+\section{Principe de récurrence }
-
-
-\section{Nombres entiers naturels ($\N$)}
-
-\subsection{Définition de $\N$}
-
-\subsubsection{Définition}
-
-\begin{Def}[Ensemble des entiers naturels]
-On appelle \emph{ensemble des nombres entiers naturels}\index{entiers naturels} $\N$ tout ensemble possédant les propriétés suivantes
-\begin{enumerate}
-\item Il existe une injection de $\N$ dans $\N$.
-
-Cette injection, appelée \emph{fonction de succession}\index{fonction!de succession}, sera notée $s$ dans la suite.
-
-L'image d'un entier $n$ par la fonction de succession $s$, soit $s(n)$, est appelée \emph{successeur} \index{successeur} de $n$.\\
-
-\item Il existe un élément de $\N$ qui n'est le successeur d'aucun élément de $\N$.
-
-Cet élément est appelé \og \emph{zéro}\fg{}\index{zéro} et noté 0 dans la suite.
-
-\item Le \og \emph{Principe de récurrence} \fg{} \index{principe de récurrence} \index{récurrence} est satisfait :
-
-Soit $M$ la partie de $\N$ constituée par les entiers qui possèdent une certaine propriété $p$. On note \og $p(n)$\fg{} le fait que l'entier $n$ possède la propriété $p$.
-
-\begin{Th}[Principe de récurrence]
-Il s'énonce ainsi : \og Si $M$ contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments, alors $M=\N$.\fg{}
-\end{Th}
-
-
-Sous forme formalisée...
-
-Soit $M=\{n\in\N \mid p(n)\}$; si $0\in M$ et si $[n \in M \Imp s(n) \in M]$, alors $M=\N$.
-\end{enumerate}
-\end{Def}
-
-
-
-\begin{Rem}
- $M=\N$ signifie évidemment que la propriété est
-possédée par tous les entiers naturels. C'est, en général, la conclusion attendue d'un \og raisonnement par récurrence\fg{}
-\end{Rem}
-
-
-\subsubsection{Sur la récurrence}
-
-Il existe une version \og affaiblie\fg{} du principe de récurrence : la récurrence restreinte, qui permet de s'assurer qu'une propriété est vraie à partir d'un certain rang...
-
-
-\begin{Th}[Récurrence restreinte]
-\index{récurrence!restreinte}
-Soit $M=\{n\in\N \mid p(n)\}$.
-
-Si $p\in M$ et si, $[n \in M \Imp s(n) \in M]$, alors $M$ est de la forme $\{p,p+1,p+2,\ldots\}$.
-\end{Th}
-
-
-Il existe encore une version \og renforcée\fg{} : la récurrence généralisée, qui permet de \og supposer la
-propriété vraie jusqu'à l'ordre $n$\fg{}...
-
-
-\begin{Th}[Récurrence généralisée]
-\index{récurrence!généralisée}
- Soit $M=\{n\in\N \mid p(n)\}$.
-
-Si, $\qqs p \in M$, $\{0,1,2,\ldots,p\} \sse M$ et si $s(p)\in M$, alors $M=\N$.
-\end{Th}
-
-\begin{Proof}
- Elle se démontre à partir de la récurrence \og normale\fg{}.
-\end{Proof}
-
-
-\begin{Rem}
-La récurrence généralisée permet d'éviter un double raisonnement par récurrence.
-\end{Rem}
-
-\bigskip
-
-\noindent Manière correcte de rédiger un raisonnement par récurrence :
-
+Pour démontrer par \emph{récurrence}
+\index{récurrence!restreinte}
+qu'une propriété $P(n)$ est vraie quel que soit l'entier $n \ge n_0$,
+on procède en deux étapes:
\begin{enumerate}
- \item Soit $M$ l'ensemble des entiers naturels qui vérifient ... (mettre ici l'énoncé de la propriété que l'on cherche à démontrer)
-
-\item Initialisation de la récurrence : vérifier que 0 est élément de $M$ (\og la propriété est vraie pour $n=0$\fg{})
+\item on vérifie que $P(n_0)$ est vraie;
+\item\label{itm:2} on suppose que $P(n)$ est vraie pour un certain entier $n \ge n_0$,
+ c'est l'hypothèse de récurrence, et on démontre que $P(n+1)$ est vraie.
+\end{enumerate}
+Le \emph{principe de récurrence} dit alors que $P(n)$ est vraie quel que soit
+l'entier $n \ge n_0$.
+% Une variante consiste à remplacer l'étape~\ref{itm:2} par
+% \begin{enumerate}
+% \item[2 bis.] on suppose que $P(k)$ est vraie pour tout $k$ compris entre
+% $n_0$ et $n$, et on démontre que $P(n+1)$ est vraie.
+% \end{enumerate}
+% Ceci se déduit du fait que $\N$ est un ensemble complètement ordonné.
-\item Caractère héréditaire de la propriété : soit $n$ un élément de $M$ (cela a un sens, puisque l'on sait maintenant que $M$ n'est pas vide : il contient au moins 0), vérifions que $s(n)$ est encore élément de $M$ (\og la propriété est vraie pour $n+1$\fg{})
-\end{enumerate}
-
-\bigskip
-
-\begin{Rem}
-Toute phrase, telle que celles que l'on peut souvent lire, de la forme \og supposons la propriété vraie pour $n$\fg{} devrait immédiatement appeler la question : qu'est-ce que c'est que $n$ ?
-
-\begin{itemize}
-\setlength{\labelwidth}{100pt}
- \item Si $n$ est \og un entier quelconque\fg{} , alors vous supposez la propriété vraie pour un entier quelconque, et il ne vous reste plus grand chose à démontrer....
-
-\item Si $n$ est un entier fixé, mettons 47, alors vous allez démontrer la propriété pour 48, et il vous restera pas mal de chemin à faire\ldots
-\end{itemize}
-
-Non, ce que vous supposez, ce n'est pas que la propriété est vraie (pour quoi que ce soit), mais que $n$ est un entier pour lequel la propriété est vérifiée (cet entier étant évidemment quelconque parmi ceux pour lesquels la propriété est vérifiée), ce n'est pas du tout la même chose.
-\end{Rem}
-
-
-\subsubsection{Exercices}
-
-\paragraph{Une première récurrence}
\begin{Exo}
\begin{enumerate}
\item Calculez 1, 1+3, 1+3+5, et 1+3+5+7.
\item A quoi $1+3+5+7+...+(2n-1)+(2n+1)$ semble-t-il être égal (en fonction de $n$) ?
-\item Démontrer que l'on a effectivement l'égalité
+\item Démontrer par récurrence que l'on a effectivement l'égalité.
\end{enumerate}
\end{Exo}
-\paragraph{Somme d'entiers élevés à une puissance donnée}
-
-On montre, dans ce qui suit, une application de la technique de récurrence, pour calculer $S_k(n) = 1^k+2^k+...+n^k, \forall k,n \in \N$ (d'autres techniques, plus efficaces, existent).
-
-\begin{Exo}
-On souhaite calculer $S_1(n) = 1+2+...+n$.
-\begin{enumerate}
-\item Cherchez un bon candidat $S_1(n)$ pour cette formule.
-\begin{itemize}
-\item On pourra chercher un lien logique entre $S_1(1), S_1(2), S_1(3), S_1(4), ...$
-\item On pourra aussi faire le lien avec les suites arithmétiques.
-\item Ou encore, retrouver la méthode de Gauss : $S = 1+2+...+n$, et $S = n+(n-1)+...+2+1$. Si on somme ces deux expressions...
-\end{itemize}
-\item Prouvez, par récurrence, que la somme est bien égale à ce candidat.
-\item Quelle est la \og forme \fg{} de ce candidat (fonction tangente ? polynôme ?)
