2 \subsection{Synthèses des contributions}
4 Les principales contributions gravitent autour des mathématiques discrètes et plus particulièrement
5 les itérations de systèmes dynamiques discrets.
7 Pour chacun des modes et des conditions de synchronisme,
8 il existe des critères (suffisants) de convergence
11 Nous avons formalisé le mode des
12 \emph{itérations mixtes} (introduit par Pr. J. M. Bahi en 2005 notamment)
13 qui combine synchronisme et asynchronisme (chapitre~\ref{chap:sdd})
14 et leur extension les \emph{itérations mixtes avec délais uniformes}.
15 Nous avons pu ainsi énoncer puis démontrer des résultats
16 établissant que pour des conditions classiques de convergence des itérations
17 synchrones, les itérations mixtes à délai uniforme
18 convergent aussi vers le même point fixe.
20 Nous avons de plus démontré (chapitre~\ref{chap:promela}) qu'on peut simuler
21 des SDDs selon tous les modes avec l'outil SPIN de \emph{Model-Checking} pour établir
22 formellement leur convergence (ou pas).
23 Nous avons énoncé puis prouvé ensuite la correction et la complétude de la démarche.
24 Des données pratiques comme la complexité et des synthèses d'expérimentation
25 ont aussi été fournies.
27 Nous nous sommes ensuite intéressés à l'étude du problème dual
28 de l'étude de divergence d'un SDD.
29 Nous avons proposé plusieurs méthodes de construction de
30 fonctions permettant d'obtenir des itérations chaotiques.
31 La première non naïve est basée sur des
32 conditions suffisantes sur le graphe d'interaction à $\mathsf{N}$ sommets
33 (chapitre~\ref{chap:carachaos}).
34 Une seconde méthode plus efficace permet en plus de disposer d'une chaîne de Markov doublement
35 stochastique et s'appuie sur les cycles hamiltoniens du graphe des
36 itérations. Elle est présentée au chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}.
37 Ces méthodes ont permis d'étendre à l'infini la classe des fonctions
38 dont les itérations sont chaotiques.
41 entrepris d'étudier ces itérations et plus particulièrement leur
42 apprentissage par un réseau de neurones.
43 Nous avons notamment pu contribuer à montrer pratiquement qu'il
44 est très difficile (voir impossible) de les prédire
45 à l'aide d'outils d'intelligence artificielle (chapitre~\ref{chp:ANN}).
47 Avec la production d'une grande collection de fonctions à itérations chaotiques, nous avons donc proposé de répondre à la question suivante: comment engendrer des fonctions
48 dont les itérations vont produire des nombres simulant correctement l'aléa.
49 En d'autres termes, quelles fonctions peuvent être embarquées dans un PRNG?
50 Nous avons d'abord caractérisé les fonctions dont les itérations produisent des nombres
51 selon une distribution uniforme (chapitre~\ref{chap:PRNG:chao}). Pour cela il a fallu réécrire
52 l'algorithme de génération comme une marche aléatoire dans une partie du $\mathsf{N}$-cube,
53 se ramener ensuite à une chaîne de Markov puis enfin
54 utiliser la théorie élaborée sur ce sujet
55 pour conclure (chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}).
57 Parmi les fonctions retenues, celles issues de la suppression
58 d'un cycle hamiltonien dans un $\mathsf{N}$-cube ont retenu notre attention.
59 Nous nous sommes aussi attaché à montrer l'importance de l'équilibrage du cycle
60 hamiltonien à enlever (chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}).
61 Nous avons de plus entrepris dans ce chapitre
62 de trouver un majorant du nombre d'itérations suffisant à
63 l'obtention d'une distribution uniforme
65 Nous avons renforcé la thématique de marquage de document numérique de l'équipe AND en
66 embarquant ces fonctions dans des outils de watermarking.
67 Nous avons participé à la formalisation de la méthode de
68 marquage de médias (chapitre~\ref{chap:watermarking}) et particularisé
69 ceci à des images numériques fournissant un
70 nouveau contexte pour l'étude théorique et mathématique d'algorithmes de marquage.
71 Des instances de ces algorithmes ont été présentées en sélectionnant de manière
72 pertinente les fonctions à itérer pour garantir une robustesse
75 D'autre méthodes de watermarking ont été investies (mais plus dans le domaine discret),
76 particulièrement celles basées sur la Quantization Index Modulation (QIM), méthodes
77 étant supposées comme les plus robustes. Nos principales contributions
78 sur ce travail ont été
79 d'intégrer ceci à du marquage de document PDF puis de
80 présenter ce problème comme un problème d'optimisation (chapitre~\ref{chap:watermarking:pdf}).
82 Nous avons de plus conçu l'algorithme STABYLO (chapitre~\ref{chap:stabylo})
83 qui est un schéma de stéganographie basé sur l'enfouissement de l'information dans les contours
84 présents dans une image. Cet algorithme présente un bon compromis entre sécurité
85 fournie et complexité algorithmique.
