12TIPE.tex

   1
   2
   3 Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel et $f$ une fonction de
   4 $\Bool^{{\mathsf{N}}}$ dans lui-même.
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   7 \subsection{Des itérations unaires aux itérations parallèles}
   8
   9 Dans le schéma unaire, à la  $t^{\textrm{ème}}$ itération,
  10 seul le  $s_{t}^{\textrm{ème}}$
  11 composant (entre 1 et $n$) est mis à jour.
  12 Pour une stratégie $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$
  13 (\textit{i.e.}, une séquence d'indices
  14 de $\llbracket 1;\mathsf{N} \rrbracket$), on peut définir
  15 la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket$
  16 vers $\Bool^\mathsf{N}$ par
  17 \[
  18 F_{f_u}(x,i)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_\mathsf{N}).
  19 \]
  20
  21 Dans le schéma des itérations unaires pour une configuration initiale
  22 $x^0\in\Bool^\mathsf{N}$ et une stratégie $s\in
  23 \llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket^\Nats$, les configurations $x^t$
  24 sont définies par la récurrence
  25 \begin{equation}\label{eq:asyn}
  26 x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,s_t).
  27 \end{equation}
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  30 On peut alors construire l'espace
  31 $\mathcal{X}_u =
  32 \Bool^{{\mathsf{N}}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats}$
  33 et la fonction d'iteration $G_{f_u}$ définie  de
  34 $\mathcal{X}_u$
  35 dans lui-même par
  36 \begin{equation}
  37 G_{f_u}(x,s)=(F_{f_u}(x,s_0),\sigma(s)).
  38 \label{eq:sch:unaire}
  39 \end{equation}
  40
  41 Dans cette définition, la fonction
  42 $\sigma: \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats} \longrightarrow
  43  \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats}
  44 $
  45 décale
  46 la stratégie fournie en argument d'un élément vers la gauche en supprimant
  47 l'élément de tête. Ceci se formalise par
  48 $$
  49 \sigma((u^k)_{k \in \Nats}) =  (u^{k+1})_{k \in \Nats}.
  50 $$
  51
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  53 Ainsi, effectuer des itérations unaires sur la fonction
  54 $f$ selon une stratégie $s$ revient à effectuer des itérations
  55 parallèles de la fonctions $G_{f_u}$ dans  $\mathcal{X}_u$.
  56 La section suivante introduit une métrique sur $\mathcal{X}_u$.
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  58 \subsection{Une métrique pour $\mathcal{X}_u$}
  59 Sur $\mathcal{X}_u$,
  60 on définit la distance $d$ entre les points $X=(x,s)$ et
  61 $X'=(x',s')$ de $\mathcal{X}_u$ par
  62 \[
  63 d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(s,s'),~\textrm{où}~
  64 \left\{
  65 \begin{array}{l}
  66 \displaystyle{d_H(x,x')=\sum_{i=1}^n |x_i-x'_i|}\\[5mm]
  67 \displaystyle{d_S(s,s')=\frac{9}{n}\sum_{t\in\Nats}\frac{|s_t-s'_t|}{10^{t+1}}}.
  68 \end{array}
  69 \right.\,.
  70 \]
  71 On note que dans le calcul de $d_H(x,x')$--
  72 appelée distance de Hamming entre $x$ et $x'$--
  73 les termes $x_i$ et $x'_i$ sont considérés comme des entiers naturels
  74 égaux à $0$ ou à $1$ et que le calcul est effectué dans $\Z$.
  75 De plus, la partie entière
  76 $\lfloor d(X,X')\rfloor$ est égale à $d_H(x,x')$ soit la distance
  77 de Hamming entre $x$ et $x'$.
  78 On remarque que la partie décimale est inférieure à $10^{-l}$ si
  79 et seulement si les $l$ premiers termes des deux stratégies sont égaux.
  80 De plus, si la
  81 $(l+1)^{\textrm{ème}}$ décimale
  82 de $d_S(s,s')$
  83 n'est pas nulle, alors $s_l$ est différent de  $s'_l$.
  84
  85 Se pose la question de caractériser les fonctions $f$ telles que
  86 les itérations de $G_{f_u}$ associées à leurs itérations unaires
  87 sont chaotiques dans $\mathcal{X}_u$. La section suivante
  88 apporte une réponse à cette question.
  89
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  91 \subsection{Caractérisation des fonctions rendant
  92 chaotiques $G_{f_u}$ sur $\mathcal{X}_u$}
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  95 On peut tout d'abord démontrer que pour toute fonction booléenne $f$,
  96 $G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).
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  98 Pour charactérister les fonctions rendant chaotiques dans $\mathcal{X}_u$ les itérations de $G_{f_u}$
  99 on se focalise donc que sur la régularité et sur la transitivité de $G_{f_u}$.
 100 Ceci se réalise en établissant les relations d'inclusion entre
 101 les ensembles $\mathcal{T}$ des fonctions topologiquement transitives,
 102 $\mathcal{R}$ des fonctions régulières
 103 et $\mathcal{C}$ des fonctions chaotiques définis respectivement ci-dessous:
 104 \begin{itemize}
 105 \item   $\mathcal{T}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
 106 \mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
 107 \item   $\mathcal{R}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
 108 \mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
 109 \item   $\mathcal{C}   =    \left\{f   :   \mathds{B}^n   \to
 110 \mathds{B}^n  \big/  G_{f_u}  \textrm{  est chaotique} \right\}$.
 111 \end{itemize}
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 114 On énnonce les théorèmes successifs suivants.
 115 Leur preuve est donnée en annexe~\ref{anx:chaos:unaire}.
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 117 \begin{theorem} $G_{f_u}$  est transitive si et seulement si
 118  $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 119 \end{theorem}
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 121 \begin{theorem}
 122 \label{Prop: T est dans R:u} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
 123 \end{theorem}
 124
 125 On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
 126 = \mathcal{T}$. On a alors la  caractérisation suivante:
 127
 128 \begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
 129 \label{Th:CaracIC}
 130 Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique
 131 si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
 132 \end{theorem}
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