devaney.tex

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   3 Dans  cette  partie, les  définitions  fondamentales  liées  au chaos  dans  les
   4 systèmes dynamiques
   5  sont rappelées et plusieurs résultats théoriques sont montrés.
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   7 \begin{Def}[Chaos (Devaney)]
   8 Une fonction $k$ continue sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ est \textbf{chaotique}
   9 si elle est transitive,
  10 régulière et fortement sensible aux conditions initiales.
  11 \end{Def}
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  13 \begin{Def}[Transitivité]
  14 Une fonction $k$ est  \textbf{transitive} sur $(\mathcal{X},d)$ si  la propriété suivante est établie:
  15 \[
  16 \forall X, Y\in \mathcal{X},
  17 \forall \epsilon > 0,
  18 \exists  Z \in \mathcal{X},
  19 \exists  t \in \Nats,
  20 d(X,Z) < \epsilon  \land k^t(Z) = Y
  21 \]
  22 \end{Def}
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  24 \begin{Def}[Point périodique]
  25   Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \textbf{périodique}  de période $t$ pour
  26   une fonction $k$ si $t$ est un entier  naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
  27   pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.
  28   Par la  suite, $\textbf{Per(k)}$ dénote  l'ensemble des points  périodiques de
  29   $k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque.
  30 \end{Def}
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  32 \begin{Def}[Régularité]
  33 Une fonction $k$  est dite \textbf{régulière} dans $(\mathcal{X},d)$
  34 si l'ensemble des points périodiques de $k$ est dense dans $\mathcal{X}$,
  35 c'est-à-dire  si la propriété suivante est établie:
  36 \[
  37 \forall X \in \mathcal{X}, \forall \epsilon > 0, \exists Y \in \textit{Per}(k)
  38  \textrm{ tel que } d(X,Y) < \epsilon.
  39 \]
  40 \end{Def}
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  42 \begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales]
  43 Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},d)$
  44 est  \textbf{fortement sensible aux conditions initiales}
  45 s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
  46 pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout
  47  $\delta > 0$, il existe  $Y \in  \mathcal{X}$ et
  48 $t \in \Nats$ qui vérifient  $d(X,Y) < \delta$ et
  49 $d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.
  50 \end{Def}
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  53 John Banks et ses collègues ont cependant
  54 démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence
  55 de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}.
  56 On ne se focalise donc dans la suite que sur ces deux dernières
  57 propriétés pour caractériser les fonctions booléennes $f$
  58 rendant chaotique la fonction engendrée $G_f$.
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