[hdrcouchot.git] / modelchecking.tex

\JFC{donner dans les rappels les délais et les propriétés de convergence uniforme}


\section{Rappels sur le langage PROMELA}
\label{sec:spin:promela}

Cette section  rappelle les éléments fondamentaux du langage PROMELA (Process Meta  Language).
On peut trouver davantage de détails dans~\cite{Hol03,Wei97}.




\begin{figure}[ht]
\begin{tiny}
\begin{lstlisting}
#define N 3
#define d_0 5

bool X [N]; bool Xp [N]; int mods [N];
typedef vals{bool v [N]};
vals Xd [N];  

typedef a_send{chan sent[N]=[d_0] of {bool}};
a_send channels [N];

chan unlock_elements_update=[1] of {bool};
chan sync_mutex=[1] of {bool};
\end{lstlisting}
\end{tiny}
\caption{Declaration des types de la traduction.}
\label{fig:arrayofchannels}
\end{figure}


Les types primaires de PROMELA sont \texttt{bool}, \texttt{byte},
\texttt{short} et  \texttt{int}. Comme dans le langage C par exemple,
on peut déclarer des tableaux à une dimension de taille constante 
ou des nouveaux types de données (introduites par le mot clef 
\verb+typedef+). Ces derniers sont utilisés pour définir des tableaux à deux
dimension.

\begin{xpl}
Le programme donné à la {\sc Figure}~\ref{fig:arrayofchannels} correspond à des 
déclarations de variables qui serviront dans l'exemple jouet de ce chapitre. 
Il définit tout d'abord:
\begin{itemize}
\item les constantes \verb+N+ et \verb+d_0+ qui précisent respectivement le nombre
 $n$ d'éléments et le délais maximum $\delta_0$;
\item les deux tableaux  (\verb+X+ et \verb+Xp+) de \verb+N+ variables booléennes; 
les cellules \verb+X[i]+ et \verb+Xp[i]+ sont associées à la variables $X_{i+1}$
d'un système dynamique discret 
(le décalages d'un entier est dû à l'indexation à partir de zéro des cellules d'un tableau);
Elles  mémorisent les  valeurs de $X_{i+1}$ respectivement avant et après sa mise à jour; 
il suffit ainsi de comparer  \verb+X+ et \verb+Xp+ pour constater si $X$ à changé ou pas;
\item le tableau \verb+mods+ contient les éléments qui doivent être modifiés lors de l'itération 
en cours; cela correspond naturellement à l'ensemble des éléments $S^t$;
\item le type de données structurées \verb+vals+ et le tableau de tableaux 
 \verb+Xd[+$i$\verb+].v[+$j$\verb+]+ qui vise à mémoriser $X_{j+1}^{D^{t-1}_{i+1j+1}}$
 pour l'itération au temps $t$ (en d'autres termes, utile lors du calcul de $X^{t}$).
\end{itemize}


Puisque le décalage d'un indices ne change pas fondamentalement 
le comportement de la version PROMELA par rapport au modèle initial
et pour des raisons de clarté, on utilisera par la suite la même 
lettre d'indice entre les deux niveaux (pour le modèle: $X_i$ et pour  PROMELA: 
\texttt{X[i]}). Cependant, ce décalage devra être conservé mémoire.

Une donnée de type \texttt{channel} permet le 
transfert de messages entre processus dans un ordre FIFO.
Elles serait déclarée avec le mot clef \verb+chan+ suivi par sa capacité 
(qui est constante), son nom et le type des messages qui sont stockés dans ce canal.
Dans l'exemple précédent, on déclare successivement:
\begin{itemize}
\item un canal \verb+sent+ qui vise à mémoriser\verb+d_0+ messages de type
 \verb+bool+; le tableau nommé \verb+channels+ de \verb+N+*\verb+N+
 éléments de type \verb+a_send+ est utilisé pour mémoriser les valeurs intermédiaires $X_j$;
 Il permet donc de temporiser leur emploi par d'autres elements $i$.
\item les deux canaux  \verb+unlock_elements_update+ et  \verb+sync_mutex+ contenant 
chacun un message booléen et utilisé ensuite comme des sémaphores.
\end{itemize}
\end{xpl}

