caracgeneralise.tex

   1
   2 Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives dans le cas
   3 des itérations généralisées.
   4
   5 \caractransitivegeneralise*
   6
   7 \begin{proof}
   8
   9 $\Longleftarrow$ Supposons que $\textsc{gig}(f)$ soit fortement connexe.
  10 Soient $(x,S)$ et $(x',S')$ deux points de $\mathcal{X}_g$ et  $\varepsilon >0$.
  11 On construit la stratégie $\tilde S$ telle que la distance
  12 entre $(x,\tilde S)$ et  $(x,S)$ est inférieure à
  13 $\varepsilon$ et telle que les  itérations parallèles de $G_{f_g}$ depuis
  14 $(x,\tilde S)$ mènent au point $(x',S')$.
  15
  16 Pour cela, on pose $t_1 =-\lfloor\log_{10}(\varepsilon)\rfloor$ et   $x''$ la
  17 configuration de $\Bool^{\mathsf{N}}$ obtenue depuis $(x,S)$
  18 après $t_1$ itérations
  19 parallèles de $G_{f_g}$.
  20 Comme $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe, il existe une
  21 stratégie $S''$ et un entier  $t_2$ tels que $x'$ est atteint depuis
  22 $(x'',S'')$ après $t_2$ itérations de $G_{f_g}$.
  23
  24 Considérons à présent la stratégie
  25 $\tilde S=(s_0,\dots,s_{t_1-1},s''_0,\dots,s''_{t_2-1},s'_0,s'_1,s'_2,s'_3\dots)$.
  26 Il est évident que $(x',s')$ est atteint depuis  $(x,\tilde S)$ après
  27 $t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_g}$. Puisque
  28 $\tilde s_t=s_t$ pour $t<t_1$, grâce au choix de $t_1$,
  29 on a $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
  30 Par conséquent, $G_{f_g}$ est transitive.
  31
  32 $\Longrightarrow$ Démontrons la contraposée.
  33 Si $\textsc{gig}(f)$ n'est pas  fortement connexe, alors
  34 il existe deux configurations $x$  et $x'$ telles qu'aucun chemin de
  35 $\textsc{gig}(f)$ ne mène de $x$ à $x'$.
  36 Soient $S$ et $S'$ deux stratégies et $\varepsilon \in ]0;1[$.
  37 Alors, pour tout $(x'',S'')$ tel que
  38 $d((x'',S''),(x,S))<\varepsilon$ on a $x''$ qui est égal à $x$.
  39 Comme il n'existe aucun chemin de $\textsc{gig}(f)$
  40 qui mène de $x$ à $x'$,
  41 les itérations de $G_{f_g}$ à partir de
  42 $(x'',S'') = (x,S'')$ ne peuvent atteindre que des points
  43 $(x''',S''')$ de $\mathcal{X}_g$ tels que $x''' \neq x'$,
  44 et donc ne peuvent pas atteindre $(x',S')$.
  45 On peut remarquer que, du fait que $x''' \neq x'$,
  46 elles n'atteignent que des points de $\mathcal{X}_g$
  47 dont la distance à $(x',S')$ est supérieure à 1.
  48 Pour tout entier naturel $t$, on a
  49 $G_{f_g}^t(x'',S'') \neq (x',S')$.
  50 Ainsi $G_{f_g}$ n'est pas transitive et
  51 par contraposée, on a la démonstration souhaitée.
  52 \end{proof}
  53
  54
  55 Prouvons à présent le théorème suivant:
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  57 \caracsubgeneralise*
  58
  59
  60 \begin{proof}
  61 Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$ telle que  $G_{f_g}$ est transitive (\textit{i.e.}
  62 $f$ appartient à $\mathcal{T}$).
  63 Soit $(x,S) \in\mathcal{X}_g$ et $\varepsilon >0$. Pour
  64 prouver que $f$ appartient à  $\mathcal{R}$, il suffit de prouver
  65 qu'il existe une stratégie $\tilde S$ telle que la distance entre
  66 $(x,\tilde S)$ et $(x,S)$ est inférieure à  $\varepsilon$ et telle que
  67 $(x,\tilde S)$ est un  point périodique.
  68
  69 Soit $t_1=-\lfloor \log_{10}(\varepsilon)\rfloor$  et soit $x'$ la
  70 configuration obtenue après $t_1$ itérations de $G_{f_g}$ depuis  $(x,S)$.
  71 D'après la proposition précédente, $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
  72 Ainsi, il existe une stratégie $S'$ et un nombre $t_2\in\Nats$ tels
  73 que $x$ est atteint depuis $(x',S')$ après $t_2$ itérations de $G_{f_g}$.
  74
  75 Soit alors la  stratégie $\tilde S$ qui alterne les $t_1$ premiers termes
  76 de $S$ avec les $t_2$ premiers termes de $S'$.
  77 Ainsi $\tilde S$ est définie par
  78 \begin{equation*}
  79 (s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots,s_{t_1-1},s'_0,\dots,s'_{t_2-1},s_0,\dots).
  80 \end{equation*}
  81 Il est évident que  $(x,\tilde S)$ s'obtient à partir de  $(x,\tilde S)$ après
  82 $t_1+t_2$ itérations parallèles de $G_{f_g}$. Ainsi $(x,\tilde S)$ est un point
  83 périodique. Puisque $\tilde s_t$ est égal à $s_t$ pour $t<t_1$, d'après le
  84 choix de  $t_1$, on a  $d((x,S),(x,\tilde S))<\epsilon$.
  85 \end{proof}
  86
  87 On peut conclure  que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
  88 = \mathcal{T}$.