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\section{Chaînes de Markov associées à $\textsc{giu}(f)$}  
Considérons le lemme technique suivant:
\begin{lemma}\label{lem:stoc}
Soit $f: \Bool^{n} \rightarrow \Bool^{n}$, $\textsc{giu}(f)$ son graphe d'itérations, $\check{M}$ la matrice d'adjacence de $\textsc{giu}(f)$, et  $M$  la matrice 
$2^n\times 2^n$  définie par
$M = \frac{1}{n}\check{M}$.
Alors $M$ est une matrice stochastique régulière si et seulement si
$\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
\end{lemma}

\begin{proof}  
On remarque tout d'abord que $M$ 
est une matrice stochastique par construction.
Supposons $M$ régulière. 
Il existe donc  $k$ tel que $M_{ij}^k>0$ pour chaque $i,j\in \llbracket
1;  2^n  \rrbracket$. L'inégalité  $\check{M}_{ij}^k>0$  est alors établie.
Puisque $\check{M}_{ij}^k$ est le nombre de chemins de  $i$ à $j$ de longueur $k$
dans $\textsc{giu}(f)$ et puisque ce nombre est positif, alors 
$\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.

Réciproquement si $\textsc{giu}(f)$ 
est fortement connexe, alors pour tous les sommets $i$ et $j$, un chemin peut être construit pour atteindre  $j$  depuis $i$ en au plus $2^n$ étapes.
Il existe donc 
$k_{ij} \in \llbracket 1,  2^n \rrbracket$ tels que $\check{M}_{ij}^{k_{ij}}>0$.  
Comme tous les  multiples $l \times k_{ij}$ de $k_{ij}$ sont tels que 
$\check{M}_{ij}^{l\times  k_{ij}}>0$, 
on peut conclure que, si 
$k$ est le plus petit multiple commun de $\{k_{ij}  \big/ i,j  \in \llbracket 1,  2^n \rrbracket  \}$ alors
$\forall i,j  \in \llbracket  1, 2^n \rrbracket,  \check{M}_{ij}^{k}>0$. 
Ainsi, $\check{M}$ et donc $M$ sont régulières.
\end{proof}

Ces résultats permettent formuler et de prouver le théorème annoncé.
\PrngCIUniforme*
\begin{proof}
  $M$ est une matrice stochastique régulière (Lemme~\ref{lem:stoc}) 
  qui a un unique vecteur de probabilités stationnaire
  (Théorème \ref{th}).
  Soit $\pi$  défini par 
  $\pi = \left(\frac{1}{2^n}, \hdots, \frac{1}{2^n} \right)$.
  On a  $\pi M = \pi$ si et seulement si
  la somme des valeurs de chaque colonne de $M$  est 1, 
  \textit{i.e.} si et seulement si 
  $M$ est  doublement  stochastique.
\end{proof}

\section{Chaoticité de la fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ dans
$(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$}

Montrons le théorème
\distancedsxnp*


\begin{proof}
 $d_{\mathds{B}^\mathsf{N}}$ est la distance de Hamming.
 Prouvons que  
 $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}$ est aussi une distance;
$d$ sera ainsi une distance comme somme de deux distances.
 \begin{itemize}
\item De manière évidente, $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})\geqslant 0$, et si $s=\check{s}$, alors
$d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})=0$. 
Réciproquement si $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})=0$, alors
$\forall k \in \mathds{N}, v^k=\check{v}^k$ d'après la définition de $d$.
Or les éléments entre les positions $p+1$ et  $p+n$ 
sont nulles et correspondent à $|u^0-\check{u}^0|$, 
on peut conclure que $u^0=\check{u}^0$.
On peut étendre ce résultat aux $n \times \max{(\mathcal{P})}$ premiers 
blocs engendrant $u^i=\check{u}^i$, $\forall i \leqslant v^0=\check{v}^0$, 
et en vérifiant tous les  $n \times \max{(\mathcal{P})}$ blocs, $u=\check{u}$.
 \item $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}$ est évidemment  symétrique 
($d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(s,\check{s})=d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}(\check{s},s)$). 
\item l'inégalité triangulaire est établie puisque la valeur absolue la vérifie
aussi.
 \end{itemize}
\end{proof}



Montrons que: 
\begin{lemma}
Le graphe d'itérations $\textsc{giu}_{\mathcal{P}}(f)$ 
est fortement connexe si et seulement si 
la fonction $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est topologiquement transitive sur
$(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}},d)$. 
\end{lemma}\label{prop:trans}

\begin{proof}
Supposons tout d'abord que  $G_{f_u,\mathcal{P}}$ fortement connexe.
Soit $x=(e,(u,v)),\check{x}=(\check{e},(\check{u},\check{v})) 
\in \mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ et $\varepsilon >0$.
On cherche un point $y$ dans une boule ouverte $\mathcal{B}(x,\varepsilon )$ 
et un nombre 
$n_0 \in \mathds{N}$ tels que $G_{f_u,\mathcal{P}}^{n_0}(y)=\check{x}$: 
Cette transitivité forte entraînera la propriété de transitivité classique.
On peut supposer que $\varepsilon <1$ sans perte de généralité.

