IWCMC14/convergence.tex

   1 Let us first have a discussion on the stop criterion of the cited algorithm.
   2 We claim that even if the variation of the dual function
   3 (recalled in equation (\ref{eq:dualFunction}))
   4 is less than a given
   5 threshold, this does not ensure that the lifetime has been maximized.
   6 Minimizing a function on a multiple domain (as the dual function)
   7 may indeed easily fall into a local trap because some of introduced
   8 variables may lead to uniformity of the output.
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  10 \begin{figure}
  11   \begin{center}
  12     \includegraphics[scale=0.5]{amplrate.png}
  13   \end{center}
  14   \caption{Relations between dual function variation and convergence of all the $q_i$}
  15   \label{fig:convergence:scatterplot}
  16 \end{figure}
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  18 To explain this, we introduce the maximum amplitude rate $\zeta$
  19 of the sequence of $q$ which is defined as
  20 $$
  21 \dfrac{\max_{i \in N} \{q_i\}}
  22 {\min_{i \in N} \{q_i\}}-1.
  23 $$
  24 The Figure~\ref{fig:convergence:scatterplot} presents
  25 a scatter plot between $\zeta$, which
  26 is represented in $y$-coordinate
  27 with respect to the
  28 value of the threshold for dual function that is represented in
  29 $x$-coordinate.
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  32 Experiments shown that even if the dual
  33 function seems to be constant
  34 (variations between two evaluations of this one is less than $10^{-5}$)
  35 not all the $q_i$ have the same value, \textit{i. e.}, $\zeta$ is still large.
  36 For instance, even with a threshold set to $10^{-5}$ there still can be more than
  37 45\% of differences between two $q_i$.
  38 To summarize, a very small threshold is a necessary condition, but not
  39 a sufficient criteria to observe convergence of $q_i$.
  40 In the following, we consider the system are $\epsilon$-stable  if both
  41 maximum amplitude rate and the dual function are less than a threshold
  42 $\epsilon$.
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