stegoyousra.tex

   1 La plupart des schémas de stéganographie sont conçus de sorte  à minimiser une
   2 fonction de distorsion. Dans les exemples du chapitre précédent,
   3 ces fonctions de distorsion sont construites dans l'objectif de préserver
   4 les caractéristiques de l'image.
   5 On comprend aisément que dans des régions uniformes ou sur des bords clairement définis,
   6 une modification même mineure de l'image est facilement détectable.
   7 Au contraire les textures, le bruit ou les régions chaotiques
   8 sont  difficiles à modéliser. Les caractéristiques des images
   9 dont ces zones ont été modifiées sont ainsi similaires à celles
  10 des images initiales.
  11
  12 Ces régions sont caractérisées par des courbes de niveau très perturbées.
  13 Ce chapitre présente une nouvelle fonction de distorsion pour la stéganographie
  14 qui est basée sur les dérivées du second ordre, l'outil mathématique usuel
  15 pour les courbes de niveau.
  16
  17 Pour peu qu'on sache définir une fonction $P$
  18 qui associe à chaque pixel $(x,y)$ sa valeur $P(x,y)$,
  19 les pixels tels que les dérivées secondes de $P$ ont des valeurs élevées
  20 sont des bons candidats pour contenir un bit du message.
  21 Cependant, une telle fonction $P$ n'est connue que de manière discrète,
  22 \textit{i.e.}, en un nombre fini de points.
  23 Les dérivées premières et secondes ne peuvent donc pas être évaluées mathématiquement.
  24 Au mieux, on peut construire une fonction qui approxime les
  25 dérivées de $P$ sur cet ensemble
  26 de pixels. Ordonner alors les pixels selon la matrice hessienne
  27 (\textit{i.e.}, la matrice des dérivées secondes) n'est pas trivial puisque celle-ci
  28 contient de nombreuses valeurs pour un seul pixel donné.
  29
  30 On verra dans ce chapitre comment des approximations des dérivées
  31 premières et secondes pour des images numériques (Section~\ref{sec:gradient})
  32 ont pu être
  33 obtenues.
  34 Deux propositions de dérivées secondes sont ensuite
  35 données et prouvées (Section~\ref{sec:second} et Section~\ref{sec:poly}).
  36 Une adaptation d'une fonction de distorsion existante est étudiée
  37 en Section~\ref{sec:distortion} et des expériences sont présentées
  38 en Section~\ref{sec:experiments}.
  39 Ce chapitre a été publié dans~\cite{ccfg16:ip}.
  40
  41
  42
  43 \section{Des dérivées dans une image}\label{sec:gradient}
  44
  45 Cette section rappelle d'abord les liens entre lignes de niveau, gradient et
  46 matrice hessienne puis analyse ensuite leur construction à l'aide
  47 de noyaux de la théorie du signal.
  48
  49
  50 \subsection{Matrice hessienne}\label{sub:general}
  51 On considère qu'une image peut être assimilée à une fonction de $\R^+\times \R^+$
  52 dans $\R^+$ telle que la valeur $P(x,y)$ est associée à chaque  pixel de coordonnées $(x,y)$.
  53 Les variations d'une telle fonction en $(x_0,y_0)$ peuvent être évaluées
  54 grâce au gradient
  55 $\nabla{P}(x_0,y_0) = \left(\frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)\right).
  56 $
  57 Le vecteur gradient pointe dans la direction où la fonction a le plus fort accroissement.
  58 Des pixels ayant des valeurs voisines sont sur des lignes de niveaux qui sont orthogonales
  59 à ce vecteur.
  60
  61 Les variations du vecteur gradient s'expriment usuellement à l'aide de la matrice
  62 hessienne $H$ des dérivées partielles de second ordre de $P$.
  63 \[
  64 H = \begin{bmatrix}
  65 \dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2} &
  66 \dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} \\
  67 \dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x} &
  68 \dfrac{\partial^2 P}{\partial y^2} \\
  69 \end{bmatrix}.
  70 \]
  71
  72 En un pixel $(x_0,y_0)$, plus les valeurs de cette matrice sont éloignées de zéro,
  73 plus le gradient varie en ce point. Évaluer ce type de matrice est ainsi primordial
  74 en stéganographie. Cependant cette tâche n'est pas aussi triviale qu'elle n'y
  75 paraît puisque les images naturelles ne sont pas  définies à l'aide
  76 de fonctions différentiables de $\R^+\times \R^+$
  77 dans $\R^+$.
  78 La suite montre comment obtenir des approximations de telles matrices.
  79
  80 \subsection{Approches classiques pour évaluer le gradient dans des images}\label{sub:class:1}
  81 Dans ce contexte, les approches les plus utilisées pour évaluer un gradient
  82 sont ``Sobel'', ``Prewitt'', ``Différence centrale'' et `` Différence intermédiaire''.