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
+% \begin{Exo}
+% On souhaite calculer $S_1(n) = 1+2+...+n$.
+% \begin{enumerate}
+% \item Cherchez un bon candidat $S_1(n)$ pour cette formule.
+% \begin{itemize}
+% \item On pourra chercher un lien logique entre $S_1(1), S_1(2), S_1(3), S_1(4), ...$
+% \item On pourra aussi faire le lien avec les suites arithmétiques.
+% \item Ou encore, retrouver la méthode de Gauss : $S = 1+2+...+n$, et $S = n+(n-1)+...+2+1$. Si on somme ces deux expressions...
+% \end{itemize}
+% \item Prouvez, par récurrence, que la somme est bien égale à ce candidat.
+% \item Quelle est la \og forme \fg{} de ce candidat (fonction tangente ? polynôme ?)
+% \end{enumerate}
+% \end{Exo}
\begin{Exo}
\item Ou encore,
\begin{itemize}
\item Regardez la forme de $S_0(n) = 1^0+2^0+...+n^0$, et de $S_1(n) = 1^1+2^1+...+n^1$
-\item Interpolez la formule pour $S_2(n)$. On pourra imaginer que $S_2(n)$ est toujours un polynôme en $n$. Quel serait son degré le plus probable ? Quelle en serait donc la forme ? On aura à déterminer les coefficients intervenant dans ce polynôme. Pour ce faire, il suffit de considérer que cette formule doit convenir pour n=1, 2, etc.
+\item Extrapolez la formule pour $S_2(n)$. On pourra imaginer que $S_2(n)$ est toujours un polynôme en $n$. Quel serait son degré le plus probable ? Quelle en serait donc la forme ? On aura à déterminer les coefficients intervenant dans ce polynôme. Pour ce faire, il suffit de considérer que cette formule doit convenir pour n=1, 2, etc.
\end{itemize}
\end{itemize}
\item Démontrez, par récurrence, que l'on a bien égalité entre $1^2+2^2+...+n^2$ et votre candidat.
\end{enumerate}
\end{Exo}
-\begin{Exo}
-Poursuivre le raisonnement pour $S_3(n)$. Cette méthode permet-elle de calculer $S_k(n), \forall k,n$ ?
-\end{Exo}
-
-
-\paragraph{Autres exercices sur la récurrence}
+% \begin{Exo}
+% Poursuivre le raisonnement pour $S_3(n)$. Cette méthode permet-elle de calculer $S_k(n)$ pour tout $k$ et $n$ dans $\N$?
+% \end{Exo}
\begin{Exo}
-Montrer que $\forall n \in \N$, 7 divise $3^{2n+1}+2^{n+2}$.
+Montrer que pour tout entier naturel $n$, 3 divise $4^n -1$.
\end{Exo}
\begin{Exo}
-Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que $\forall n \in \N$,
-$$u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n = 0$$
-Montrez qu'il existe $\alpha, \beta \in \N$ tels quel $\forall n \in \N, u_n = \alpha 3^n + \beta 2^n$.
-\end{Exo}
-
-
-\begin{Exo}
-Montrer que $\forall m,n \in \N^*, \forall r \in \N, m^{2r+1}+n^{2r+1}$ est divisible par $m+n$.
+Soit la suite $(U_n)_{n\in \N}$ définie par $U_n = 3^{2n+1} + 2^{n+2} $.
+\begin{enumerate}
+\item Calculer $U_0$, $U_1$ et $U_2$. Remarquer que ce sont tous
+des multiples de $7$.
+\item Montrer que $U_{n+1} = 7 \times 3^{2n+1} + 2 U_n$.
+\item Montrer que $7$ est un multiple de $U_n$ pour tout entier naturel $n$.
+\end{enumerate}
\end{Exo}
+% \begin{Exo}
+% Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que pour tout $ n \in \N$,
+% $$u_{n+2}-5u_{n+1}+6u_n = 0$$
+% Montrez qu'il existe $\alpha, \beta \in \N$ tels quel pour tout $ n \in \N, u_n = \alpha 3^n + \beta 2^n$.
+% \end{Exo}
-\subsection{Opérations et relation d'ordre dans $\N$}
+% \begin{Exo}
+% Montrer que $\forall m,n \in \N^*, \forall r \in \N, m^{2r+1}+n^{2r+1}$ est divisible par $m+n$.
+% \end{Exo}
-On suppose ici connues les opérations et la relation d'ordre classiques qui existent dans $\N$ : addition, multiplication, relation d'inégalité au sens large.
-Ces éléments peuvent être définis rigoureusement, et toutes les propriétés démontrées par récurrence.
-\begin{Ex}
-Par exemple, on peut définir la relation $p\leqslant n$ par $\exi q\in\N,\ n=p+q$.
-\end{Ex}
-
-\begin{Th}
-Les opérations précédentes ont pour propriétés :
-\begin{itemize}
-\item l'addition est commutative, associative, il existe un élément neutre (0),
-\item la multiplication est commutative, associative et admet aussi un élément neutre (1),
-\item la multiplication est distributive sur l'addition,
-\item les entiers sont totalement ordonnés par l'inégalité, et cette relation d'ordre est compatible avec l'addition et avec la multiplication.
-\end{itemize}
-\end{Th}
-
-
-\subsection{Nombres premiers}
-
-\subsubsection{Définitions}
+\section{Nombres premiers}
\begin{Def}[Multiple, diviseur]
-Si un entier $n$ peut s'écrire sous la forme $n=pq$, où $p$ et $q$ sont des entiers, on dit que $n$ est un \emph{multiple} \index{multiple} de $p$ et que $p$ est un \emph{diviseur}\index{diviseur} de $n$.
+Si un entier $n$ peut s'écrire sous la forme $n=pq$, où $p$
+et $q$ sont des entiers, on dit que $n$ est un \emph{multiple} \index{multiple}
+de $p$ et que $p$ est un \emph{diviseur}\index{diviseur} de $n$.
+On écrit aussi $p \mid n$ pour $p$ divise $n$.
\end{Def}
-
\begin{Exo}
Soit $m = 2^3 * 5 * 7^2 * 13^3$. Combien le nombre $m$ a-t-il de diviseurs naturels ?
\end{Exo}
-\noindent Réponse : (3+1)*(1+1)*(2+1)*(3+1)=96.
+%\noindent Réponse : (3+1)*(1+1)*(2+1)*(3+1)=96.
\begin{Def}[Nombre premier]
Un \emph{nombre premier}\index{nombre!premier} est un nombre entier strictement supérieur à 1 qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.
\end{Def}
-\begin{Ex}
+\begin{Exo}
Ainsi, le plus petit nombre premier (et le seul qui soit pair) est 2.
-\end{Ex}
+\end{Exo}
\begin{Th}
Il existe une infinité de nombres premiers.
\end{Th}
+\begin{Exo}[Nombres premiers en quantité infinie]
+Supposons comme hypothèse que l'ensemble des nombres premiers $\{ p_1, p_2, p_3 \ldots p_{n-1}, p_n \}$ est de cardinalité finie $n$.
+On construit le nombre $N = p_1. p_2. p_3. \ldots .p_{n-1}. p_n +1$.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que d'après l'hypothèse, il existe un nombre premier $q$ tel que
+ $N$ est un multiple de $q$.
+\item Montrer cependant que $N$ n'est pas un multiple de $p_1$. Idem pour $p_2$, \ldots $p_n$.
+\item En déduire que $q$ est un nombre premier différent de $p_1$, de $p_2$, \ldots de $p_n$.
+\item En déduire une contradiction dans l'hypothèse.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+
+
+
+
\begin{Rem}
Le problème de la primalité d'un nombre (très grand, évidemment) est difficile.
