conclusion.tex

   1
   2 \subsection{Synthèses des contributions}
   3
   4 Les principales contributions gravitent autour des mathématiques discrètes et plus particulièrement
   5 les itérations de systèmes dynamiques discrets.
   6
   7 Pour chacun des modes et des conditions de synchronisme,
   8 il existe des critères  (suffisants) de convergence
   9 globale ou locale.
  10
  11 Nous avons formalisé le mode des
  12 \emph{itérations mixtes} (introduit par Pr. J. M.  Bahi en 2005 notamment)
  13 qui combine synchronisme et asynchronisme (chapitre~\ref{chap:sdd})
  14 et leur extension  les \emph{itérations mixtes avec délais uniformes}.
  15 Nous avons pu ainsi énoncer puis démontrer des résultats
  16 établissant que pour des conditions classiques de convergence des itérations
  17 synchrones, les itérations mixtes à délai uniforme
  18 convergent aussi vers le même point fixe.
  19
  20 Nous avons de plus démontré (chapitre~\ref{chap:promela}) qu'on peut simuler
  21 des SDDs selon tous les modes avec l'outil SPIN de \emph{Model-Checking} pour établir
  22 formellement leur convergence (ou pas).
  23 Nous avons énoncé puis prouvé ensuite la  correction et la complétude de la démarche.
  24 Des données pratiques comme la complexité et des synthèses d'expérimentation
  25 ont aussi été fournies.
  26
  27 Nous nous sommes ensuite intéressés à l'étude du problème dual
  28 de l'étude de divergence d'un SDD.
  29 Nous avons proposé plusieurs méthodes de construction de
  30 fonctions permettant d'obtenir des itérations chaotiques.
  31 La première non naïve est basée sur des
  32 conditions suffisantes sur le graphe d'interaction à $\mathsf{N}$ sommets
  33 (chapitre~\ref{chap:carachaos}).
  34 Une seconde méthode plus efficace permet en plus de disposer d'une chaîne de Markov doublement
  35 stochastique  et s'appuie sur les cycles hamiltoniens du graphe des
  36 itérations. Elle est présentée au chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}.
  37 Ces méthodes ont permis d'étendre à l'infini la classe des fonctions
  38 dont les itérations sont chaotiques.
  39
  40 Nous de plus entrepris d'étudier ces itérations et plus particulièrement leur
  41 apprentissage par un réseau de neurones.
  42 Nous avons notamment pu contribuer à montrer pratiquement qu'il
  43 est très difficile (voir impossible) de les prédire
  44 à l'aide d'outils d'intelligence artificielle (chapitre~\ref{chp:ANN}).
  45
  46 Avec la production d'une grande collection de fonctions à itérations chaotiques,
  47 Nous avons donc proposé de répondre à la question suivante: comment engendrer des fonctions
  48 dont les itérations vont produire des nombres simulant correctement l'aléa.
  49 En d'autres termes, quelles fonctions peuvent être embarquées dans un PRNG?
  50 Nous avons d'abord caractérisé les fonctions dont les itérations produisent des nombres
  51 selon une distribution uniforme (chapitre~\ref{chap:PRNG:chao}). Pour cela il a fallu réécrire
  52 l'algorithme de génération comme une marche aléatoire dans une partie du $\mathsf{N}$-cube,
  53 de se ramener à une chaîne de Markov puis d'utiliser la théorie élaborée sur ce sujet
  54 pour conclure (chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}).
  55
  56 Parmi les fonctions retenues, celles issues de la suppression
  57 d'un cycle hamiltonien dans un $\mathsf{N}$ ont retenu notre attention.
  58 Nous nous sommes aussi attaché à montrer l'importance de l'équilibrage du cycle
  59 hamiltonien à enlever (chapitre~\ref{chap:PRNG:gray}).
  60 Nous avons de plus entrepris dans ce chapitre
  61 de trouver un majorant du nombre d'itérations suffisant à
  62 l'obtention d'une distribution uniforme
  63
  64 Nous avons renforcé la thématique de marquage de document numérique de l'équipe AND en
  65 embarquant ces fonctions dans des outils de watermarking.
  66 Nous avons participé à la formalisation de la méthode de
  67 marquage de médias (chapitre~\ref{chap:watermarking}) et particularisé
  68 ceci à des images numériques fournissant un
  69 nouveau contexte pour l'étude théorique et mathématique d'algorithmes de marquage.
  70 Des instances de ces algorithmes ont été présentées en sélectionnant de manière
  71 pertinente les fonctions à itérer  pour garantir une robustesse
  72 élevée.
  73
  74 D'autre méthodes de watermarking ont été investies (mais plus dans le domaine discret),
  75 particulièrement celles basées sur la Quantization Index Modulation (QIM), méthodes
  76 étant supposées comme les plus robustes. Nos principales contributions
  77 sur ce travail ont été
  78 d'intégrer ceci à du marquage de document PDF puis de
  79 présenter ce problème comme un problème d'optimisation (chapitre~\ref{chap:watermarking:pdf}).