  83 Chacune de ces  approches applique un produit de convolution $*$ entre un noyau $K$
  84 (rappelé dans le tableau~\ref{table:kernels:usual}) et une fenêtre $A$ de taille
  85 $3\times 3$. Le résultat
  86  $A * K$ est une approximation du gradient horizontal
  87 \textit{i.e.}, $\dfrac{\partial P}{\partial x}$.
  88 Soit $K'$ le résultat de la rotation d'un angle $\pi/2$ appliquée à $K$.
  89 La composante verticale du gradient,  $\dfrac{\partial P}{\partial y}$ est obtenue
  90 de manière similaire en évaluant $A * K'$. Lorsqu'on applique ceci sur toute
  91 la matrice image, on obtient  une matrice de même taille pour chacune des
  92 dérivées partielles.
  93
  94 Les deux éléments de la première colonne (respectivement de la seconde)
  95 de la matrice hessienne
  96 sont le résultat du calcul du gradient sur la matrice $\dfrac{\partial P}{\partial x}$
  97 (resp. sur la matrice  $\dfrac{\partial P}{\partial y}$).
  98
  99
 100 \begin{table}[ht]
 101 \caption{Noyaux usuels pour évaluer des gradients d'images\label{table:kernels:usual}
 102 }
 103 \centering
 104 \begin{tabular}{|c|c|c|}
 105     \hline
 106     Nom&   Sobel & Prewitt \\
 107     \hline
 108     Noyau & $\textit{Ks}= \begin{bmatrix} -1 & 0 & +1 \\ -2 & 0 & +2 \\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix} $ &
 109     $\textit{Kp}= \begin{bmatrix} -1 & 0 & +1 \\ -1 & 0 & +1 \\ -1 & 0 & +1 \end{bmatrix} $\\
 110     \hline\hline
 111     Nom & Différence  & Différence  \\
 112             & centrale & Intermédiaire \\
 113     \hline
 114     Noyau & $\textit{Kc}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ -\dfrac{1}{2} & 0 & +\dfrac{1}{2} \\ 0&0&0 \end{bmatrix} $ &
 115     $\textit{Ki}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} $ \\
 116     \hline
 117 \end{tabular}
 118 \end{table}
 119
 120
 121
 122
 123 \subsection{Matrices hessiennes induites  par des approches
 124 de gradient d'images}\label{sub:class:2}
 125 Il est connu que
 126 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} $ est égal à
 127 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}$ si
 128 les méthodes qui calculent le gradient et le gradient du gradient (la matrice hessienne)
 129 sont les mêmes.
 130 Le tableau~\ref{table:hessian:usual} résume les noyaux
 131 $K_{x^2}''$ et
 132 $K_{xy}''$
 133 qui permettent de calculer respectivement
 134 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}$ et
 135 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x \partial y}$ comme un produit de convolution
 136 pour chacun des opérateurs de gradient rappelés à la section précédente.
 137
 138
 139 \begin{table}[ht]
 140 \caption{Noyaux usuels pour évaluer des gradients de second ordre d'images
 141 \label{table:hessian:usual}
 142 }\centering
 143 \begin{tabular}{|c|c|}
 144     \hline
 145     Sobel & Prewitt \\
 146     \hline
 147     $
 148     \textit{Ks}_{x^2}''=
 149     \begin{bmatrix}
 150     1 &  0  & -2  & 0 & 1 \\
 151     4 &  0  & -8  & 0 & 4 \\
 152     6 &  0  & -12 & 0 & 6 \\
 153     4 &  0  & -8  & 0 & 4 \\
 154     1 &  0  & -2  & 0 & 1
 155     \end{bmatrix}
 156     $
 157     &
 158     $
 159     \textit{Kp}_{x^2}''=
 160     \begin{bmatrix}
 161     1 &  0  & -2  & 0 & 1 \\
 162     2 &  0  & -4  & 0 & 2 \\
 163     3 &  0  & -6 & 0 & 3 \\
 164     2 &  0  & -4  & 0 & 2 \\
 165     1 &  0  & -2  & 0 & 1
 166     \end{bmatrix}
 167     $
 168     \\
 169     \hline
 170     $
 171     \textit{Ks}_{xy}''=
 172     \begin{bmatrix}
 173     -1 & -2 & 0 & 2 & 1 \\
 174     -2 & -4 & 0 & 4 & 2 \\
 175     0  & 0  & 0 & 0 & 0 \\
 176     2 & 4 & 0 & -4 & -2 \\
 177     1 & 2 & 0 & -2 & -1
 178     \end{bmatrix}
 179     $
 180     &
 181     $
 182     \textit{Kp}_{xy}''=
 183     \begin{bmatrix}
 184     -1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\
 185     -1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\
 186     0  & 0  & 0 & 0 & 0 \\
 187     1 & 1 & 0 & -1 & -1 \\
 188     1 & 1 & 0 & -1 & -1
 189     \end{bmatrix}
 190     $ \\
 191
 192     \hline\hline
 193     Différence & Différence  \\
 194     centrale  &intermédiaire \\
 195     \hline
 196     $
 197     \textit{Kc}_{x^2}''=
 198     \begin{bmatrix}