-\subsubsection{Décomposition en facteurs premiers}
+%\subsection{Décomposition en facteurs premiers}
\begin{Def}[Décomposition en facteurs premiers]
-L'écriture d'un entier $n$ sous la forme $n=a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}\ldots$, où $a\vir b\vir c\vir\ldots$ sont les diviseurs premiers distincts de $n$ et où les exposants $\alpha\vir\beta\vir\gamma\vir\ldots$ sont tels que, par exemple, $n$ est divisible par $a^{\alpha}$ mais pas par $a^{\alpha+1}$ s'appelle la \emph{décomposition en facteurs premiers} \index{décomposition en facteurs premiers} de $n$.
+L'écriture d'un entier $n$ sous la forme $n=a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}\ldots$, où \begin{itemize}
+\item $a$, $b$, $c$, \ldots sont des nombres premiers distincts
+deux à deux tels que $a < b < c < ldots$;
+\item les exposants $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont des entiers naturels
+ non nuls;
+\end{itemize}
+\noindent s'appelle la \emph{décomposition en facteurs premiers} \index{décomposition en facteurs premiers} de $n$.
-On dit que les exposants $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, \ldots sont les ordres de multiplicité des diviseurs $a$, $b$, $c$, \ldots)
+On dit que les exposants $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, \ldots sont les ordres de multiplicité des diviseurs $a$, $b$, $c$, \ldots
\end{Def}
\'Ecrivez les nombres 3850 et 1911 sous forme de produits de nombres premiers.
\end{Exo}
-\noindent Réponses : $2*5^2*7*11$ et $3*7^2*13$.
+%\noindent Réponses : $2*5^2*7*11$ et $3*7^2*13$.
+
+
+
+
+%\subsection{Relation de divisibilité}
+
+% Dans le chapitre sur les relations entre ensembles,
+% on a vu que la relation binaire de \og divisibilité\fg{} (notée $\mid$)
+% définie dans $\Net$.
+% est une relation d'ordre.
+% Or 6 ne divise pas 14 et 14 ne divise pas 6.
+% Ces deux entiers ne sont donc pas comparables.
+% Cet ordre n'est donc que partiel.
+
+% Cependant 2 divise 6 et 14. C'est le plus grand des minorants de 6 et 14
+% selon cette relation. C'est donc la borne inférieure.
+% De même 42 est divisible par 6 et 14 aussi.
+% C'est le plus petit des majorants de 6 et 14
+% selon cette relation. C'est donc la borne supérieure.
+% Chaque couple d'entiers a donc une borne inférieure et une borne supérieure.
+
+
+
+\begin{Def}[PGCD, PPCM]
+Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels strictement positifs.
+\begin{itemize}
+\item L'ensemble des diviseurs communs à
+$a$ et $b$ admet un plus grand élément $d$,
+le \emph{plus grand commun diviseur (PGCD)}\index{plus grand commun diviseur}\index{PGCD}
+de ces entiers. On le note $\textit{PGCD}(a,b)$.
+\item L'ensemble des multiples strictement positifs
+ communs à $a$ et $b$ admet un plus petit élément $m$,
+le \emph{plus petit commun multiple (PPCM)} \index{PPCM} \index{plus petit commun multiple} de ces deux entiers.
+On le note $\textit{PPCM}(a,b)$.
+\end{itemize}
+Pour $a$ et $b$ dans $\N$,
+$\textit{PGCD}(a,b)$ et
+$\textit{PPCM}(a,b)$ et
+sont respectivement notés $a\et b$ et $a\ou b$.
+\end{Def}
+
+\begin{Def}[Nombres premiers entre eux]
+Deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$ sont dits \emph{premiers entre eux} lorsque $a\et b=1$.
+\end{Def}
+
\begin{Exo}[Nombres de Fermat]
-On appelle nombres de Fermat les nombres de la forme $2^{2^p}+1$.
+Pour $p \in \N$, on appelle nombres de Fermat les nombres de la forme
+$F_p = 2^{2^p}+1$.
\begin{enumerate}
-\item Montrer que, pour que $2^n+1$ soit premier, il faut que $n$ soit une puissance de 2.
+\item Montrer que,
+ pour que $2^n+1$ soit premier, il est nécessaire
+ que $n$ soit une puissance de 2.
-\item La réciproque n'est pas vraie : donner un exemple de nombre de Fermat qui ne soit pas premier.
+\item Pour montrer que ce n'est pas suffisant, vérifier que $F_5$ est
+ divisible par 641.
\item Montrer que, pour $k\geqslant 1$, $F_p$ divise $F_{p+k}-2$.
\item En déduire que $F_p$ et $F_{p+k}$ sont premiers entre eux.
-\item En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers.
+%\item En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers.
\end{enumerate}
\end{Exo}
-\subsection{Relation de divisibilité}
-On a vu dans le chapitre sur les relations entre ensembles la relation binaire de divisibilité définie dans $\Net$.
+\section{Algorithmes d'Euclide et applications}\index{algorithme!d'Euclide}
-Cette relation est une relation d'ordre partiel : il existe des paires d'entiers non comparables par cette relation.
+Par définition, le PGCD de $a$ non nul avec
+0 est $a$ (défintion raisonnable, car 0
+est divisible par tout entier non nul, donc par $a$, qui l'est aussi par $a$)
+et enfin le PGCD de 0 et de 0 n'est pas
+défini.
-\begin{Ex}
-3 ne divise pas 7 et 7 ne divise pas 3.
-Ces deux entiers ne sont donc pas comparables du point de vue de la divisibilité.
-\end{Ex}
-Cet ordre n'est donc que partiel, mais il existe, pour chaque couple d'entiers distincts, une borne inférieure et une borne supérieure...
+L'algorithme consistant à comparer les décompositions en facteurs
+premiers n'est pas efficace.
+La découverte de diviseurs de nombres
+très grands est un problème difficile dont nous reparlerons plus loin.
-\begin{Def}[PGCD, PPCM]
-Tout ensemble fini de nombres entiers strictement positifs admet une borne sup et une borne inf pour la relation de divisibilité.
-Cette borne inférieure et cette borne supérieure sont respectivement appelées \emph{plus grand commun diviseur}\index{plus grand commun diviseur} \index{PGCD} et \emph{plus petit commun multiple} \index{PPCM} \index{plus petit commun multiple} de ces deux entiers.
-\end{Def}
-\begin{Notation}
-Ils sont respectivement notés $a\et b$ et $a\ou b$.
-\end{Notation}
-\begin{Proof}
-L'existence du PGCD découle de l'existence de la décomposition en facteurs premiers : il suffit de comparer les décompositions des deux nombres pour découvrir leur PGCD.
-Le PPCM, lui, vaut $a\ou b=ab/(a\et b)$.
-\end{Proof}
+On se limite ici au cas de deux entiers $a$ et $b$ strictement positifs. Supposons par exemple $a>b$
-\begin{Ex}
-Comme $48=2^43$ et que $56=2^37$, on voit aisément que $48\et 56=2^3$.
-\end{Ex}
+\begin{enumerate}
+\item La division euclidienne de $a$ par $b$ peut s'écrire $a=bq+r$ avec $0\infeg r<b$.
-\begin{Exo}
- Calculez $ppcm(102,138)$.
-\end{Exo}
+\item Montrons que \og $d$ est un diviseur commun à $a$ et $b$ \fg{}
+ est équivalent à \og $d$ est un diviseur commun à $b$ et $r$ \fg{}.
+\begin{itemize}
+\item Soit $d$ un diviseur commun à $a$ et $b$, qui peuvent alors s'écrire $a=da'$ et $b=db'$. L'égalité $a=bq+r$ devient $da'=db'q+r$ ou encore $r=d(a'-b'q)$, donc $d$ est aussi un diviseur commun à $b$ et $r$.
-\noindent Réponse : 2346.