%\subsection{PROMELA Processes} 
Le langage PROMELA exploite la notion de \emph{process} pour modéliser la concurrence
au sein de systèmes. Un process est déclaré avec le mot-clé
\verb+proctype+  et est  instancié soit immédiatement (lorsque sa déclaration est préfixée 
 par le mot-clef  \verb+active+) ou bien au moment de l'exécution de l'instruction 
\texttt{run}.
Parmi tous les process,  \verb+init+ est le process  initial qui permet 
d'initialiser les variables, lancer d'autres process\ldots


Les instructions d'affectation sont interprétées usuellement.
Les canaux sont cernés par des instructions particulières d'envoi et de
réception de messages. Pour un canal  
\verb+ch+,  ces instruction sont respectivement notées
\verb+ch  !  m+ et \verb+ch  ?  m+.
L'instruction de réception consomme la valeur en tête du canal \verb+ch+
et l'affecte à la variable \verb+m+ (pour peu que  \verb+ch+ soit initialisé et non vide).
De manière similaire,l'instruction d'envoi ajoute la valeur de \verb+m+ à la queue du canal
\verb+ch+ (pour peu que celui-ci soit initialisé et non rempli).
Dans les cas problématiques, canal non initialisé et vide pour une réception ou bien rempli pour un envoi,
le processus est bloqué jusqu'à ce que les  conditions soient  remplies.

La structures de contrôle   \verb+if+   (resp.   \verb+do+)   définit un choix non déterministe 
 (resp.  une boucle non déterministe). Que ce soit pour la conditionnelle ou la boucle, 
si plus d'une des conditions est établie, l'ensemble des instructions correspondantes 
sera choisi aléatoirement puis exécuté.

Dans le process \verb+init+ détaillé à la {\sc Figure}~\ref{fig:spin:init}, 
une boucle de taille $N$ initialise aléatoirement la variable  globale de type tableau \verb+Xp+.
Ceci permet par la suite de vérifier si les itérations sont  convergentes pour n'importe  
quelle configuration initiale $X^{(0)}$.



Pour chaque  élément $i$, si les itérations sont asynchrones
\begin{itemize}
\item on stocke d'abord la valeur de \verb+Xp[i]+ dans chaque \verb+Xd[j].v[i]+ 
puisque la matrice $S^0$ est égale à $(0)$,
\item puis, la valeur  de $i$ (représentée par  \verb+Xp[i]+) devrait être transmise 
  à $j$  s'il y a un arc de $i$ à   $j$ dans le graphe d'incidence. Dans ce cas,
  c'est la fonction  \verb+hasnext+ (non détaillée ici)  
  \JFC{la détailler}
  qui   mémorise ce graphe
  en fixant à  \texttt{true} la variable \verb+is_succ+, naturellement et à 
  \texttt{false} dans le cas contraire. 
  Cela permet d'envoyer la valeur de $i$ dans le canal au travers de \verb+channels[i].sent[j]+.
\end{itemize}

\begin{figure}[t]
 \begin{minipage}[h]{.52\linewidth}
\begin{tiny}
\begin{lstlisting}
init{
 int i=0; int j=0; bool is_succ=0;
 do
 ::i==N->break;
 ::i< N->{
   if
   ::Xp[i]=0;
   ::Xp[i]=1;
   fi;
   j=0;
   do
   ::j==N -> break;
   ::j< N -> Xd[j].v[i]=Xp[i]; j++;
   od;
   j=0;
   do
   ::j==N -> break;
   ::j< N -> {
     hasnext(i,j);
     if
     ::(i!=j && is_succ==1) -> 
     channels[i].sent[j] ! Xp[i];
     ::(i==j || is_succ==0) -> skip; 
     fi;  
     j++;}
   od;
   i++;}
 od;
 sync_mutex ! 1;
}
\end{lstlisting}
\end{tiny}
\caption{Process init.}\label{fig:spin:init} 
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}[h]{.42\linewidth}
\begin{tiny}
\begin{lstlisting}
active proctype scheduler(){ 
 do
 ::sync_mutex ? 1 -> {
   int i=0; int j=0;
   do
   :: i==N -> break;
   :: i< N -> {
     if
     ::skip;
     ::mods[j]=i; j++;
     fi;
     i++;}
   od;
   ar_len=i; 
   unlock_elements_update ! 1;
   }
 od
}
\end{lstlisting}
\end{tiny}
\caption{Process scheduler pour la stratégie pseudo pérodique.
 \label{fig:scheduler}}
\end{minipage}
\end{figure}



\section{Du système booléen au modèle PROMELA}
\label{sec:spin:translation}
Les éléments principaux des itérations asynchrones rappelées à l'équation 
(\ref{eq:async}) sont  la stratégie, la  fonctions et la gestion des délais.
Dans cette section, nous présentons successivement comment chacune de 
ces notions est traduite vers un modèle PROMELA.


