devaney.tex

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   3 Dans  cette  partie, les  définitions  fondamentales  liées  au chaos  dans  les
   4 systèmes booléens sont rappelées et plusieurs résultats théoriques sont montrés.
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   6 \begin{Def}[Chaos (Devaney)]
   7 Une fonction $k$ continue sur un espace métrique $(\mathcal{X},d)$ est \textbf{chaotique}
   8 si elle est transitive,
   9 régulière et fortement sensible aux conditions initiales.
  10 \end{Def}
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  12 \begin{Def}[Transitivité]
  13 Une fonction $k$ est  \textbf{transitive} sur $(\mathcal{X},d)$ si  la propriété suivante est établie:
  14 \[
  15 \forall X, Y\in \mathcal{X},
  16 \forall \epsilon > 0,
  17 \exists  Z \in \mathcal{X},
  18 \exists  t \in \Nats,
  19 d(X,Z) < \epsilon  \land k^t(Z) = Y
  20 \]
  21 \end{Def}
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  23 \begin{Def}[Point périodique]
  24   Un point $P  \in \mathcal{X}$ est dit \textbf{périodique}  de période $t$ pour
  25   une fonction $k$ si $t$ est un entier  naturel non nul tel que $k^t(P) = P$ et
  26   pour tout $n$, $0 < n \le t-1$, on a $k^n(P) \neq P$.
  27   Par la  suite, $\textbf{Per(k)}$ dénote  l'ensemble des points  périodiques de
  28   $k$ dans $\mathcal{X}$ de période quelconque.
  29 \end{Def}
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  31 \begin{Def}[Régularité]
  32 Une fonction $k$  est dite \textbf{régulière} dans $(\mathcal{X},d)$
  33 si l'ensemble des points périodiques de $k$ est dense dans $\mathcal{X}$,
  34 c'est-à-dire  si la propriété suivante est établie:
  35 \[
  36 \forall X \in \mathcal{X}, \forall \epsilon > 0, \exists Y \in \textit{Per}(k)
  37  \textrm{ tel que } d(X,Y) < \epsilon.
  38 \]
  39 \end{Def}
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  41 \begin{Def}[Forte sensibilité aux conditions initiales]
  42 Une fonction $k$ définie sur $(\mathcal{X},d)$
  43 est  \textbf{fortement sensible aux conditions initiales}
  44 s'il existe une valeur $\epsilon> 0$ telle que
  45 pour tout $X \in \mathcal{X}$ et pour tout
  46  $\delta > 0$, il existe  $Y \in  \mathcal{X}$ et
  47 $t \in \Nats$ qui vérifient  $d(X,Y) < \delta$ et
  48 $d(k^t(X) , k^t(Y)) > \epsilon$.
  49 \end{Def}
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  52 John Banks et ses collègues ont cependant
  53 démontré que la sensibilité aux conditions initiales est une conséquence
  54 de la régularité et de la transitivité topologique~\cite{Banks92}.
  55 On ne se focalise donc dans la suite que sur ces deux dernières
  56 propriétés pour caractériser les fonctions booléennes $f$
  57 rendant chaotique la fonction engendrée $G_f$.
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