annexecontinuite.tex

   1 Montrons que pour toute fonction booléenne
   2 $f$ de $\Bool^n$ dans lui même,  $G_f$ est continue sur $(\mathcal{X},d)$.
   3
   4 Soit donc $(s_t,x^t)^{t \in \Nats}$ une suite de points de
   5 l'espace $\mathcal{X}$ qui converge vers $(s,x)$.
   6 Montrons que $(G_f (s_t,x^t))^{t \in \Nats}$ converge vers $G_f (s,x)$.
   7
   8 La distance $d((s_t,x^t), (s,x))$ tend vers 0.
   9 Il en est donc de même pour $d_H(x^t, x)$ et $d_S(s_t, s)$.
  10 Or, $d_H(x^t, x)$ ne prend que des valeurs entières.
  11 Cette distance est donc nulle à partir d'un certain $t_0$.
  12 Ainsi, à partir de $t>t_0$, on a  $x^t = x$ .
  13 De plus, $d_S(s_t, s)$ tend vers $0$ donc $d_S(s_t, s) < 10^{-1}$
  14 à partir d'un certain rang $t_1$.
  15 Ainsi, à partir de $t>t_1$, les suites $(s_t)_{t \in \Nats}$
  16 ont toutes le même premier terme, qui est celui
  17 de $s$ pour $t$ supérieur à $t_1$.
  18 Pour $t > \max(t_0,t_1)$, les configurations $x^t$ et $x$
  19 sont les mêmes,
  20 et les stratégies $s_t$ et $s$ ont le même premier terme
  21 ($s_0^t = s_0$), donc les configurations
  22 de $F_f(s_0^t,x^t)$ et de $F_f (s_0,x)$ sont égales et donc la distance
  23 entre $G_f(s_t,x^t)$ et $G_f (s,x)$  est inférieure à 1.
  24
  25 Montrons maintenant que la distance entre
  26 $G_f (s_t,x^t)$ et  $G_f (s,x)$
  27 tend bien vers 0 quand $t$ tend vers $+\infty$. Soit $\epsilon > 0$.
  28 \begin{itemize}
  29   \item Si $\epsilon \ge 1$. Comme la distance $d(G_f(s_t,x^t), G_f (s,x))<1$
  30     pour $t >  \max(t_0, t_1)$, alors
  31     $d(G_f(s_t,x^t), G_f (s,x))<\epsilon$
  32   \item Si $\epsilon < 1$, alors $\exists k \in  \Nats \textrm{ tel que }
  33     10^{-k} > \epsilon > 10^{-(k+1)}$.
  34     Comme $d_S(s_t, s)$ tend vers 0, il existe
  35 un rang $t_2$ à partir duquel
  36 $\forall t > t_2 ,  d_S(s_t, s) < 10^{-(k+2)}$:
  37 à partir de ce rang, les $k+2$ premiers termes de $s_t$ sont ceux de $s$.
  38 Donc les $k + 1$ premiers termes des stratégies de
  39 $G_f (s_t,x^t)$ et de
  40 $G_f (s,x)$ sont les mêmes (puisque $G_f$
  41 opère un décalage sur les stratégies), et vue la
  42 définition de $d_S$, la partie décimale de la distance entre les points
  43 $(s_t,x^t)$ et $(s,x)$ est
  44 inférieure à $10^{-(k+1)} \le \epsilon$.
  45 \end{itemize}
  46 Pour conclure, pour tout $\epsilon > 0$,
  47 $\exists~T_0 = \max(t_0, t_1, t_2) \in \Nats \textrm{ tel que }
  48 \forall t > T_0 , d (Gf (s_t,x^t),G_f (s,x))< \epsilon$.