 199     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 200     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 201     \dfrac{1}{4} &  0  & -\dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{4} \\
 202     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 203     0 &  0  & 0  & 0 & 0
 204     \end{bmatrix}
 205     $
 206     &
 207     $
 208     \textit{Ki}_{x^2}''=
 209     \begin{bmatrix}
 210     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 211     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 212     0 &  0  & 1  & -2 & 1 \\
 213     0 &  0  & 0  & 0 & 0 \\
 214     0 &  0  & 0  & 0 & 0
 215     \end{bmatrix}
 216     $
 217     \\
 218     \hline
 219     $
 220     \textit{Kc}_{xy}''=
 221     \begin{bmatrix}
 222      -\dfrac{1}{4}  & 0 & \dfrac{1}{4}\\
 223      0  & 0 & 0 \\
 224      \dfrac{1}{4} & 0 &  -\dfrac{1}{4}
 225     \end{bmatrix}
 226     $
 227     &
 228     $
 229     \textit{Ki}_{xy}''=
 230     \begin{bmatrix}
 231      0  & -1 & 1 \\
 232      0  & 1 & -1 \\
 233      0  &  0 & 0
 234     \end{bmatrix}
 235     $\\
 236     \hline
 237 \end{tabular}
 238
 239 \end{table}
 240
 241 Le noyau $\textit{Ks}_{x^2}''$ permet de détecter si le
 242 pixel central appartient à un bord ``vertical'', même si celui-ci
 243  contient du bruit,
 244 en considérant ses voisins verticaux. Ces derniers sont vraiment
 245 pertinents dans un objectif de détecter les bords. Cependant, leur lien avec
 246 les lignes de niveau n'est pas direct. De plus tous les pixels qui sont dans la
 247 deuxième et la quatrième colonne de ce noyau sont ignorés.
 248 Le noyau de Prewitt a des propriétés similaires.
 249 Le noyau de différence centrale $\textit{Kc}_{x^2}''$ n'est pas influencé par les
 250 voisins verticaux du pixel central et peut paraître plus adapté ici.
 251 Cependant, le noyau $\textit{Kc}_{xy}''$ perd aussi les valeurs des pixels
 252 qui sont alignés verticalement et diagonalement avec le pixel central.
 253 Enfin, le noyau de différence intermédiaire  $\textit{Ki}_{x^2}''$ décale
 254 à gauche la valeur des variations horizontales de $\dfrac{\partial P}{\partial x}$:
 255 le pixel central  $(0,0)$ reçoit  exactement la valeur
 256 $\dfrac{P(0,2)-P(0,1)}{1} - \dfrac{P(0,1)-P(0,0)}{1}$,
 257 qui est une approximation de
 258 $\dfrac{\partial P}{\partial x}(0,1)$ et non de
 259 $\dfrac{\partial P}{\partial x}(0,0)$.
 260 De plus, le noyau de différence intermédiaire $\textit{Ki}_{xy}''$ ne concerne
 261 que les pixels du coin supérieur droit, en perdant toutes les autres informations.
 262 La section suivante propose une autre approche pour calculer les lignes de niveau avec une précision accrue.
 263
 264 \section{Des noyaux pour des lignes de niveau}\label{sec:second}
 265 On ne se
 266 restreint pas aux noyaux de taille fixe (comme  $3\times3$ or $5 \times 5$
 267 dans les schémas précédents). Au contraire, on considère des noyaux de taille variable
 268 $(2n+1)\times (2n+1)$, $n \in \{1,2,\dots,N\}$, où
 269 $N$ est un paramètre de l'approche.
 270 Les variations horizontales du gradient sont extraites grâce au noyau de taille $(2n+1)\times (2n+1)$:
 271 \[
 272 \arraycolsep=1.4pt
 273 \def\arraystretch{1.4}
 274 \def\arraystretch{1.4}
 275     \textit{Ky}_{x^2}''=
 276     \left(
 277     \begin{array}{ccccccccc}
 278          0           & & & & \dots& & & & 0  \\
 279          \vdots      & & & & & & & & \vdots \\
 280          0           & & & & \dots & & & & 0  \\
 281          \dfrac{1}{2n}& 0 & \dots & 0  & -\dfrac{2}{2n} & 0  & \dots & 0& \dfrac{1}{2n} \\
 282          0           & & & & \dots& & & & 0  \\
 283         \vdots      & & & & & & & & \vdots \\
 284          0           & & & & \dots & & & & 0
 285     \end{array}
 286     \right)
 287 \]
 288
 289 Lorsque le produit de convolution est appliqué sur une fenêtre $(2n+1)\times(2n+1)$,
 290 le résultat est
 291 $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{P(0,n)-P(0,0)}{n} - \dfrac{P(0,0)-P(0,-n)}{n}\right)$,
 292 qui représente en effet les variation horizontales de la partie horizontale
 293 du gradient autour du pixel central. On obtient donc bien une approximation de
 294 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}$.