\subsection{La stratégie}\label{sub:spin:strat}
Regardons comment une stratégie pseudo périodique peut être représentée en PROMELA.
Intuitivement, un process \verb+scheduler+ (comme représenté à la {\sc Figure}~\ref{fig:scheduler}) 
est iterrativement appelé pour construire chaque $S^t$ représentant 
les éléments possiblement mis à jour à l'itération $t$.

Basiquement, le process est une boucle qui est débloquée lorsque la valeur du sémaphore
\verb+sync_mutex+ est 1. Dans ce cas, les éléments à modifier sont choisis
aléatoirement  (grâce à  $n$ choix successifs) et sont mémorisés dans le tableau
\verb+mods+,  dont la taille est  \verb+ar_len+.   
Dans la séquence d'exécution, le choix d'un élément mis à jour est directement
suivi par des mis à jour: ceci est réalisé grâce à la modification de la valeur du sémaphore
 \verb+unlock_elements_updates+.

\subsection{Itérer la fonction $F$}\label{sub:spin:update}
La mise à jour de l'ensemble  $S^t=\{s_1,\ldots, s_m\}$  des éléments qui constituent la stratégie
$(S^t)^{t \in \Nats}$ est implanté à l'aide du process  \verb+update_elems+ fourni à la 
{\sc Figure}~\ref{fig:proc}.  
Ce process actif attend jusqu'à ce qu'il soit débloqué par le process
\verb+scheduler+  à l'aide du sémaphore \verb+unlock_elements_update+.
L'implantation contient donc cinq étapes:

\begin{enumerate}
\item elle commence en mettant à jour la variable \texttt{X} avec les valeurs de \texttt{Xp}
  dans la fonction \texttt{update\_X} (non détaillée ici);
\item elle mémorise dans  \texttt{Xd} la valeurs disponibles des  éléments grâce à 
  la fonction \texttt{fetch\_values} (cf. \Sec{sub:spin:vt});
\item  une boucle sur les  \texttt{ar\_len} éléments qui peuvent être modifiés
  met à jour iterrativement la valeur de $j$ (grâce à l'appel de fonction \texttt{F(j)})
  pour peu que celui-ci doive être modifié,  \textit{i.e.},   pour peu qu'il soit renseigné dans
  \texttt{mods[count]}; le code source de \texttt{F} est donné en {\sc Figure}~\ref{fig:p} et est une 
  traduction directe de l'application $F$;
\item les nouvelles valeurs des éléments \texttt{Xp} sont symboliquement envoyés aux 
  autres éléments qui en dépendent grâce à la fonction 
  \texttt{diffuse\_values(Xp)} (cf. \Sec{sub:spin:vt});
\item finalement, le process informe le scheduler de la fin de la tâche 
  (au travers  du sémaphore \texttt{sync\_mutex}).
\end{enumerate}


\begin{figure}[t]
  \begin{minipage}[h]{.475\linewidth}
\begin{tiny}
\begin{lstlisting}
active proctype update_elems(){
 do
 ::unlock_elements_update ? 1 ->
   {
    atomic{
     bool is_succ=0;
     update_X();
     fetch_values();
     int count = 0;
     int j = 0;
     do
     ::count == ar_len -> break;
     ::count < ar_len ->
       j = mods[count];     
       F(j);
       count++;
     od;
     diffuse_values(Xp);
     sync_mutex ! 1
    }
   }
 od
}
\end{lstlisting}
\end{tiny}
\caption{Mise à jour des éléments.}\label{fig:proc}
  \end{minipage}\hfill%
%\end{figure}
%\begin{figure}
  \begin{minipage}[h]{.45\linewidth}
\begin{tiny}
\begin{lstlisting}
inline F(){
 if
 ::j==0 -> Xp[0] = 
      (Xs[j].v[0] & !Xs[j].v[1]) 
     |(Xs[j].v[2])
 ::j==1 -> Xp[1] =  Xs[j].v[0] 
                 | !Xs[j].v[2]
 ::j==2 -> Xp[2] =  Xs[j].v[1] 
                 &  Xs[j].v[2]
 fi
}
\end{lstlisting}
\end{tiny}
\caption{Application de la fonction $F$.}\label{fig:p}
  \end{minipage}
\end{figure}