86 Nous avons enfin proposé d'exprimer les fonctions de distorsion classiquement utilisées en stéganographie
87 comme des méthodes de calcul de gradient
88 ou de matrice Hessienne. Grâce à l'étude de ces matrices, nous avons proposé un nouveau schéma de
89 stéganographie sécurisé (chapitre~\ref{chap:th:yousra}).
91 \subsection{Quelques perspectives}
93 \subsubsection{Étendons les PRNGs}
94 La démarche actuelle de génération de nombres pseudo-aléatoires
95 consiste à marcher dans une partie d'un $\mathsf{N}$-cube en choisissant son chemin
96 à l'aide d'un générateur fourni en entrée. Or ces générateurs sont tous des
97 fonctions de $\{0,1\}^{\mathsf{N}}$ dans lui-même. Cette approche
98 semble pouvoir se réécrire comme un produit synchrone de deux automates.
99 L'intérêt d'une telle réécriture est qu'on pourrait exploiter
100 les résultats théoriques et pratiques déjà connus dans la communauté
102 Nous pensons investiguer cette voie pour améliorer notre approche,
103 s'affranchir, à terme, de tout autre générateur et améliorer la
104 connaissance à ce sujet.
106 De plus, marcher dans une partie d'un $\mathsf{N}$-cube est le modèle théorique que
107 nous avons établi pour notre classe de générateurs. On a vu, via les itérations généralisées
108 qu'on pouvait modifier plusieurs bits
109 en une seule itération. Les premiers travaux pratiques réalisés ont montré
110 que le nombre d'itérations suffisant pour converger vers une distribution uniforme
111 est plus petit que celui obtenu en marchant et qu'il diminue à mesure que $\mathsf{N}$
112 augmente. Pour l'instant, nous n'avons pas réussi à obtenir une majoration du nombre d'itérations
113 pour le temps d'arrêt, ce qui pourrait être une perspective.
115 \subsubsection{Des codes de Gray localement et globalement équilibrés}
116 Enfin, pour générer une fonction dont la matrice de Markov est doublement
118 --condition nécessaire pour fournir une sortie uniformément distribuée--,
119 nous avons proposé principalement la méthode de
120 suppression de chemin hamiltonien dans un $\mathsf{N}$-cube.
121 Nous avons fait sauter un premier verrou en proposant une méthode déterministe à l'extension
122 de Robinson-Cohn. Il est apparu récemment des algorithmes permettant d'obtenir des codes de Gray
123 localement équilibrés, c.-à-d. où la longueur du plus grand nombre d'étapes entre
124 deux changements d'un même bit est aussi petite que possible.
125 Dans tous les cas, aucun de ces codes n'est globalement équilibré ni même presque équilibré.
126 Cette double propriété serait cependant très intéressante aussi bien théoriquement que pratiquement
127 pour nos générateurs.
128 Un second verrou consistera à adapter ces algorithmes pour proposer des codes possédant les
129 deux propriétés d'équilibrage.
131 \subsubsection{Stéganalyse par deep learning}
133 Les démarches de stéganalyse sont souvent composées de 2 étapes:
134 caractérisation puis classification.
135 On extrait au préalable une grande quantité des caractéristiques du média
136 puis on utilise une méthode de
137 classification basée sur celles-ci. La communauté voit souvent cette
138 seconde étape comme une boite noire et se concentre
139 sur la construction de l'ensemble des caractéristiques les plus discriminantes.
140 Autant que nous sachions, les méthodes algébriques
141 de réduction de domaine (analyse par composant principaux, SVD)
142 ont rarement été utilisées comme une étape intermédiaire entre la caractérisation et
143 la classification. Ces méthodes ont déjà été
144 appliquées avec succès lorsqu'elles sont combinées avec des méthodes
145 d'apprentissage, par exemple dans de la reconnaissance faciale.
146 Je propose d'étudier cette piste dans ce domaine.
149 De plus les résultats obtenus en stéganalyse à l'aide de deep learning à base de convolutions
150 sont très prometteurs lorsque la clef qui a servi à l'embarquement est constante.
151 Malheureusement, lorsque la clef varie, nous n'avons pas réussi à généraliser ces avancées.
152 Les démarches les plus efficaces demeurent
153 celles obtenues par des approches classiques à base de caractéristiques statistiques (features)
155 Cependant, en étudiant plus finement les features, on constate que nombreuses sont celles qui sont aussi
156 basées sur des produits de convolution.
157 Je propose d'étudier exhaustivement ces features pour d'abord traduire
158 en deep-learning celles qui sont des convolutions directes. Il restera ensuite
159 à adapter l'outil de deep learning aux caractéristiques restantes ce qui est un autre challenge