 295 Lorsque $n$ vaut 1, ce noyau est une version centrée du noyau horizontal de différence
 296 intermédiaire. $\textit{Ki}_{x^2}''$ à un facteur  $1/2$ près).
 297 Lorsque $n$ vaut 2, on retrouve $\textit{Kc}_{x^2}''$.
 298
 299 Les variations verticales du gradient sont aussi obtenues en faisant subir
 300 à $\textit{Ky}_{x^2}''$ une rotation d'angle  $\pi/2$.
 301 Les variations diagonales sont obtenues à l'aide du gradient
 302 $\textit{Ky}_{xy}''$ défini par:
 303
 304 \[
 305 \arraycolsep=1.4pt
 306 \def\arraystretch{1.4}
 307 \textit{Ky}_{xy}'' = \dfrac{1}{4}
 308 \left(
 309     \begin{array}{ccccccccc}
 310      \frac{1}{n^2}& \dots & \frac{1}{2n} & \frac{1}{n}
 311      & 0 &
 312      -\frac{1}{n}&-\frac{1}{2n} & \dots &  -\frac{1}{n^2}
 313      \\
 314      \vdots & 0     &    &
 315      & \dots &
 316       &  &  0 & \vdots
 317      \\
 318      \frac{1}{2n} & 0 &        &
 319      & \dots &
 320         &  & 0& -\frac{1}{2n}
 321      \\
 322      \frac{1}{n} & 0 &    &
 323      & \dots &
 324       &  & 0 &  -\frac{1}{n}
 325      \\
 326      0      &      & & & \dots& & & & 0  \\
 327      -\frac{1}{n} & 0 &        &
 328      & \dots &
 329         &  &0 & \frac{1}{n}
 330      \\
 331      -\frac{1}{2n} & 0 &       &
 332      & \dots &
 333       &  & 0 &  \frac{1}{2n}
 334      \\
 335       \vdots & 0 &    &
 336      & \dots &
 337         &  & 0& \vdots
 338      \\
 339      -\frac{1}{n^2}&  \dots & -\frac{1}{2n} & -\frac{1}{n}
 340      & 0 &
 341      \frac{1}{n}& \frac{1}{2n} & \dots  & \frac{1}{n^2}
 342     \end{array}
 343     \right).
 344 \]
 345
 346
 347
 348 En effet, lorsque  $n$ vaut 1, $\textit{Ky}_{xy}''$ se retrouve en calculant la moyenne
 349 des variations horizontales de la composante verticale du gradient calculé à l'aide de
 350 $\textit{Ky}_{y}'$. Pour cette valeur de $n$, on a
 351 $\textit{Ky}_{xy}'' =   \textit{Kc}_{xy}''$.
 352 Pour chaque nombre  $n$, $1 <  n \le N$, $\textit{Ky}_{xy}''$ se retrouve de la même
 353 manière, c'est-à-dire en effectuant des moyennes de variations.
 354 Une preuve de la construction se trouve dans l'article~\cite{ccfg16:ip}.
 355
 356
 357
 358 L'objectif est de détecter les grandes variations des dérivées premières.
 359 Ainsi les dérivées secondes seront approximées comme les maximums des
 360 matrices hessiennes  obtenues lorsque $n$ varie entre  $1$ et $ N$.
 361
 362 La dérivée partielle $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}$ est définie par
 363
 364 \begin{equation}
 365 \dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}
 366 = \max \left\{
 367 \abs{\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}_1}, \dots, \abs{\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}_N}
 368 \right \}.
 369 \label{eq:d2p_dx2}
 370 \end{equation}
 371 où $\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}_n$ est le résultat de l'application
 372 du noyau $\textit{Ky}_{x^2}''$ de taille $(2n+1)\times (2n+1)$.
 373 La même approche itérative est appliquée pour construire les
 374 approximations de
 375 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}$
 376 et de
 377 $\dfrac{\partial^2 P}{\partial y^2}$.
 378
 379 La section suivante étudie la pertinence d'interpoler une image par un polynôme
 380 lorsqu'on cherche à obtenir ces dérivées secondes.
 381
 382
 383 \section{Interpolation polynomiale pour le calcul de la matrice hessienne}\label{sec:poly}
 384 Soit $P(x,y)$ la  valeur du pixel $(x,y)$ et soit  $n$, $1 \le n \le N$,
 385 tel que l'objectif est de trouver un polynôme d'interpolation dans la fenêtre de taille
 386 $(2n+1)\times(2n+1)$ dont le pixel central a pour indice $(0,0)$.