\subsection{Gestion des délais}\label{sub:spin:vt}
Cette  section montre comment les délais inhérents au mode asynchrone sont 
traduits dans le modèle  PROMELA  grâce à deux 
fonctions \verb+fetch_values+  et   \verb+diffuse_values+.   
Celles-ci sont données en {\sc Figure}~\ref{fig:val} et~\ref{fig:broadcast}, 
qui récupèrent et diffusent respectivement les valeurs des elements.

\begin{figure}[t]
  \begin{minipage}[h]{.475\linewidth}
\begin{tiny}
\begin{lstlisting}
inline fetch_values(){
 int countv = 0;
 do
 :: countv == ar_len -> break ;
 :: countv < ar_len ->
    j = mods[countv];
    i = 0;       
    do
    :: (i == N) -> break;
    :: (i < N && i == j) -> {
        Xd[j].v[i] = Xp[i] ;
        i++ }   
    :: (i < N && i != j) -> {
        hasnext(i,j);
        if
        :: skip
        :: is_succ==1 &&
    nempty(channels[i].sent[j]) ->
            channels[i].sent[j] ?
                        Xd[j].v[i];
        fi; 
        i++ }
    od;
    countv++
 od
}
\end{lstlisting}
\end{tiny}
\caption{Récupérer les valeurs des elements\label{fig:val}}
  \end{minipage}\hfill%
  \begin{minipage}[h]{.475\linewidth}
\begin{tiny}
\begin{lstlisting}
inline diffuse_values(values){   
 int countb=0;
 do
 :: countb == ar_len -> break ;
 :: countb < ar_len ->
    j = mods[countb];
    i = 0 ;
    do
    :: (i == N) -> break;
    :: (i < N && i == j) -> i++;   
    :: (i < N && i != j) -> {
        hasnext(j,i);
        if
        :: skip
        :: is_succ==1 && 
     nfull(channels[j].sent[i]) ->
            channels[j].sent[i] ! 
                         values[j];
        fi;
        i++ }
    od;
    countb++
 od
}       
\end{lstlisting}
\end{tiny}
\caption{Diffuser les valeurs des elements}\label{fig:broadcast}
  \end{minipage}
\end{figure}

La première fonction met à jour le tableau   \verb+Xd+ requis pour les éléments
qui doivent être modifiés.
Pour chaque élément dans  \verb+mods+, identifié par la variable 
$j$, la fonction récupère les valeurs  des autres éléments  (dont le libellé est $i$)
dont $j$ dépend. \JFC{vérifier si c'est ce sens ici}
Il y a deux cas.
\begin{itemize}
\item puisque $i$ connaît sa dernière valeur (\textit{i.e.},  $D^t_{ii}$ est toujours $t$)
  \verb+Xd[i].v[i]+ est donc  \verb+Xp[i]+;
\item sinon, il y a deux sous cas qui peuvent peuvent potentiellement modifier la valeur 
  que $j$ a de $i$ (et qui peuvent être choisies de manière aléatoire):
  \begin{itemize}
  \item  depuis la perspective de $j$ la valeur de  $i$ peut ne pas avoir changé  (
    c'est l'instruction \verb+skip+) ou n'est pas utile; ce dernier cas apparaît 
    lorsqu'il n'y a pas d'arc de  $i$ à $j$ dans le graphe d'incidence, \textit{i.e.}, lorsque
    la valeur de \verb+is_succ+ qui est calculée par  \verb+hasnext(i,j)+  is 0;
    dans ce cas, la valeur de \verb+Xd[j].v[i]+ n'est pas modifiée;
  \item sinon,  on affecte à \verb+Xd[j].v[i]+ la valeur mémorisée
    dans le canal \verb+channels[i].sent[j]+  (pour peu que celui-ci ne soit pas vide).
    Les valeurs des éléments sont ajoutées dans ce canal au travers de la fonction  \verb+diffuse_values+
    donnée juste après.
  \end{itemize}
\end{itemize}