+\item Réciproquement, soit $d$ un diviseur commun à $b$ et $r$, qui peuvent alors s'écrire $b=db'$ et $r=dr'$ et l'égalité $a=bq+r$ devient $a=d(b'q+r')$.
+Donc $d$ est un diviseur commun à $a$ et $b$.
+\end{itemize}
-\begin{Th}
-$\Net$ est un treillis pour la divisibilité.
+Ainsi, les ensembles des diviseurs communs à $a$ et $b$
+d'une part et à $b$ et $r$ d'autre part sont identiques.
+En particulier $a\et b=b\et r$.
-On peut de plus montrer que :
+\item Si $r=0$ on a $a\et b= b\et 0$ qui est égal à $b$.
-\begin{itemize}
- \item ce treillis est distributif, c'est-à-dire que $x\ou(y\et z)=(x\ou y)\et(x\ou z)$ et que $x\et(y\ou z)=(x\et y)\ou(x\et z)$,
- \item il admet un élément minimum (1), mais pas d'élément maximum,
- \item les nombres premiers sont les éléments minimaux de ($\Net\moins\{1\}$).
-\end{itemize}
-\end{Th}
+\item Sinon, $r$ est différent de $0$ et on peut donc effectuer la
+ division euclidienne de $b$ par $r$, qui donne un reste $r_{1}$,
+ tel que $0 \le r_{1}<r$ et $b\et r=r\et r_{1}$.
+\item Cet algorithme est itéré jusqu'à l'obtention d'un reste nul, ce qui se produit obligatoirement puisqu'il s'agit d'entiers et que la suite des restes ainsi construite est strictement décroissante.
+ Le PGCD est alors l'avant-dernier reste (le dernier non nul).
+\end{enumerate}
-\begin{Def}
-Deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$ sont dits \emph{premiers entre eux} lorsque $a\et b=1$.
-\end{Def}
+\begin{Rem}
+Cet algorithme permet donc d'obtenir le PGCD de deux nombres sans connaître leurs décompositions en facteurs premiers.
+\end{Rem}
\begin{Exo}
- Soient $a,b,c,d$ des entiers naturels non nuls tels que $ad=bc$.
+Déterminer $154 \land 35$ par l'algorithme d'Euclide.
+\end{Exo}
-Prouvez que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $b|d$
+
+Voici sa programmation itérative en Python:
+
+\begin{scriptsize}
+\begin{verbatim}
+def pgcd_euclide(a,b) :
+ assert a>b and b >=0
+ while b != 0 :
+ r = a%b
+ a = b
+ b = r
+ return a
+\end{verbatim}
+\end{scriptsize}
+\bigskip
+
+\begin{Exo}[Application de l'algorithme d'Euclide]
+Si $p$ est un nombre premier, et $n$ un entier avec $n \ge 2$, on note
+$a=p^n+1$ et
+$b=p^n-1$.
+\begin{enumerate}
+\item On suppose que $p$ est égal à 2.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que $2^n -1 = 2 \times (2^{n-1} -1) +1$ pour $n \ge 2$.
+\item Calculer $d = a \et b$ au moyen de l'algorithme d'Euclide.
+\item Déterminer un couple d'entiers relatifs $(u,v)$ tels que $ua + vb=d$.
+\end{enumerate}
+\item On suppose maintenant que $p$ est différent de 2.
+ \begin{enumerate}
+\item Montrer que $a$ et $b$ sont pairs et poser $a=2A$ et $b=2B$.
+\item Calculer $A-B$. En déduire la valeur $d$ de $a \et b$.
+\item Déterminer un couple d'entiers relatifs $(u,v)$ tels que $ua + vb=d$.
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
\end{Exo}
-\noindent Réponse : En se plongeant dans le calcul modulo $b$, on a : ad = 0.
+% \begin{Exo}
+% Comme $48=2^43$ et que $56=2^37$, on voit aisément que $48\et 56=2^3$.
+% \end{Exo}
+
+% \begin{Exo}
+% Calculez $102 \ou 138$.
+% \end{Exo}
-Comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, $a$ est inversible, et donc $d=0$.
+% \noindent Réponse : 2346.
-On en déduit que $d$ est un multiple de $b$.
+% \begin{Th}
+% $\Net$ est un treillis pour la divisibilité.
+% On peut de plus montrer que :
+% \begin{itemize}
+% \item ce treillis est distributif, c'est-à-dire que $x\ou(y\et z)=(x\ou y)\et(x\ou z)$ et que $x\et(y\ou z)=(x\et y)\ou(x\et z)$,
+% \item il admet un élément minimum (1), mais pas d'élément maximum,
+% \item les nombres premiers sont les éléments minimaux de ($\Net\moins\{1\}$).
+% \end{itemize}
+% \end{Th}
-\subsection{Entiers relatifs}
-L'ensemble habituellement noté $\Z$ des entiers relatifs est obtenu à partir de $\N$ par le procédé de symétrisation pour l'addition.\\
-Sans s'étendre sur le sujet, disons que cela consiste à introduire les entiers strictement négatifs comme opposés des positifs correspondants, par $n+(-n)=0$.\\
+% \begin{Exo}
+% Soient $a,b,c,d$ des entiers naturels non nuls tels que $ad=bc$.
+% Prouvez que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $b|d$
+% \end{Exo}
+
+% \noindent Réponse : En se plongeant dans le calcul modulo $b$, on a : ad = 0.
+
+% Comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, $a$ est inversible, et donc $d=0$.
+
+% On en déduit que $d$ est un multiple de $b$.
-On sait que les porpriétés des opérations sont conservées; la seule propriété perdue dans cette extension est la compatibilté entre la relation d'ordre et la multiplication.\\
-En revanche, on gagne évidemment l'existence d'un opposé pour chaque entier.
\section{Division euclidienne dans $\Z$ et applications}
-\subsection{Définition}
+L'ensemble habituellement noté $\Z$ des entiers relatifs
+est obtenu à partir de $\N$ par le procédé de symétrisation pour l'addition:
+cela consiste à introduire les entiers strictement négatifs comme
+opposés des positifs correspondants, par $n+(-n)=0$.
On se donne deux entiers relatifs $a$ et $b$, $b$ non nul.
\begin{Def}[Division euclidienne]
Obtenir les valeurs de $q$ et de $r$, c'est effectuer la \emph{division
euclidienne}\index{division euclidienne} de $a$ par $b$.
-
-$q$ est appelé \emph{quotient}\index{quotient}, $r$ est appelé \index{reste}\emph{reste} (dans la division euclidienne).
-
-Enfin, lorsque $r$ est nul, $a$ est dit \emph{divisible} par $b$, ou $b$ est un \emph{diviseur} de $a$.
+Le nombre $q$ est appelé \emph{quotient}\index{quotient}, et
+le nombre $r$ est appelé \index{reste}\emph{reste}
+(dans la division euclidienne).
+Lorsque $r$ est nul, $a$ est dit \emph{divisible} par $b$, ou $b$ est un \emph{diviseur} de $a$.
\end{Def}
\begin{Exo}
Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $m$ par $n$ dans le cas où :
-
\begin{enumerate}
\item $m = -38$ et $n=6$,
\item $m=165$ et $n=-14$.
\end{enumerate}
-
-Réponses : (-7,4) et (-11,11).
-
\end{Exo}
-\begin{Exo}[Divisibilité dans $\N$]
+\begin{Exo}
On se place dans l'ensemble $\N$.
-
\begin{enumerate}
\item Trouver les restes dans la division par 5 du carré d'un entier.
\item Trouver les restes dans la division par 8 du carré d'un entier impair.
