devaney.tex

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   2 Dans  cette  partie, les  définitions  fondamentales  liées  au chaos
   3 dans  les systèmes booléens sont rappelées.
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   7 Soit un espace topologique $(\mathcal{X},\tau)$ et une fonction continue $f :
   8 \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}$.
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  13 \begin{Def}[Chaos selon Devaney~\cite{Devaney}]
  14 La fonction $f$  \emph{chaotique} sur $(\mathcal{X},\tau)$
  15 si elles est régulière et topologiquement transitive.
  16 \end{Def}
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  20 \begin{Def}[Transitivite topologique]
  21 La fonction  $f$ est dite  \emph{topologiquement transitive} si,
  22 pour chaque paire d'ensembles ouverts
  23 $U,V \subset \mathcal{X}$,
  24 il existe  $k>0$ tel que $f^k(U) \cap V \neq
  25 \varnothing$.
  26 \end{Def}
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  28 \begin{Def}[Point périodique]
  29   Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \emph{périodique}  de période $t$ pour
  30   une fonction $k$ si $t$ est un entier  naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
  31   pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.
  32   Par la  suite, $\emph{Per(k)}$ dénote  l'ensemble des points  périodiques de
  33   $k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque.
  34 \end{Def}
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  38 \begin{Def}[Régularité]
  39 La fonction $f$ est dite \emph{régulière}
  40 sur $(\mathcal{X}, \tau)$ si l'ensemble des points périodiques
  41  de $f$ is dense in $\mathcal{X}$:
  42 pour chaque point $x \in \mathcal{X}$, chaque voisin
  43 de $x$ contient au moins un point périodique
  44 (sans que la période soit nécessairement constante).
  45 \end{Def}
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  55 La propriété de chaos est souvent associée à la notion de
  56 \og sensibilité aux conditions initiales\fg{}, notion définie elle
  57 sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ par:
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  60 \begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales]
  61 Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},\tau)$
  62 est  \emph{fortement sensible aux conditions initiales}
  63 s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
  64 pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout
  65  $\delta > 0$, il existe  $Y \in  \mathcal{X}$ et
  66 $t \in \Nats$ qui vérifient  $d(X,Y) < \delta$ et
  67 $d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.
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  69 La constante $\delta$ est appelée \emph{constante de sensibilité} de $f$.
  70 \end{Def}
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  72 John Banks et ses collègues ont cependant
  73 démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence
  74 de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}.
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