-\section{Rappels de théorie des ensembles}
+\section{Des Définitions}
\subsection{Notion première d'ensemble}
L'ensemble vide ne correspond pas à rien ; c'est en fait un ensemble qui ne contient rien, mais en tant qu'ensemble il n'est pas rien : un sac vide est vide, mais le sac en lui même existe.
-\paragraph{Dernière règle de fonctionnement des ensembles.} \textcolor{red}{Un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même}.
+\paragraph{Dernière règle de fonctionnement des ensembles.}Un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même.
\subsection{Sous-ensembles, ensemble des parties}
-Les sous-ensembles sont définis par la relation d'inclusion\index{inclusion}...
+Les sous-ensembles sont définis par la relation d'inclusion\index{inclusion}.
\begin{Def}
$A$ est un sous-ensemble de $B$ ($A \subset B$)\fg{} si et seulement si tout élément de $A$ appartient à $B$. On dit aussi que $A$ est une partie de $B$.
\begin{Th}
-Pour tout ensemble $A$, on a $\varnothing, A \in \mathcal{P}(A)$.
+Pour tout ensemble $A$, on a $\varnothing\in \mathcal{P}(A)$ et
+$A \in \mathcal{P}(A)$.
\end{Th}
-$A \subset B$ et $B \subset A \Longleftrightarrow A = B$.
+$ A = B\Longleftrightarrow A \subset B \land B \subset A$.
\begin{Exo}
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les ensembles sont égaux :
\begin{enumerate}
\item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \geqslant |x| \}$;
\item $A = \{ x \in \R | x > 0 \}$ et $ B = \{x \in \R | x \leqslant |x| \}$;
-\item $A = \Z$ et $B = \{ x \in \Z | x(x-1) \textrm{ pair } \}$;
-on pourra réfléchir sur la parité de $x(x-1)$.
+\item $A = \Z$ et $B = \{ x \in \Z | x^2-x \textrm{ pair } \}$;
+on pourra réfléchir sur la parité de $x^2-x$.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\end{Exo}
\begin{Exo}
-Faire la réunion des ensembles $A$ et $B$, quand $A = \{x \in \N | x \textrm{ impair } \}$, et $B = \{ x \in \N | x \textrm{ pas divisible par 3 } \}$.
+Construire la réunion des ensembles $A$ et $B$
+définis par
+$$A = \{x \in \N | x \textrm{ est impair } \} \textrm{ et }
+B = \{ x \in \N | x \textrm{ n'est pas divisible par 3 } \}.$$
\end{Exo}
\begin{Th}[Distributivités de $\cup$ et $\cap$]
-On a les distributivités :
+On a les distributivités suivantes:
\begin{itemize}
\item de $\cup$ sur $\cap$ : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
\item de $\cap$ sur $\cup$ : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
\begin{Exo}
Pour deux ensembles $A$ et $B$ inclus dans $E$,
on appelle différence symétrique, note $A\Delta B$,
-l'ensemble défini par
-$A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$
-c'est-à-dire que $A \Delta B$ est constitué des éléments qui appartiennent soit à $A$, soit à $B$, mais pas aux deux.
+l'ensemble constitué des éléments de $E$ qui appartiennent soit à $A$,
+soit à $B$, mais pas aux deux.
\begin{enumerate}
-\item Montrez que $A\Delta B = [A\inter(E\moins B)]\union[(E\moins A) \inter B]$.
-\item Simplifier les expressions $A \Delta A$, $A \Delta (E\moins A)$, $A \Delta E$ et $E\moins (A\triangle B)$.
+\item Montrez que $A\Delta B = (A\inter \overline{B})\union(\overline{A} \inter B)$.
+\item Simplifier les expressions $A \Delta A$, $A \Delta \overline{A}$, $A \Delta E$ et $\overline{A\triangle B}$.
\item Montrer que, si $A\triangle B=C$, alors $A\triangle C=B$ et $B\triangle C=A$.
\item Montrer que si $A \Delta B = A \Delta C$ alors $B = C$.
\end{enumerate}