\end{Exo}
-\subsection{Représentation des nombres entiers}
+\section{Représentation des nombres entiers}
+
-\subsubsection{Définition}
\begin{Def}[Principe de la numération de position]
\index{Principe de la numérotation de position}
Il consiste à choisir une base $b$ de numération, et $b$ symboles qui constitueront les chiffres dans la représentation d'un entier positif en base $b$.
-
Celle-ci s'écrira alors
$$n=n_{p}b^p+n_{p-1}b^{p-1}+\cdots+n_{1}b^1+n_{0}$$
-\end{Def}
-
-\begin{Notation}
Cette écriture est abrégée en ${\left(\overline{n_{p}n_{p-1}\ldots n_{0}}\right)}_{b}$.
-\end{Notation}
+\end{Def}
-\begin{Rem}
En informatique, on utilise couramment les bases 2, 8 et 16.
-\end{Rem}
-\subsubsection{Obtention de cette représentation}
+
+
L'algorithme pour obtenir la représentation en base $b$ d'un entier est :
\item Les restes successifs (tous strictement inférieurs à $b$), et en commençant par le dernier, constituent la représentation en base $b$ de l'entier donné.
\end{enumerate}
-
-\subsubsection{Algorithme de Hörner}
-
-Réciproquement, étant donnée la représentation en base $b$ d'un
-entier, on obtient sa valeur par application de l'algorithme de Hörner :\\
-
-$n= n_{p}b^p+n_{p-1}b^{p-1}+\cdots+n_{1}b^1+n_{0}$ est calculé par
-$(......(((n_{p}b+n_{p-1})b+n_{p-2})b+\cdots+n_{1})b+n_{0})$
-
+\begin{Exo}
+Donner la représentation de 23 en base 2.
+\end{Exo}
-\subsubsection{Exercices}
\begin{Exo}[Numération, changements de base]
\begin{enumerate}
-\item Chercher les entiers dont le carré a, en représentation décimale, mêmes chiffres des dizaines et des unités.
+\item Chercher les entiers dont le carré a, en représentation décimale,
+le même chiffre pour les dizaines et les unités.
\item On pose $a=2p-1$, $b=2p+1$, $c=2p+3$; trouver l'entier $p$ de manière que $a^2+b^2+c^2$ soit de la forme $\sur{xxxx}_{10}$.
\item L'entier $n$ s'écrit $\sur{341}_{10}$ et $\sur{2331}_a$. Trouver $a$.
\item Montrer que, dans toute base $b$ supérieure ou égale à 3, l'entier qui s'écrit $\sur{11211}_b$ n'est pas premier.
-\item soit $n\geqslant 7$. Donner l'écriture de $(n+1)^4$ en base $n$.
+\item Soit $n\geqslant 7$. Donner l'écriture de $(n+1)^4$ en base $n$.
\end{enumerate}
\end{Exo}
\Z$, $p$ et $q$ premiers entre eux, et on étudiera successivement
les cas suivants:
\begin{itemize}
-\item $x$ est entier (c'est à dire $q=1$)
+\item $x$ est entier (c'est à dire $q=1$).
\item $x$ est rationnel non entier, et $q$ est premier avec 10 (On
pourra montrer que, si $q$ est premier avec 10, il existe un entier
$k$, non nul, tel que $10^k\equiv 1\ [q]$).
\end{Exo}
-\subsection{Arithmétique modulo $n$}
+\section{Arithmétique modulo $n$}
On rappelle ici la définition de la relation dite de \og congruence modulo n\fg{} définie dans $\Z$ étudiée dans le chapitre consacré aux relations entre ensembles.
\begin{Def}[Congruence modulo $n$]
Soit $n$ un entier strictement supérieur à 1 et $x$ et $y$ deux éléments de $\Z$.
-
On dit que \og $x$ est \emph{congru} à $y$ \emph{modulo}\index{congru}\index{modulo} $n$\fg{} lorsque $x$ et $y$ possèdent le même reste dans la division (euclidienne) par $n$ :
$$x \equiv y [n] \Ssi \exi k \in \Z, x-y=k \cdot n $$
\end{Def}
+\begin{Exo}
+ Calculez :
+\begin{enumerate}
+ \item $3*10^9 \mod 97$,
+\item $3^{1024} \mod 1037$.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
+
+%\noindent Réponses : 5 et 630.
+
+
+
+
\begin{Th}
-Il s'agit d'une relation d'équivalence dans $\Z$.
+La relation de congruence modulo $n$ est une relation d'équivalence dans $\Z$.
\end{Th}
\begin{Proof}
\begin{itemize}
\item $\qqs x \in \Z, x-x=0=0 \cdot n$; or $0 \in \Z$, donc $x
\equiv x [n]$ (réflexivité). \item Si $x \equiv y
-[n]$,$\exi k \in \Z$, $x-y=k \cdot n$; alors $y-x=(-k) \cdot n$, et,
+[n]$, $\exi k \in \Z$, $x-y=k \cdot n$; alors $y-x=(-k) \cdot n$, et,
puisque $k \in \Z$, $(-k) \in \Z$, donc $y \equiv x [n]$ (symétrie).
-\item Si $x \equiv y [n]$,$\exi k\in\Z$, $x-y=k \cdot n$; si, de
+\item Si $x \equiv y [n]$, $\exi k\in\Z$, $x-y=k \cdot n$; si, de
plus, $y \equiv z [n]$, $\exi l\in\Z$, $y-z=l \cdot n$; alors (par
addition), $x-z=(k+l) \times n$; comme $k\in\Z$ et $l\in\Z$,
$(k+l)\in\Z$, donc $x \equiv z [n]$ (transitivité).
On retrouve ensuite les mêmes éléments : $\dot 3=\dot 0$, etc...
\end{Ex}
-
D'une manière générale, pour $n$ quelconque, il y a exactement $n$ classes d'équivalence, notées de $\dot 0$ à $\dot {(n-1)}$, c'est-à-dire, il faut le remarquer, un nombre fini.
+
+
\begin{Th}
L'ensemble-quotient (ensemble des classes d'équivalence) de la relation de congruence modulo $n$ est un ensemble fini.
\end{Th}
\end{Ex}
+\begin{Def}
+On dit qu'une relation d'équivalence, notée $\equiv$,
+définie dans une structure algébrique $S$,
+est compatible avec les lois de $S$
+lorsque les résultats des opérations effectuées sur des éléments équivalents
+demeurent équivalents:
+\begin{itemize}
+\item pour l'addition: si $x \equiv x'$ et $y \equiv y'$,
+alors on doit avoir $x + y \equiv x' + y'$;
+\item pour la multiplication $\times$: si $x \equiv x'$ et $y \equiv y'$,
+alors on doit avoir $x \times y \equiv x' \times y'$.
+\end{itemize}
+\end{Def}
+
+
+
+
+
\begin{Th}
La relation de \og congruence modulo $n$\fg{} est compatible avec l'addition et la multiplication des nombres entiers.
\end{Th}
\begin{Proof}
-En effet, on suppose que :
+En effet, on suppose que:
\begin{itemize}
-\item $x \equiv x' [n] \Ssi \exi k\in \Z,\ x-x'=k \cdot n$ et que
+\item $x \equiv x' [n] \Ssi \exi k\in \Z,\ x-x'=k \cdot n$;
\item $y \equiv y' [n] \Ssi \exi l\in \Z, y-y'=l \cdot n$.
-\item Alors, par addition, $(x+y)-(x'+y')=(k+l)\cdot n$; $(k+l)\in\Z$, donc $(x+y)\equiv(x'+y') [n]$ : la congruence modulo $n$ est compatible avec l'addition dans $\Z$.
\end{itemize}
-En multipliant la première égalité par y : $xy-x'y=(ky)\cdot n$ et la seconde par x' : $x'y-x'y'=(x'l)\cdot n$ .