 387 Il existe un unique polynôme $L : \R\times \R \to \R$
 388 de degré $(2n+1)\times(2n+1)$ tel que  $L(x,y)=P(x,y)$ pour chaque pixel
 389 $(x,y)$ de cette fenêtre et ce polynôme est défini par
 390 \begin{equation}
 391 \begin{array}{l}
 392 L(x,y) =
 393 \sum_{i=-n}^{n}
 394 \sum_{j=-n}^{n}P(i,j)
 395 \left(
 396 \prod_{\stackrel{-n\leq j'\leq n}{j'\neq j}}
 397 \frac{x-j'}{i-j'}
 398 \right)
 399 \left(
 400 \prod_{\stackrel{-n\leq i'\leq n}{i'\neq i}}
 401 \frac{x-i'}{i-i'}
 402 \right)
 403 \end{array}
 404 \end{equation}
 405 On peut facilement prouver que la dérivée partielle  de $L$ selon $x$ est
 406 \begin{equation}
 407 \begin{array}{l}
 408 \dfrac{\partial L}{\partial x} =
 409 \sum_{i=-n}^{n}
 410 \sum_{j=-n}^{n}
 411 P(i,j)
 412 \left(
 413 \prod_{\stackrel{-n\leq j'\leq n}{j'\neq j}}
 414 \frac{y-j'}{j-j'}
 415 \right)
 416 \left(
 417 \sum_{\stackrel{-n\leq i'\leq n}{i'\neq i}}
 418 \frac{1}{i-i'}
 419 \prod_{\stackrel{-n\leq i''\leq n}{i''\neq i,i'}}
 420 \frac{x-i''}{i-i''}
 421 \right)
 422 \end{array}
 423 \end{equation}
 424 \noindent et ainsi en déduire que les dérivées partielles de second ordre
 425 sont
 426 \begin{eqnarray}
 427 \dfrac{\partial^2 L}{\partial x^2} &=&
 428 \sum_{i=-n}^{n}
 429 \sum_{j=-n}^{n}
 430 P(i,j)
 431 \left(
 432 \prod_{\stackrel{-n\leq j'\leq n}{j'\neq j}}
 433 \frac{y-j'}{j-j'}
 434 \right)
 435 \left(
 436 \sum_{\stackrel{-n\leq i'\leq n}{i'\neq i}}
 437 \frac{1}{i-i'}
 438 \sum_{\stackrel{-n\leq i''\leq n}{i''\neq i,i'}}
 439 \frac{1}{i-i''}
 440 \prod_{\stackrel{-n\leq i'''\leq n}{i'''\neq i,i',i''}}
 441 \frac{x-i'''}{i-i'''}
 442 \right)
 443 \label{eq:deriv:poly:x2} \\
 444 \dfrac{\partial^2 L}{\partial y \partial x} &= &
 445 \sum_{i=-n}^{n}
 446 P(i,j)
 447 \left(
 448 \sum_{\stackrel{-n\leq j'\leq n}{j'\neq j}}
 449 \frac{1}{j-j'}
 450 \prod_{\stackrel{-n\leq j''\leq n}{j''\neq j, j'}}
 451 \frac{y-j''}{j-j''}
 452 \right)
 453 \left(
 454 \sum_{\stackrel{-n\leq i'\leq n}{i'\neq i}}
 455 \frac{1}{i-i'}
 456 \prod_{\stackrel{-n\leq i''\leq n}{i''\neq i, i'}}
 457 \frac{x-i''}{i-i''}
 458 \right)
 459 \label{eq:deriv:poly:yx}
 460 \end{eqnarray}
 461 Ces dérivées secondes sont calculées pour chaque pixel central, \textit{i.e.} le pixel dont l'indice est  $(0,0)$ dans la fenêtre.
 462 En considérant cette particularisation, l'équation~(\ref{eq:deriv:poly:x2})
 463 se simplifie en
 464
 465 \begin{equation}
 466 \begin{array}{l}
 467 \dfrac{\partial^2 L}{\partial x^2} =
 468 \sum_{i=-n}^{n}
 469 P(i,0)
 470 \left(
 471 \sum_{\stackrel{-n\leq i' < i'' \le n}{i',i''\neq i}}
 472 \frac{2}{(i-i')(i-i'')}
 473 \prod_{\stackrel{-n\leq i'''\leq n}{i'''\neq i,i',i''}}
 474 \frac{i'''}{i'''-i}
 475 \right).
