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-\section{Nombres entiers naturels ($\N$)}
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-\subsection{Définition de $\N$}
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-\subsubsection{Définition}
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-\begin{Def}[Ensemble des entiers naturels]
-On appelle \emph{ensemble des nombres entiers naturels}\index{entiers naturels} $\N$ tout ensemble possédant les propriétés suivantes
-\begin{enumerate}
-\item Il existe une injection de $\N$ dans $\N$.
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-Cette injection, appelée \emph{fonction de succession}\index{fonction!de succession}, sera notée $s$ dans la suite.
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-L'image d'un entier $n$ par la fonction de succession $s$, soit $s(n)$, est appelée \emph{successeur} \index{successeur} de $n$.\\
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-\item Il existe un élément de $\N$ qui n'est le successeur d'aucun élément de $\N$.
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-Cet élément est appelé \og \emph{zéro}\fg{}\index{zéro} et noté 0 dans la suite.
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-\item Le \og \emph{Principe de récurrence} \fg{} \index{principe de récurrence} \index{récurrence} est satisfait :
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-Soit $M$ la partie de $\N$ constituée par les entiers qui possèdent une certaine propriété $p$. On note \og $p(n)$\fg{} le fait que l'entier $n$ possède la propriété $p$.
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-\begin{Th}[Principe de récurrence]
-Il s'énonce ainsi : \og Si $M$ contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments, alors $M=\N$.\fg{}
-\end{Th}
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-Sous forme formalisée...
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-Soit $M=\{n\in\N \mid p(n)\}$; si $0\in M$ et si $[n \in M \Imp s(n) \in M]$, alors $M=\N$.
-\end{enumerate}
-\end{Def}
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-\begin{Rem}
- $M=\N$ signifie évidemment que la propriété est
-possédée par tous les entiers naturels. C'est, en général, la conclusion attendue d'un \og raisonnement par récurrence\fg{}
-\end{Rem}
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-\subsubsection{Sur la récurrence}
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-Il existe une version \og affaiblie\fg{} du principe de récurrence : la récurrence restreinte, qui permet de s'assurer qu'une propriété est vraie à partir d'un certain rang...
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-\begin{Th}[Récurrence restreinte]
-\index{récurrence!restreinte}
-Soit $M=\{n\in\N \mid p(n)\}$.
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-Si $p\in M$ et si, $[n \in M \Imp s(n) \in M]$, alors $M$ est de la forme $\{p,p+1,p+2,\ldots\}$.
-\end{Th}
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-Il existe encore une version \og renforcée\fg{} : la récurrence généralisée, qui permet de \og supposer la
-propriété vraie jusqu'à l'ordre $n$\fg{}...
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-\begin{Th}[Récurrence généralisée]
-\index{récurrence!généralisée}
- Soit $M=\{n\in\N \mid p(n)\}$.
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-Si, $\qqs p \in M$, $\{0,1,2,\ldots,p\} \sse M$ et si $s(p)\in M$, alors $M=\N$.
-\end{Th}
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-\begin{Proof}
- Elle se démontre à partir de la récurrence \og normale\fg{}.
-\end{Proof}
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-\begin{Rem}
-La récurrence généralisée permet d'éviter un double raisonnement par récurrence.
-\end{Rem}
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-\noindent Manière correcte de rédiger un raisonnement par récurrence :
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