-
-Alors, par addition, $xy-x'y'=(ky+lx')\cdot n$. $(ky+lx')\in\zmat$, donc $x\cdot y\equiv x'\cdot y' [n]$ : la congruence modulo $n$ est aussi compatible avec la multiplication dans $\Z$.
+Alors:
+\begin{itemize}
+\item par addition, $(x+y)-(x'+y')=(k+l)\cdot n$; $(k+l)\in\Z$, donc $(x+y)\equiv(x'+y') [n]$: la congruence modulo $n$ est compatible avec l'addition dans $\Z$
+\item en multipliant l'égalité $x-x'=k \cdot n$ par $y$, on a
+ $xy-x'y=(ky)\cdot n$ et l'égalité
+ $y-y'=l \cdot n$
+ par $x'$ on a $x'y-x'y'=(x'l)\cdot n$.
+
+ Par addition, $xy-x'y'=(ky+lx')\cdot n$. $(ky+lx')\in\zmat$, donc $x\cdot y\equiv x'\cdot y' [n]$: la congruence modulo $n$ est aussi compatible avec la multiplication dans $\Z$.
+\end{itemize}
\end{Proof}
-\begin{Rem}
-C'est cette propriété qui permet de définir dans l'ensemble quotient $\Z/n\Z$ des opérations, dites \emph{induites} par celles qui existent dans $\Z$...
-\end{Rem}
+% \begin{Rem}
+% C'est cette propriété qui permet de définir dans l'ensemble quotient $\Z/n\Z$ des opérations, dites \emph{induites} par celles qui existent dans $\Z$...
+% \end{Rem}
\begin{Exo}
- Calculez :
+Résolvez modulo 18 les équations suivantes :
+
\begin{enumerate}
- \item $3*10^9 mod 97$,
-\item $3^{1024} mod 1037$.
+ \item $2x+17 = 15$,
+\item $3x+4 = 12$,
+\item $5x+13 = 16$.
\end{enumerate}
\end{Exo}
-\noindent Réponses : 5 et 630.
+%\noindent Réponses : \{8,17\}, \{ \} et \{15\}.
\begin{Exo}[Systèmes de congruences]
Une condition suffisante d'existence de
solutions est que $p$ et $q$ soient premiers entre eux.
-C'est le cas que nous traiterons ici; dans ce cas, il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $pu+qv=1$ (théorème de Bezout).
+C'est le cas que nous traiterons ici; dans ce cas, il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $pu+qv=1$ (théorème de Bézout).
Donc $pu \equiv 1\ [q]$ et $qv \equiv 1\ [p]$, et $x=bpu+aqv$ est une solution du système (pourquoi??); les autres sont de la forme $x + kpq$, où $k$ est un entier quelconque.
\begin{enumerate}
$$\left\{\begin{array}{ccc}
x & \equiv & 2\ [88] \\
x & \equiv & 1\ [27] \\
-\end{array}\right.$$
-\item {\it Application: Problème du cuisinier}: Une bande de 17 pirates s'est emparée d'un butin composé de pièces d'or, toutes d'égale valeur.
+\end{array}\right..$$
+\item {\it Application au problème du cuisinier}: une bande de 17 pirates s'est emparée d'un butin composé de pièces d'or, toutes d'égale valeur.
Ils décident de se les partager également et de donner le reste éventuel au cuisinier. Celui-ci recevrait alors 3 pièces d'or.
\end{Exo}
-\begin{Exo}
-Résolvez modulo 18 les équations suivantes :
-
-\begin{enumerate}
- \item $2x+17 = 15$,
-\item $3x+4 = 12$,
-\item $5x+13 = 16$.
-\end{enumerate}
-\end{Exo}
-
-\noindent Réponses : \{8,17\}, \{ \} et \{15\}.
\begin{Exo}
Si $m$ est un entier naturel plus grand que 2, quel est l'inverse de $m-1$ modulo $m$ ?
\end{Exo}
-\noindent Réponse : $m-1$.
+%\noindent Réponse : $m-1$.
\begin{Exo}
Un nombre \og pseudo-premier de base $b$ \fg{}\index{pseudo-premier} est un entier naturel non premier $p$ tel que $(b^p-b) mod p = 0$.
-
Vérifier que 561 est pseudo-premier de base 3 et que 341 est pseudo-premier de base 2.
\end{Exo}
-\subsection{Division \og entière\fg{} informatique et division euclidienne}
+\section{Arithmétique en informatique}
-La plupart des langages de programmation utilisés en informatique disposent d'un type de données pour représenter ce que les informaticiens appellent les entiers signés (les entiers relatifs) et possèdent des opérateurs pour effectuer les calculs classiques sur ces nombres.\\
+La plupart des langages de programmation utilisés en informatique disposent d'un type de données pour représenter ce que les informaticiens appellent les entiers signés (les entiers relatifs) et possèdent des opérateurs pour effectuer les calculs classiques sur ces nombres.
+\subsection{Division entière}
-En C ou java, par exemple, le symbole $/$ représente le quotient dans la \og division entière\fg{} et le symbole $\%$ représente ce que les informaticiens appellent improprement le modulo (le reste dans leur \og division entière\fg{} ).\\
+En C ou java, par exemple, le symbole $/$ représente le quotient dans la \og division entière\fg{} et le symbole $\%$ représente ce que les informaticiens appellent improprement le modulo (le reste dans leur \og division entière\fg{} ).
-Pour des raisons pratiques de réalisation des micro-circuits des processeurs qui réalisent ces opérations, la \og division entière\fg{} ne donne pas exactement le même résultat que la division euclidienne.\\
+Pour des raisons pratiques de réalisation des micro-circuits des processeurs qui réalisent ces opérations, la \og division entière\fg{} ne donne pas exactement le même résultat que la division euclidienne.
Considérons par exemple les 4 cas possibles de division euclidienne de $a$ par $b$ lorsque $|a|=29$ et $|b|=7$ (en n'oubliant pas que le reste d'une division euclidienne ne peut être que positif)
-\bigskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\end{tabular}
\end{center}
-\bigskip
-Autrement dit, mathématiquement, le quotient est positif lorsque les deux nombres ont le même signe et le reste est toujours positif, et, pour que le reste soit toujours positif, le quotient peut ne pas être le quotient des valeurs absolues.\\
+
+Autrement dit, mathématiquement, le quotient est positif lorsque les deux nombres ont le même signe et le reste est toujours positif, et, pour que le reste soit toujours positif, le quotient peut ne pas être le quotient des valeurs absolues.
-Informatiquement, le \og quotient\fg{} est positif lorsque les nombres ont le même signe, le \og reste\fg{} a le signe du dividende, et la valeur absolue du \og quotient\fg{} est toujours le quotient des valeurs absolues.\\
+Informatiquement, le \og quotient\fg{} est positif lorsque les nombres ont le même signe, le \og reste\fg{} a le signe du dividende, et la valeur absolue du \og quotient\fg{} est toujours le quotient des valeurs absolues.
Dans les applications de calcul arithmétique, par exemple un calcul de PGCD, ce n'est pas gênant parce que les restes \og informatiques\fg{} sont congrus aux restes mathématiques modulo la valeur absolue du
-diviseur, et qu'il ne s'agit alors que du choix d'un représentant de la classe concernée (addition et multiplication étant compatibles avec la congruence modulo $n$).\\
+diviseur, et qu'il ne s'agit alors que du choix d'un représentant de la classe concernée (addition et multiplication étant compatibles avec la congruence modulo $n$).
Mais il faut quand même savoir que l'on peut obtenir un \og reste\fg{} négatif et prendre ses dispositions le cas échéant...