Soit $(E,(U,V))$ les éléments de  $y$. Comme 
$y$ doit appartenir à $\mathcal{B}(x,\varepsilon)$ et  $\varepsilon < 1$,
$E$ est égal à $e$. 
Soit $k=\lfloor \log_{10} (\varepsilon) \rfloor +1$.
La distance $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}((u,v),(U,V))$ est inférieure à 
$\varepsilon$: les  $k$ premiers éléments de la partie décimale de 
$d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}((u,v),(U,V))$ sont nuls.
Soit $k_1$ le plus petit entier tel que, si $V^0=v^0$, ...,  $V^{k_1}=v^{k_1}$,
alors $U^0=u^0$, ..., $U^{\sum_{l=0}^{k_1}V^l-1} = u^{\sum_{l=0}^{k_1}v^l-1}$.
Alors $d_{\mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}}((u,v),(U,V))<\varepsilon$.
En d'autres mots, chaque $y$ de la forme $(e,((u^0, ..., u^{\sum_{l=0}^{k_1}v^l-1}),
(v^0, ..., v^{k_1}))$ est dans $\mathcal{B}(x,\varepsilon)$.

Soit $y^0$ un tel point et $z=G_{f_u,\mathcal{P}}^{k_1}(y^0) = (e',(u',v'))$. 
$G_{f_u,\mathcal{P}}$ étant fortement connexe,
il existe un chemin entre $e'$ et $\check{e}$. 
Soit $a_0, \hdots, a_{k_2}$ les arêtes visitées le long de ce chemin. 
On fixe $V^{k_1}=|a_0|$ 
(le nombre de termes dans la séquence finie $a_1$),
$V^{k_1+1}=|a_1|$, ..., $V^{k_1+k_2}=|a_{k_2}|$, et 
$U^{k_1}=a_0^0$, $U^{k_1+1}=a_0^1$, ..., $U^{k_1+V_{k_1}-1}=a_0^{V_{k_1}-1}$,
$U^{k_1+V_{k_1}}=a_1^{0}$, $U^{k_1+V_{k_1}+1}=a_1^{1}$,\ldots

Soit $y=(e,((u^0, ..., u^{\sum_{l=0}^{k_1}v^l-1}, a_0^0, ..., a_0^{|a_0|}, a_1^0, ..., a_1^{|a_1|},..., 
 a_{k_2}^0, ..., a_{k_2}^{|a_{k_2}|},$ \linebreak
 $\check{u}^0, \check{u}^1, ...),(v^0, ..., v^{k_1},|a_0|, ...,
 |a_{k_2}|,\check{v}^0, \check{v}^1, ...)))$. 
Ainsi
 $y\in \mathcal{B}(x,\varepsilon)$
 et $G_{f}^{k_1+k_2}(y)=\check{x}$.
 
Réciproquement, si  $G_{f_u,\mathcal{P}}$ n'est pas fortement connexe,
il y a donc deux n{\oe}uds 
$e_1$ et $e_2$ sans chemins entre eux.
Il n'est ainsi pas possible de trouver un couple $(u,v)\in \mathds{S}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$
et $n \mathds{N}$ tel que  $G_{f_u,\mathcal{P}}^n(e,(u,v))_1=e_2$. 
La boule ouverte  $\mathcal{B}(e_2, 1/2)$ ne peut ainsi pas être atteinte
depuis n'importe quel voisins de $e_1$: 
$G_{f_u,\mathcal{P}}$ n'est pas transitive.
\end{proof}


Montrons maintenant que 
\begin{lemma}
Si $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est fortement connexe, alors $G_{f_u,\mathcal{P}}$ est  
régulière sur  $(\mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}, d)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Soit $x=(e,(u,v)) \in \mathcal{X}_{\mathsf{N},\mathcal{P}}$ et $\varepsilon >0$. 
Comme dans la preuve du lemme~\ref{prop:trans}, soit $k_1 \in \mathds{N}$ tel
que 
$$\left\{(e, ((u^0, ..., u^{v^{k_1-1}},U^0, U^1, ...),(v^0, ..., v^{k_1},V^0, V^1, ...)) \mid \right.$$
$$\left.\forall i,j \in \mathds{N}, U^i \in \llbracket 1, \mathsf{N} \rrbracket, V^j \in \mathcal{P}\right\}
\subset \mathcal{B}(x,\varepsilon),$$
et $y=G_{f_u,\mathcal{P}}^{k_1}(e,(u,v))$. 
$G_{f_u,\mathcal{P}}$ étant fortement connexe,
il existe au moins un chemin entre l'état booléen $y_1$ de $y$ et $e$.
Nommons $a_0, \hdots, a_{k_2}$ les arêtes d'un tel chemin.
Le point
$$(e,((u^0, ..., u^{v^{k_1-1}},a_0^0, ..., a_0^{|a_0|}, a_1^0, ..., a_1^{|a_1|},..., 
 a_{k_2}^0, ..., a_{k_2}^{|a_{k_2}|},u^0, ..., u^{v^{k_1-1}},$$
$$a_0^0, ...,a_{k_2}^{|a_{k_2}|}...),(v^0, ..., v^{k_1}, |a_0|, ..., |a_{k_2}|,v^0, ..., v^{k_1}, |a_0|, ..., |a_{k_2}|,...))$$
est un point périodique dans le voisinage $\mathcal{B}(x,\varepsilon)$ de $x$.
\end{proof}

$G_{f_u,\mathcal{P}}$ étant topologiquement transitive and régulière, 
on peut démontrer le théorème:
\thmchoticitgfp*