 476 \end{array}
 477 \label{eq:deriv:poly:x2:simpl:2}
 478 \end{equation}
 479
 480 \begin{table}[ht]
 481     \caption{Noyaux $Ko''_{x^2}$ pour  calculer des dérivées de second ordre à partir d'interpolation polynomiale}
 482     \centering
 483 \def\arraystretch{1.4}
 484     \begin{tabular}{|c|c|}
 485          \hline
 486          $n$ & $Ko''_{x^2}$ \\
 487          \hline
 488          $2$ & $\left[\dfrac{-1}{12}, \dfrac{4}{3} , \dfrac{-5}{2}, \dfrac{4}{3} \dfrac{-1}{12}\right]$ \\
 489          \hline
 490          $3$ & $\left[\dfrac{1}{90}, \dfrac{-3}{20}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{-49}{18}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{-3}{20}, \dfrac{1}{90}\right]$ \\
 491          \hline
 492          $4$ & $\left[\dfrac{-1}{560}, \dfrac{8}{315}, \dfrac{-1}{5}, \dfrac{8}{5}, \dfrac{-205}{72}, \dfrac{8}{5}, \dfrac{-1}{5}, \dfrac{8}{315}, \dfrac{-1}{560}\right]$\\
 493          \hline
 494          %$5$ & $\left[\dfrac{1}{3150}, \dfrac{-5}{1008}, \dfrac{5}{126}, %\dfrac{-5}{21}, \dfrac{5}{3}, \dfrac{-5269}{1800}, \dfrac{5}{3}, %\dfrac{-5}{21}, \dfrac{5}{126}, \dfrac{-5}{1008}, \dfrac{1}{3150}\right]$\\
 495          %\hline
 496     \end{tabular}
 497
 498     \label{table:sod:hori:poly}
 499 \end{table}
 500
 501
 502 \begin{table}[ht]
 503 \caption{ Noyaux pour les dérivées secondes en $x$ et $y$ lors de l'interpolation polynomiale\label{table:sod:diag:poly}
 504 }
 505 \centering
 506 %\scriptsize
 507 \def\arraystretch{1.5}
 508 \begin{tabular}{|c|c|}
 509     \hline
 510     $n$ & $Ko''_{xy}$\\
 511     \hline
 512     2 & $
 513 \begin{bmatrix}
 514 \dfrac{1}{4} & 0 &  \dfrac{-1}{4}\\
 515  0 & 0 &0\\
 516 \dfrac{-1}{4} & 0 &  \dfrac{1}{4}\\
 517 \end{bmatrix}
 518 $
 519  \\
 520  \hline
 521    3 &
 522    $\begin{bmatrix}
 523 \dfrac{1}{144} & \dfrac{-1}{18} & 0 & \dfrac{1}{18} & \dfrac{-1}{144}\\
 524 \dfrac{-1}{18} & \dfrac{4}{9} & 0 & \dfrac{-4}{9} & \dfrac{1}{18}\\
 525 0 & 0 & 0 & 0 &0\\
 526 \dfrac{1}{18} & \dfrac{-4}{9} & 0 & \dfrac{4}{9} & \dfrac{-1}{18}\\
 527 \dfrac{-1}{144} & \dfrac{1}{18} & 0 & \dfrac{-1}{18} & \dfrac{1}{144}
 528 \end{bmatrix}
 529 $\\
 530   \hline
 531 \end{tabular}
 532 \end{table}
 533
 534 Cette dérivée partielle peut s'écrire comme un produit de convolution avec un noyau
 535 noté $Ko''_{x^2}$. Des instances de tels noyaux, pour $n=2$, $3$ et  $4$
 536 sont données au tableau~\ref{table:sod:hori:poly}. De manière similaire,
 537 le tableau~\ref{table:sod:diag:poly} donne deux exemples pour $n=1$ et $n=2$
 538 de noyaux $Ko''_{xy}$ permettant de calculer directement les dérivées
 539 de second ordre selon $x$ et $y$ en $(0,0)$.
 540 On remarque que pour $n=1$, le noyau est égal à $Kc''_{xy}$.
 541
 542
 543
 544
 545
 546
 547
 548 \section{Fonction de distorsion}\label{sec:distortion}
 549 Une fonction de distorsion associe à chaque pixel  $(i,j)$
 550 le coût $\rho_{ij}$ de modification  par $\pm 1$. L'objectif est d'associer une
 551 valeur faible aux pixels dont toutes les dérivées secondes sont éloignées de 0
 552 et une valeur rédhibitoire sinon.
 553 Dans WOW comme dans  UNIWARD la fonction de distorsion est définie par
 554 \[
 555 \rho_{ij}^w =
 556 \left(
 557 \abs{\xi_{ij}^h}^{p} +
 558 \abs{\xi_{ij}^v}^{p} +
 559 \abs{\xi_{ij}^d}^{p}
 560 \right)^{-\frac{1}{p}}
 561 \]
 562 où $p$ est un nombre négatif et
 563 $\xi_{ij}^h$ (resp. $\xi_{ij}^v$ et $\xi_{ij}^d$)
 564 représente la pertinence horizontale (resp. verticale et diagonale) de modification.
 565 Une faible pertinence dans une direction signifie que l'embarquement
 566 dans ce pixel est inapproprié.
