x)$.
556
557 Montrer que $(\{0,1\},+, \cdot , \overline{\mathstrut\enskip})$ est une algèbre de Boole binaire.
558 \end{Exo}
559
560
561
562 \gsaut
563 \centerline{\x{Fin du Chapitre}}
564