-\subsection{Arithmétique modulo $2^n$ dans les ordinateurs}
+\subsection{Arithmétique modulo $2^n$}
-\subsubsection{Présentation générale}
+
-Les calculs sur les entiers, dans un ordinateur, se font dans $\Z/2^n\Z$, où $n$ est le nombre de bits utilisés dans la représentation de ces nombres.\\
+Les calculs sur les entiers, dans un ordinateur, se font dans $\Z/2^n\Z$, où $n$ est le nombre de bits utilisés dans la représentation de ces nombres.
-Dans la plupart des microprocesseurs, les entiers sont représentés sur 32 bits, les calculs se font donc dans $\Z/2^{32}\Z$ (et qu'ils le soient sur 64 bits ne change rien au problème).\\
+Dans la plupart des microprocesseurs, les entiers sont représentés sur 64 bits, les calculs se font donc dans $\Z/2^{64}\Z$.
Disposer d'entiers signés ou d'entiers non signés est uniquement une question de choix du représentant dans les classes d'équivalence, mais
-la représentation physique est la même.\\
+la représentation physique est la même.
-Comme il nous est difficile de représenter ici la liste compléte de tous ces entiers, nous allons illustrer ce propos en supposant que les entiers sont représentés sur 4 bits.\\
+Comme il nous est difficile de représenter ici la liste compléte de tous ces entiers, nous allons illustrer ce propos en supposant que les entiers sont représentés sur 4 bits.
+Pour des mots de 4 bits, il y a alors 16 entiers représentables : (a.s.= arithmétique signée, a.n.s. = arithmétique non signée)
-\subsubsection{Illustration dans le cas de 4 bits.}
-
-Pour des mots de 4 bits, il y a alors 16 entiers représentables : (a.s.= arithmétique signée, a.n.s. = arithmétique non signée)\vskip 10pt
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
code binaire & & a.s. & a.n.s. \\ \hline
0000 & interprété par & 0 & 0 \\ \hline
\end{tabular}\end{center}\vskip 10pt
-Pourquoi ce choix ? Pourquoi ne pas avoir, en a.s., représenté les entiers dans l'ordre croissant de 0000 (-8) à 1111 (7)?\\
+Pourquoi ce choix ? Pourquoi ne pas avoir, en a.s., représenté les entiers dans l'ordre croissant de 0000 (-8) à 1111 (7)?
\begin{itemize}
\item Tout simplement pour des raisons d'efficacité : 0 doit toujours être représenté par le code \og nul\fg{} 0000.
\bigskip
-Ces principes ont ainsi conduit à placer les codes interprétés comme entiers négatifs après ceux qui représentent les entiers positifs.\\
+Ces principes ont ainsi conduit à placer les codes interprétés comme entiers négatifs après ceux qui représentent les entiers positifs.
Par ailleurs, on s'aperçoit que, de cette manière, les codes des entiers
négatifs commencent tous par 1.
On parle improprement de \og bit de signe\fg{}\index{bit de signe}: s'il s'agissait d'un véritable bit de signe, le code 1001 devrait être celui de -1, or c'est celui de -7.
-Mais il n'en reste pas moins que tous les entiers négatifs commencent par 1).\\
-
+Mais il n'en reste pas moins que tous les entiers négatifs commencent par 1).
-Ainsi, il est facile de déduire la comparaison signée de la comparaison non signée : les codes qui commencent par 1 sont \og plus petits\fg{} que ceux qui commencent par 0, et, s'ils commencent par le même bit, c'est la comparaison non signée qui peut être utilisée.\\
+Ainsi, il est facile de déduire la comparaison signée de la comparaison non signée : les codes qui commencent par 1 sont \og plus petits\fg{} que ceux qui commencent par 0, et, s'ils commencent par le même bit, c'est la comparaison non signée qui peut être utilisée.
-Mais il y a quand même deux instructions assembleur distinctes pour la comparaison signée et pour la comparaison non signée.
-\subsubsection{Quelques exemples de calculs.}
-Pour l'addition et la soustraction, les opérations et les tests de validité des résultats sont les mêmes en arithmétique signée et non signée.\\
-
-\noindent Pour la multiplication, l'instruction assembleur n'est pas la même (le dépassement de capacité doit être ignoré en a.s. dans le dernier exemple).
+Pour l'addition et la soustraction, les opérations et les tests de validité des résultats sont les mêmes en arithmétique signée et non signée.
+Pour la multiplication, l'instruction n'est pas la même (le dépassement de capacité doit être ignoré en a.s. dans le dernier exemple).
\begin{Ex}
-\section{Algorithmes d'Euclide et applications}
-
-\subsection{PGCD de deux entiers}
-
-On a vu plus haut la justification de l'existence du PGCD de deux nombres strictement positifs par comparaison de leurs décompositions en facteurs premiers.\\
-
-
-Par définition, le PGCD de $a$ non nul avec 0 est $a$ (défintion raisonnable, car 0 est divisible par tout entier non nul, donc par $a$, qui l'est aussi par $a$) et enfin le PGCD de 0 et de 0 n'est pas
-défini.
-
-
-Il est possible de considérer des nombres négatifs (bien que ce soit sans grand intérêt dans les applications pratiques), mais le PGCD est celui des valeurs absolues.\\
-
-L'algorithme consistant à comparer les décompositions en facteurs premiers n'est pas efficace, la découverte de diviseurs de nombres très grands est un problème difficile dont nous reparlerons plus loin.
-
-
-\subsection{Algorithme d'Euclide}
-
-\subsubsection{Algorithme}
-\index{algorithme!d'Euclide}
-On se limite ici au cas de deux entiers $a$ et $b$ strictement positifs. \\
-
-\noindent Supposons par exemple $a>b$...
-
-\begin{enumerate}
-\item La division euclidienne de $a$ par $b$ peut s'écrire $a=bq+r$ avec $0\infeg r<b$.
-
-\item Soit $d$ un diviseur commun à $a$ et $b$, qui peuvent alors s'écrire $a=da'$ et $b=db'$.
-
-\item L'égalité $a=bq+r$ devient $da'=db'q+r$ ou encore $r=d(a'-b'q)$, donc $d$ est aussi un diviseur commun à $b$ et $r$.
-
-\item Réciproquement, soit $d$ un diviseur commun à $b$ et $r$, qui peuvent alors s'écrire $b=db'$ et $r=dr'$ et l'égalité $a=bq+r$ devient $a=d(b'q+r')$.
-
-Donc $d$ est un diviseur commun à $a$ et $b$, et, par inclusion réciproque, les ensembles des diviseurs communs à $a$ et $b$ d'une part et à $b$ et $r$ d'autre part sont identiques.
-
-En particulier $a\et b=b\et r$.
-
-\item Si $r=0$, le $a\et b=b$, sinon on peut effectuer la division euclidienne de $b$ par $r$, qui donne un reste $r_{1}$, tel que $r_{1}<r$ et $b\et r=r\et r_{1}$.
-
-\item Cet algorithme est itéré jusqu'à l'obtention d'un reste nul, ce qui se produit obligatoirement puisqu'il s'agit d'entiers et que la suite des restes ainsi construite est strictement décroissante.
-\item Le PGCD est alors l'avant-dernier reste (le dernier non nul).
-\end{enumerate}
-
-\begin{Rem}
-Cet algorithme permet donc d'obtenir le PGCD de deux nombres sans connaître leurs décompositions en facteurs premiers.
-\end{Rem}
-
-\subsubsection{Programmation}
-
-Voici sa programmation itérative en C :
-
-\bigskip
-
-{\prol int pgcd ( int a , int b ) \{
-{\dec int r ;
-while ( b != 0 ) \{
-{\dec r = a \% b ;
- a = b ;
- b = r ;
- } \}
- return a ;
- }\}
- }
-
-\bigskip
-
-\noindent (en toute rigueur, il faudrait vérifier que $a$ et $b$ sont bien positifs; par ailleurs, cette fonction retourne 0 comme PGCD de 0 et de 0 : à vérifier avant l'appel).