 567 La fonction de distorsion que l'on a retenu est une particularisation ($p=-1$)
 568 de cette dernière:
 569 \[
 570 \rho_{ij} =
 571 \left(
 572 \abs{\dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2}(i,j)}^{-1} +
 573 \abs{\dfrac{\partial^2 P}{\partial y^2}(i,j)}^{-1} +
 574 \abs{\dfrac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}(i,j)}^{-1}
 575 \right)
 576 \]
 577
 578
 579 \section{Expérimentations}\label{sec:experiments}
 580
 581 Tout d'abord, l'ensemble du code est accessible en ligne\footnote{\url{https://github.com/stego-content/SOS}}.
 582 La Figure~\ref{fig:oneimage} représente les résultats d'embarquement de données dans
 583 l'image 38 du challenge BOSS~\cite{Boss10} en suivant les deux schémas basés
 584 sur les dérivées secondes présentés dans ce chapitre.
 585 Le taux d'embarquement $\alpha$ est fixé à 0.4 bits par pixel et les noyaux sont
 586 construits avec $N=4$. On remarque bien que les pixels dans les zones uniformes
 587 et les pixels dans les bords bien définis ne sont pas modifiés par l'approche tandis
 588 qu'au contraire les zones peu prévisibles (le monument par exemple)
 589 concentrent les changements.
 590
 591
 592
 593
 594 \begin{figure}[ht]
 595     \centering
 596     \begin{tabular}{|c|c|c|}
 597     \hline
 598     Schéma & Image. Stego. & Différence avec le support \\
 599     \hline
 600     Approche à base de $Ky$  &\includegraphics[scale=0.20]{images/38_dp}&
 601     \includegraphics[scale=0.20]{images/38_dp_diff} \\
 602     \hline
 603     Approche à base de  $Ko$  & \includegraphics[scale=0.20]{images/38_poly} &
 604     \includegraphics[scale=0.20]{images/38_poly_diff} \\
 605     \hline
 606     \end{tabular}
 607     \caption{Exemple de changements dus à un embarquement avec  $\alpha = 0.4$}
 608     \label{fig:oneimage}
 609 \end{figure}
 610
 611
 612
 613
 614
 615 \subsection{Choix des paramètres}
 616
 617 Les deux méthodes présentées ici dépendent de noyaux dont la taille va jusqu'à
 618 $(2N+1)\times(2N+1)$. Cette section montre comment évaluer $N$ pour maximiser
 619 le niveau de sécurité.
 620 Pour chaque approche ($N=2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ et $14$),
 621 1000 images stégos du challenge BOSS ont été selectionnées.
 622 La sécurité de l'approche a été évaluée avec le stéganalyseur
 623 Ensemble Classifier~\cite{DBLP:journals/tifs/KodovskyFH12}.
 624 Pour un taux d'embarquement   $\alpha$ égal soit à  $0.1$ ou soit à  $0.4$,
 625 l'erreur moyenne de test (exprimée en pourcentage) a été calculée.
 626 Le tableau~\ref{table:choice:parameter} synthétise les résultats.
 627 On observe que la taille $N=4$ (respectivement $N=12$)
 628 permet d'obtenir des erreurs suffisamment élevées pour l'approche basée sur $Ky$
 629 (resp. pour celle basée sur  $Ko$).
 630 Ces deux valeurs de paramètres sont retenues par la suite.
 631
 632 \begin{table}[ht]
 633 \caption{Erreur moyenne de test en fonction de la taille du noyau}
 634 \centering
 635 \setlength{\tabcolsep}{3pt}
 636 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
 637 \cline{2-9}
 638 \multicolumn{1}{c|}{} & \multirow{2}{*}{$\alpha$} & \multicolumn{7}{c|}{$N$} \\
 639 \cline{3-9}
 640 \multicolumn{1}{c|}{}&  & $2$ & $4$&  $6$&  $8$& $10$& $12$ & $14$ \\
 641 \hline{}
 642 Erreur moyenne
 643 & \textit{0.1} & 39& 40.2&  39.7&  39.8& 40.1& $39.9$&  $39.8$  \\
 644 \cline{2-9}
 645 de test pour le noyau $K_y$ & \textit{0.4}& 15& 18.8& 19.1&  19.0& 18.6& 18.7 & 18.7 \\
 646 \hline
 647 Erreur moyenne    & \textit{0.1} & 35.2 & 36.6&  36.7&  36.6& 37.1& 37.2 & 37.2 \\
 648 \cline{2-9}
 649 de test pour le noyau $K_o$ & \textit{0.4}  & 5.2 & 6.8& 7.5 & 7.9 & 8.1 & 8.2 & 7.6 \\
 650 \hline
 651 \end{tabular}
 652 \label{table:choice:parameter}
 653
 654 \end{table}
 655
 656
 657 \subsection{Évaluation de la sécurité}
 658 Comme dans ce qui précède, la base du challenge BOSS a été retenue.
 659 Ici c'est cependant l'ensemble des 10000 images qui a été utilisé pour évaluer
 660 la sécurité.
 661 C'est aussi les caractéristiques SRM et Ensemble Classifier qui ont été utilisées
 662 pour évaluer la sécurité de l'approche.