  80
  81 Nous avons de plus conçu l'algorithme STABYLO (chapitre~\ref{chap:stabylo})
  82 qui est un schéma de stéganographie basé sur l'enfouissement de l'information dans les contours
  83 présents dans une image. Cet algorithme présente un bon compromis entre sécurité
  84 fournie et complexité algorithmique.
  85 Nous avons enfin proposé d'exprimer les fonctions de distorsion classiquement utilisées en stéganographie
  86 comme des méthodes de calcul de gradient
  87 ou de matrice Hessienne. Grâce à l'étude de ces matrices, nous avons proposé un nouveau schéma de
  88 stéganographie sécurisé (chapitre~\ref{chap:th:yousra}).
  89
  90 \subsection{Quelques perspectives}
  91
  92 \subsubsection{Étendons les PRNGs}
  93 La démarche actuelle de génération de nombres pseudo-aléatoires
  94 consiste à marcher dans une partie d'un $\mathsf{N}$-cube en choisissant son chemin
  95 à l'aide d'un générateur fourni en entrée. Or ces générateurs sont tous des
  96 fonctions de $\{0,1\}^{\mathsf{N}}$ dans lui-même. Cette approche
  97 semble pouvoir se réécrire comme un produit synchrone de deux automates.
  98 L'intérêt d'une telle réécriture est qu'on pourrait exploiter
  99 les résultats théoriques et pratiques déjà connus dans la communauté
 100 des automates.
 101 Nous  pensons investiguer cette voie pour améliorer notre approche,
 102 s'affranchir, à terme, de tout autre générateur et améliorer la
 103 connaissance à ce sujet.
 104
 105 De plus, marcher dans une partie d'un $\mathsf{N}$-cube est le modèle théorique que
 106 nous avons établi pour notre classe de générateurs. On a vu, via les itérations généralisées
 107 qu'on pouvait modifier plusieurs bits
 108 en une seule itération. Les premiers travaux pratiques réalisés ont montré
 109 que le nombre d'itérations suffisant pour converger vers une distribution uniforme
 110 est plus petit que celui obtenu en marchant et qu'il diminue à mesure que $\mathsf{N}$
 111 augmente. Pour l'instant, nous n'avons pas réussi à obtenir une majoration du nombre d'itérations
 112 pour le temps d'arrêt, ce qui pourrait être une perspective.
 113
 114 \subsubsection{Des codes de Gray localement et globalement équilibrés}
 115 Enfin, pour générer une fonction dont la matrice de Markov est doublement
 116 stochastique
 117 --condition nécessaire pour fournir une sortie uniformément distribuée--,
 118 nous avons proposé principalement la méthode de
 119 suppression de chemin hamiltonien dans un $\mathsf{N}$-cube.
 120 Nous avons fait sauter un premier verrou en proposant une méthode déterministe à l'extension
 121 de Robinson-Cohn. Il est apparu récemment des algorithmes permettant d'obtenir des codes de Gray
 122 localement équilibrés, c.-à-d. où la longueur du plus grand nombre d'étapes entre
 123 deux changements d'un même bit est aussi petite que possible.
 124 Dans tous les cas, aucun des ces codes n'est globalement équilibré ni même presque équilibré.
 125 Cette double propriété serait cependant très intéressante aussi bien théoriquement que pratiquement
 126 pour nos générateurs.
 127 Un second verrou consistera à adapter ces algorithmes pour proposer des codes possédant les
 128 deux propriétés d'équilibrage.
 129
 130 \subsubsection{Stéganalyse par deep learning}
 131
 132 Les démarches de stéganalyse sont souvent composées de 2 étapes:
 133 caractérisation puis classification.
 134 On extrait au préalable une grande quantité des caractéristiques du média
 135 puis on utilise une méthode de
 136 classification basée sur celles-ci. La communauté voit souvent cette
 137 seconde étape comme une boite noire et se concentre
 138 sur la construction de l'ensemble des caractéristiques les plus discriminantes.
 139 Autant que nous sachions, les méthodes algébriques
 140 de réduction de domaine (analyse par composant principaux, SVD)
 141 ont rarement été utilisées comme une étape intermédiaire entre la caractérisation et
 142 la classification. Ces méthodes ont déjà été
 143 appliquées avec succès lorsqu'elles sont combinées avec des méthodes
 144 d'apprentissage, par exemple dans de la reconnaissance faciale.
 145 Je propose d'étudier cette piste dans ce domaine.
 146
 147
 148 De plus les résultats obtenus en stéganalyse à l'aide de deep learning à base de convolutions
 149 sont très prometteurs  lorsque la clef qui a servi à l'embarquement est constante.
 150 Malheureusement, lorsque la clef varie, nous n'avons pas réussi à généraliser ces avancées.
 151 Les démarches les plus efficaces demeurent
 152 celles obtenues par des approches classiques à base de caractéristiques statistiques (features)
 153 d'images.
 154 Cependant, en étudiant plus finement les features, on constate que nombreuses sont celles qui sont aussi
 155 basées sur des produits de convolution.
 156 Je propose d'étudier exhaustivement ces features pour d'abord traduire
 157 en deep-learning celles qui sont des convolutions directes. Il restera ensuite
 158 à adapter l'outil de deep learning aux caractéristiques restantes ce qui est un autre challenge
 159 scientifique.
 160