IWCMC14/HLG.tex

   1 Let us first the basic recalls of the~\cite{HLG09} article.
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   4 The  precise the context of video sensor network as represeted for instance
   5 in figure~\ref{fig:sn}.
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   7 \begin{figure}
   8 \begin{center}
   9 \includegraphics[scale=0.5]{reseau.png}
  10 \caption{SN with 10 sensor}\label{fig:sn}.
  11 \end{center}
  12 \end{figure}
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  15 Let us give a formalisation of such a wideo network sensor.
  16 We start with the flow formalising:
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  18 The video sensor network is represented as a strongly
  19 connected oriented labelled graph.
  20 In this one,
  21 the nodes, in a set $N$ are sensors, links, or the sink.
  22 Furtheremore, there is an edge from $i$ to $j$ if $i$ can
  23 send a mesage to $j$. The set of all edges is further denoted as
  24 $L$ .
  25 This boolean information is stored as a
  26 matrix $A=(a_{il})_{i \in N, l \in L}$,
  27 where
  28 $a_{il} =
  29 \left\{
  30     \begin{array}{rl}
  31       1 & \textrm{if $l$ starts with $i$ } \\
  32       -1 & \textrm{si $l$ ends width $i$ }  \\
  33       0 & \textrm{otherwise}
  34     \end{array}
  35   \right.$.
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  38 Let $V \subset N $ be the set of the video sensors of $N$.
  39 Let thus $R_h$, $R_h \geq 0$  be the encoding rate of  video sensor $h$, $h \in V$.
  40 Let $\eta_{hi}$ be the  production rate of the $i$ node, for the $h$ session. More precisely, we have
  41   $$
  42 \eta_{hi} =
  43 \left\{
  44     \begin{array}{rl}
  45       R_h & \textrm{si $i$ est $h$} \\
  46       -R_h & \textrm{si $i$ est le puits} \\
  47       0 & \textrm{sinon}
  48     \end{array}
  49   \right.$$
  50
  51 We are then left to focus on the flows in this network.
  52 Let $x_{hl}$, $x_{hl}\geq 0$, be the flow inside the edge $l$ that
  53 issued from the $h$ sesssion and
  54 let $y_l = \sum_{h \in V}x_{hl} $ the sum of all the flows inside $l$.
  55 Thus, what is produced inside the $i^{th}$ sensor for session $h$
  56 is  $ \eta_{hi} = \sum_{l \in L }a_{il}x_{hl} $.
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  58
  59 The encoding power of the $i$ node is $P_{si}$, $P_{si} > 0$.
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  61 The distortion is bounded $\sigma^2 e^{-\gamma . R_h.P_{sh}^{}2/3} \leq D_h$.
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  63 The initial energy of the $i$ node is  $B_i$.
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  65 The overall consumed powed of the $i$ node is
  66 $P_{si}+ P_{ti} + P_{ri}=
  67 P_{si}+ \sum_{l \in L}a_{il}^{+}.c^s_l.y_l +
  68 \sum_{l \in L} a_{il}^{-}.c^r.y_l \leq q.B_i.
  69 $
  70
  71 The objective is thus to find $R$, $x$, $P_s$  which minimize
  72  $q$ under the following set of constraints
  73 \begin{enumerate}
  74 \item $\sum_{l \in L }a_{il}x_{hl} = \eta_{hi},\forall h \in V, \forall i \in N  $
  75 \item $ \sum_{h \in V}x_{hl} = y_l,\forall l \in L$
  76 \item $\dfrac{\ln(\sigma^2/D_h)}{\gamma.P_{sh}^{2/3}} \leq R_h \forall h \in V$
  77 \item \label{itm:q} $P_{si}+ \sum_{l \in L}a_{il}^{+}.c^s_l.y_l +
  78 \sum_{l \in L} a_{il}^{-}.c^r.y_l \leq q.B_i, \forall i \in N$
  79 \item $x_{hl}\geq0, \forall h \in V, \forall l \in L$
  80 \item $R_h \geq 0, \forall h \in V$
  81 \item $P_{sh} > 0,\forall h \in V$
  82 \end{enumerate}
  83
  84
  85 To achieve a local optimisation, the problem is translated into an
  86 equivalent one:
  87
  88 \begin{itemize}
  89 The objective is thus to find $R$, $x$, $P_s$  which minimize
  90 $\sum_{i \in N }q_i^2$ with the same set of constraints, but
  91 item \ref{itm:q}, which is replaced by:
  92
  93 $$P_{si}+ \sum_{l \in L}a_{il}^{+}.c^s_l.\left( \sum_{h \in V}x_{hl} \right) +
  94 \sum_{l \in L} a_{il}^{-}.c^r.\left( \sum_{h \in V}x_{hl} \right) \leq q.B_i, \forall i \in N$$
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  96 \JFC{Vérifier l'inéquation précédente}
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  98 The authors then aplly a dual based approach with Lagrange multiplier
  99 to solve such a problem.
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 103
 104 \inputFrameb{Formulation simplifiée}{formalisationsimplifiee}