preuveDistanceGeneralisee.tex

   1 Pour $S,S' \in \mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})$,
   2 on définit
   3 \[
   4 \displaystyle{d_S(S,S')=\frac{9}{{\mathsf{N}}}\sum_{t\in\Nats}\frac{|S_t \Delta S'_t|}{10^{t+1}}}.
   5 \]
   6 Montrons que $d_S$ est une distance sur $\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})$ et ainsi
   7 que $d$ définie à l'équation~(\ref{eq:distance:Xg}) est une distance.
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  11 Soit $S$, $S'$ et $S''$ trois parties de $[{\mathsf{N}}]$.
  12 \begin{itemize}
  13 \item De manière évidente, $d_s(S,S')$ est positive ou bien nulle si
  14   et seulement si $S$ et $S'$ sont égales.
  15 \item Comme la différence symétrique est commutative, la valeur de
  16   $d_S(S,S')$ est égale à  celle de $d_S(S',S)$.
  17 \item On a enfin la succession d'éléments suivants:
  18   $$
  19   \begin{array}{rcl}
  20     S \Delta S' & = & (S \cap \overline{S'}) \cup (\overline{S} \cap S')\\
  21     & = & (S \cap \overline{S'} \cap S'' ) \cup  (S \cap \overline{S'} \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap S'\cap S'') \cup (\overline{S} \cap S'\cap \overline{S''})\\
  22     & \subseteq & (S \cap \overline{S'} \cap S'' ) \cup  (S \cap \overline{S'} \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap S'\cap S'') \cup (\overline{S} \cap S'\cap \overline{S''}) \cup \\
  23      & & (\overline{S} \cap \overline{S'} \cap S'') \cup (S \cap S' \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap \overline{S'} \cap S'') \cup (S \cap S' \cap \overline{S''})\\
  24     & = & (\overline{S'} \cap S'' ) \cup  (S \cap \overline{S''} ) \cup (\overline{S} \cap S'') \cup (S'\cap \overline{S''}) \\
  25     & = & (S \Delta S'') \cup (S'' \Delta S')
  26   \end{array}
  27   $$
  28   On en déduit ainsi que
  29 $|S \Delta S'| \le |S \Delta S''| + |S'' \Delta S'|$ et donc que
  30 l'égalité triangulaire $d_S(S,S') \le d_S(S,S'') + d_S(S'',S')$ est établie.
  31 \end{itemize}
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