 663 Quatre taux d'embarquement  0.1, 0.2, 0.3 et  0.4
 664 ont été retenus. Pour chaque expérience,
 665 l'aire sous la courbe de ROC (AUC),
 666 l'erreur moyenne de test (ATE),
 667 l'erreur OOB (OOB) sont données et tous les résultats sont synthétisés
 668 dans le tableau~\ref{table:experiments:summary}.
 669 Même si la sécurité est souvent plus faible que celle observée
 670 pour les outils les plus récents,
 671 les résultats concernant $K_y$ sont encourageants car ils ne sont pas éloignés de
 672 ceux de l'état de l'art sans aucune optimisation.
 673 Enfin la faible sécurité de $K_o$ s'explique par le fait que le polynôme interpole
 674 exactement l'image en tous les points de la fenêtre, mais il ne tient pas forcément
 675 compte des variations dans celle-ci. Les dérivées secondes sont certes faciles
 676 à exprimer, mais elles ne représentent pas nécessairement fidèlement celles de l'image.
 677
 678 \begin{table}
 679 \caption{Évaluation de la sécurité}\label{table:experiments:summary}
 680 \centering
 681 \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
 682 \hline
 683  & Taux & AUC & ATE   &  OOB \\ \hline
 684 {WOW}
 685             & 0.1 & 0.6501 & 0.4304 & 0.3974\\
 686             & 0.2 & 0.7583 & 0.3613 & 0.3169\\
 687             & 0.3 & 0.8355 & 0.2982 & 0.2488\\
 688             & 0.4 & 0.8876 & 0.2449 & 0.1978\\
 689                                        \hline
 690
 691 {SUNIWARD}  & 0.1 & 0.6542 & 0.4212 & 0.3972\\
 692             & 0.2 & 0.7607 & 0.3493 & 0.3170\\
 693             & 0.3 & 0.8390 & 0.2863 & 0.2511\\
 694             & 0.4 & 0.8916 & 0.2319 & 0.1977\\
 695  \hline
 696  {MVG}      & 0.1 & 0.6340 & 0.4310 &0.4124 \\
 697             & 0.2 & 0.7271 & 0.3726 &0.3399 \\
 698             & 0.3 & 0.7962 & 0.3185& 0.2858\\
 699             & 0.4 & 0.8486& 0.2719& 0.2353 \\
 700  \hline
 701   {HUGO}    & 0.1 & 0.6967 & 0.3982 & 0.3626 \\
 702             & 0.2 & 0.8012 & 0.3197 & 0.2847 \\
 703             & 0.3 & 0.8720 & 0.2557 & 0.2212 \\
 704             & 0.4 & 0.9517 & 0.1472 & 0.1230 \\
 705  \hline
 706 {Approche à base de $Ky$}
 707             & 0.1 & 0.7378 & 0.3768 & 0.3306 \\
 708             & 0.2 & 0.8568 & 0.2839 & 0.2408 \\
 709             & 0.3 & 0.9176 & 0.2156 & 0.1710 \\
 710             & 0.4 & 0.9473 & 0.1638 & 0.1324\\
 711  \hline
 712 {Approche à base de $Ko$}
 713             & 0.1 & 0.6831 & 0.3696  & 0.3450 \\
 714             & 0.2 & 0.8524 & 0.1302  & 0.2408 \\
 715             & 0.3 & 0.9132 & 0.1023  & 0.1045 \\
 716             & 0.4 & 0.9890 & 0.0880  & 0.0570 \\
 717                               \hline
 718
 719 \end{tabular}
 720 \end{table}
 721
 722
 723 %\begin{figure}[ht]
 724 %\centering
 725 %\includegraphics[width=9cm]{22}
 726 %\caption{Average Testing Error(ATE) }
 727 %\label{fig1}
 728 %\end{figure}
 729
 730 %\begin{figure}[ht]
 731 %\centering
 732 %\includegraphics[width=9cm]{11}
 733 %\caption{Out of Bag($E_{\textit{OOB}}$)}
 734 %\label{fig2}
 735 %\end{figure}
 736
 737 %\begin{figure}[ht]
 738 %\centering
 739 %\includegraphics[width=9cm]{33}
 740 %\caption{Area Under Curve(AUC)} %\label{fig3}
 741 %\end{figure}
 742
 743
 744 \section{Conclusion}
 745 La principale contribution de ce chapitre est de proposer des
 746 fonctions de distorsion basées sur des approximations de dérivées
 747 secondes, l'idée sous-jacente étant qu'une zone où les lignes de niveau
 748 ne sont pas clairement définies est peu prévisible.
 749 Deux approches d'approximation ont été présentées.
 750 La première  basée
 751 sur un produit de convolution, exploite des noyaux déjà intégrés dans des
 752 algorithmes de détection de bords.
 753 La seconde s'appuie sur une interpolation polynomiale de l'image.
 754 Ces deux méthodes ont été complètement implantées et leur sécurité
 755 face à des stéganalyseurs a été étudiée. Les résultats encouragent
 756 à poursuivre dans cette direction.