tel/TPmatlab/integration/TP3i/verifie_nullite_gauss.m

   1 function [eta1,eta2]=verifie_nullite_gauss(c,n)\r
   2 \r
   3 \r
   4 %       verifie_nullite_gauss : calcul de l'orthogonalité et de la normalisation des polynômes calculés numériquement\r
   5 %\r
   6 % *********************************************************\r
   7 %\r
   8 %       [eta1,eta2]=verifie_nullite_gauss(c,n) : \r
   9 %        vérifie numériquement que les polynômes de Gauss P_0, ..., P_n\r
  10 %        sont orthogonaux avec la condition de normalité :\r
  11 %            P_r(1)=1 pour Legendre et Tchebytchev\r
  12 %            P_r(0)=1 pour Laguerre\r
  13 %            le coefficient domimant de P_r est 2^{r} pour Hermite\r
  14 %\r
  15 %       variables d'entrées : \r
  16 %    *  n : entier naturel.\r
  17 %     * c définit la méthode : \r
  18 %            c=1 : Gauss-Legendre,\r
  19 %            c=2 : Gauss-Tchebytchev,\r
  20 %            c=3 : Gauss-Hermite,\r
  21 %            c=4 : Gauss-Laguerre.\r
  22 %       variables de sortie\r
  23 %   *   eta1= max_{0<=r<=n} |P_r(1)-1| pour Legendre et Tchebychev\r
  24 %       eta1= max_{0<=r<=n} |P_r(0)-1| pour Laguerre\r
  25 %       eta1= max_{0<=r<=n} |2^r-coefficient dominant(P_r)|=0 pour Hermite\r
  26 %          et \r
  27 %       eta2=max_{0<=r,s<=n, r~=s}|<P_r,P_s>|\r
  28 %              (calculé par intégration en symbolique)\r
  29 %\r
  30 %   eta1 et eta2 doivent être nuls.\r
  31 %\r
  32 % \r
  33 % ************ Fonctions auxiliaires utilisées ************\r
  34 %\r
  35 %    calcul_poly_gauss\r
  36 %\r
  37 % *********************************************************\r
  38 \r
  39 \r
  40 % Contrôles d'entrée\r
  41 % nombre d'arguments\r
  42 if nargin~=2\r
  43    error('nombre d''arguments de la fonction incorrect');\r
  44 end\r
  45 % autres tests éventuels \r
  46 if (fix(n)~=n) | (n<0)\r
  47    error('l''entier n doit être un entier naturel');\r
  48 end\r
  49 if ~((c==1) | (c==2) | (c==3) | (c==4))\r
  50    error('c doit être un entier égal à 1, 2, 3 ou 4');\r
  51 end\r
  52 \r
  53 % Corps d'algorithme.\r
  54 P=calcul_poly_gauss(c,n);\r
  55 ermax=0;\r
  56 if (c==1) | (c==2)\r
  57    for r=0:n\r
  58       er=abs(polyval(P(r+1,1:r+1),1)-1);\r
  59       ermax=max(er,ermax);\r
  60    end\r
  61 end\r
  62 if (c==3)\r
  63    for r=0:n\r
  64       er=abs(P(r+1,1)-2^r);\r
  65       ermax=max(er,ermax);\r
  66    end\r
  67 end\r
  68 if (c==4) \r
  69    for r=0:n\r
  70       er=abs(polyval(P(r+1,1:r+1),0)-1);\r
  71       ermax=max(er,ermax);\r
  72    end\r
  73 end\r
  74 eta1=ermax;\r
  75 syms x a b;\r
  76 switch c\r
  77    case 1\r
  78       a=sym(-1);\r
  79       b=sym(1);\r
  80       w=sym(1);      \r
  81    case 2\r
  82       a=sym(-1);\r
  83       b=sym(1);\r
  84       w=1/sqrt(1-x^2);      \r
  85    case 3\r
  86       a=-sym(inf);\r
  87       b=sym(inf);\r
  88       w=exp(-x^2);\r
  89    case 4\r
  90       a=sym(0);\r
  91       b=sym(+inf);\r
  92       w=exp(-x);\r
  93 end     \r
  94 ermax=0;\r
  95 for r=0:n\r
  96    for s=0:r-1\r
  97       R=conv(P(r+1,1:r+1),P(s+1,1:s+1));\r
  98       f=poly2sym(R);\r
  99       er=double(abs(simplify(int(f*w,a,b))));\r
 100       ermax=max(er,ermax);\r
 101    end\r
 102 end\r
 103 eta2=ermax;\r