-
-\bigskip
-
-Voici sa programmation récursive :
-
-\bigskip
-
- {\prol int pgcd ( int a , int b ) \{
-{\dec
-if ( b == 0 )
-{\dec return a ;}
-else
-{\dec return pgcd ( b , a \% b ) ;}
-}\}}
-
-
-
-\subsection{Théorème de Bézout}
+\section{Théorème de Bézout}
On considère deux nombres entiers strictement positifs $a$ et $b$.
Réciproquement, montrer que, si les quotients obtenus en divisant $a$ et $b$ par un diviseur commun $d$ sont premiers entre eux, alors $d=pgcd(a,b)$.
\end{Exo}
-\noindent Réponse : Soit $d = pgcd(a,b)$, et $q_1$ et $q_2$ les quotients de $a$ et $b$ par $d$. Alors $d = aa'+bb' = d q_1 a' + d q_2 b'$. Donc $1 = q_1 a' + q_2 b'$ : $q_1$ et $q_2$ sont premiers entre eux. La réciproque est du même genre.
+\noindent Réponse : Soit $d = \textit{PGCD}(a,b)$, et $q_1$ et $q_2$ les quotients de $a$ et $b$ par $d$. Alors $d = aa'+bb' = d q_1 a' + d q_2 b'$. Donc $1 = q_1 a' + q_2 b'$ : $q_1$ et $q_2$ sont premiers entre eux. La réciproque est du même genre.
\subsection{Algorithme d'Euclide généralisé}
-\subsubsection{Idée de base.}
-Pour deux entiers positifs $a$ et $b$, on a vu que l'algorithme d'Euclide s'écrit : $a \et b = b \et r$, où $r$ est le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.\\
+
+Pour deux entiers positifs $a$ et $b$, on a vu que l'algorithme d'Euclide s'écrit : $a \et b = b \et r$, où $r$ est le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.
-En supposant $a>b$, si on pose $a=r_0$ et $b=r_1$, on définit une famille finie $(r_0,r_1,\ldots,r_k,r_{k+1})$ par $r_i=q_{i+1}r_{i+1}+r_{i+2}$ (c'est-à-dire que $r_{i+2}$ est le reste dans la division euclidienne de $r_i$ par $r_{i+1}$).\\
+En supposant $a>b$, si on pose $a=r_0$ et $b=r_1$, on définit une famille finie $(r_0,r_1,\ldots,r_k,r_{k+1})$ par $r_i=q_{i+1}r_{i+1}+r_{i+2}$ (c'est-à-dire que $r_{i+2}$ est le reste dans la division euclidienne de $r_i$ par $r_{i+1}$).
\noindent Cette famille...
\bigskip
-On remarque que $r_{k-1}$ est un multiple de $r_k$, puisque la division euclidienne de $r_{k-1}$ par $r_k$ s'écrit $r_{k-1}=q_kr_k$.\\
+On remarque que $r_{k-1}$ est un multiple de $r_k$, puisque la division euclidienne de $r_{k-1}$ par $r_k$ s'écrit $r_{k-1}=q_kr_k$.
-Soit $d$ le PGCD de $a$ et de $b$ (évidemment, $d=r_k$), on peut écrire $1 \times r_k-0 \times r_{k-1} = d$ puis $1 \times r_{k-2} - q_{k-1} \times r_{k-1}=d$.\\
+Soit $d$ le PGCD de $a$ et de $b$ (évidemment, $d=r_k$), on peut écrire $1 \times r_k-0 \times r_{k-1} = d$ puis $1 \times r_{k-2} - q_{k-1} \times r_{k-1}=d$.
-D'une manière générale, si $(u,v)$ est un couple de Bézout pour $r_{i+1}$ et $r_{i+2}$, soit $u \cdot r_{i+1}+v \cdot r_{i+2}=d$, comme $r_i=q_{i+1}\cdot r_{i+1} + r_{i+2}$, on a $u\cdot r_{i+1}+v \cdot (r_i-q_{i+1}\cdot r_{i+1})=d$, soit $(u-q_{i+1}\cdot v)\cdot r_{i+1}+v \cdot r_i=d$.\\
+D'une manière générale, si $(u,v)$ est un couple de Bézout pour $r_{i+1}$ et $r_{i+2}$, soit $u \cdot r_{i+1}+v \cdot r_{i+2}=d$, comme $r_i=q_{i+1}\cdot r_{i+1} + r_{i+2}$, on a $u\cdot r_{i+1}+v \cdot (r_i-q_{i+1}\cdot r_{i+1})=d$, soit $(u-q_{i+1}\cdot v)\cdot r_{i+1}+v \cdot r_i=d$.
-\subsubsection{L'algorithme.}
+\subsection{L'algorithme.}
\index{algorithme!d'Euclide!généralisé}
Ceci donne l'idée de construire deux familles par les relations :
\begin{itemize}
\item $v_0=0$, $v_1=1$, $v_{i+2}=v_i-q_{i+1} \cdot v_{i+1}$.
\end{itemize}
-C'est ce que l'on appelle algorithme d'Euclide généralisé. On a alors $(u_k,v_k,r_k)=(u,v,d)$, $u$ et $v$ tels que $a \cdot u+b \cdot v=d$.\\
+C'est ce que l'on appelle algorithme d'Euclide généralisé. On a alors $(u_k,v_k,r_k)=(u,v,d)$, $u$ et $v$ tels que $a \cdot u+b \cdot v=d$.
\begin{Pre}
Pour cela, il suffit de montrer par récurrence que $\qqs i \in
\end{Pre}
-\subsubsection{Exemple.}
+\subsection{Exemple.}
Illustrons la mise en \oe{}uvre de cet algorithme...
\begin{Rem}
Il est possible d'obtenir -1 (ou $-d$ en général) comme résultat, donc $au-bv=-1$, cela dépend de la parité du nombre d'itérations effectuées dans l'algorithme précédent.
-Ce n'est pas un résultat faux, puisqu'alors $bv-au=1$ et qu'on a quand même un couple de Bézout pour $(b,a)$.\\
+Ce n'est pas un résultat faux, puisqu'alors $bv-au=1$ et qu'on a quand même un couple de Bézout pour $(b,a)$.
S'il est nécessaire d'obtenir un couple $(u,v)$ tel que $au-bv=1$
et où $a$ et $b$ figurent dans cet ordre, et que l'algorithme a fourni un couple $(u',v')$ tel que $bv'-au'=1$, il suffit de prendre $u=b-u'$ et $v=a-v'$ et, dans ces conditions $au-bv=a(b-u')-b(a-v')= ab -au' -ab +bv'=bv'-au'=1$.
Exprimer $pgcd(1330,602)$ comme combinaison à coefficients entiers des nombres 1330 et 602.
\end{Exo}
-\noindent Réponse $14 = 1330*(-19)+602*42$.
+\begin{Theo}[Théorème de Gauss]
+Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers naturel non nuls.
+Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ est premier avec $b$,
+alors $a$ divise $c$.
+\end{Theo}
+
+
+\begin{Exo}
+L'objectif est de résoudre l'équation $(E)$ d'inconnues $x$ et $y$
+$405x -120y =15$.
+\begin{enumerate}
+\item Trouver le pgcd de 405 et 120 à l'aide de l'algorithme d'Euclide.
+\item En déduire une solution particulière de cette équation.
+\item En utilisant la solution particulière, montrer que $(E)$ est
+ équivalente à $27(x-3) = 8(y-10)$.
+\item Utiliser le théorème de Gauss pour montrer que
+ l'ensemble solution de $(E)$ est $\{(8k+3;27k+10)| k \in \Z\}$.
+\end{enumerate}
+\end{Exo}
-\gsaut
\centerline{\x{Fin du Chapitre}}
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