L'objectif de la fonction \verb+diffuse_values+  est de stocker les valeurs de $X$  représenté
dans le modèle par \verb+Xp+ dans le canal  \verb+channels+.
Il permet au modèle-checker SPIN  d'exécuter 
le modèle PROMELA   comme s'il pouvait y avoir des délais entre processus
Il y a deux cas différents pour la valeur de $X_{j}$:
\begin{itemize}
\item soit elle est \og perdue\fg{}, \og oubliée\fg{} pour permettre à $i$ de ne pas tenir compte d'une 
des valeurs de  $j$; ce cas a lieu soit lors de l'instruction  \verb+skip+ ou lorsqu'il 
n'y a pas d'arc de $j$ à $i$ dans le graphe d'incidence;
\item soit elle est mémorisée dans le canal \verb+channels[j].sent[i]+ (pour peu que celui-ci ne soit pas plein).
\end{itemize}

L'introduction de l'indéterminisme  à la fois dans les fonctions \verb+fetch_values+ 
et \verb+diffuse_values+ est nécessaire dans notre contexte. Si celui-ci n'était 
présent que dans la fonction \verb+fetch_values+, nous ne pourrions pas par exemple récupérer 
la valeur $X_i^{(t)}$ sans considérer la valeur $X_i^{(t-1)}$.  
De manière duale, si le  non déterminisme  était uniquement
utilisé dans la fonction \verb+diffuse_values+, alors chaque fois qu'une valeur serait 
mise dans le canal, elle serait immédiatement consommé, ce qui est contradictoire avec la notion de 
délai.

% \subsection{Discussion}
% A  coarse approach  could consist  in providing  one process  for  each element.
% However, the  distance with  the mathematical model  given in  \Equ{eq:async} of
% such a translation would be larger  than the method presented along these lines.
% It induces  that it would be harder  to prove the soundness  and completeness of
% such a translation.   For that reason we have developed a  PROMELA model that is
% as close as possible to the mathematical one.

% Notice furthermore that PROMELA is an  imperative language which
% often results in generating  intermediate  states 
% (to  execute  a matrix assignment  for
% instance). 
% The  use  of  the  \verb+atomic+  keyword  allows  the  grouping  of
% instructions, making the PROMELA code and the DDN as closed as possible.

\subsection{Propriété de convergence universelle}
Il reste à formaliser dans le model checker SPIN que les itérations d'un système 
dynamique à $n$ éléments est universellement convergent.

Rappelons tout d'abord que les variables \verb+X+  et \verb+Xp+ 
contiennent respectivement la valeur de $X$ avant et après la mise à jour. 
Ainsi, si l'on effectue une initialisation  non déterministe de 
\verb+Xp+  et si l'on applique une stratégie pseudo périodique,  
il est nécessaire et suffisant
de prouver la formule temporelle linéaire (LTL) suivante:
\begin{equation}
\diamond  (\Box  \verb+Xp+ = \verb+X+)
\label{eq:ltl:conv}
\end{equation}
où les opérateur  $\diamond$ et  $\Box$ on la sémantique usuelle \textit{i.e.}, à savoir
respectivement {\em éventuellement} et {\em toujours} dans les chemins suivants.
On note que cette propriété assure seulement la stabilisation du système, 
mais ne donne aucune métrique quant à la manière dont celle-ci est obtenue.
En particulier, on peut converger très lentement ou le système peut même 
disposer de plusieurs points fixes.
vers plusieurs 


\section{Correction et complétude de la démarche}\label{sec:spin:proof}

Cette section présente les théorème de correction et de  complétude de l'approche.
(Théorèmes~\ref{Theo:sound} et~\ref{Theo:completeness}). 
Toutes les preuves sont déplacées en 
annexes~\ref{anx:promela}.


\begin{theorem}[Correction]\label{Theo:sound}
  Soit $\phi$ un modèle de système dynamique discret et $\psi$ sa traduction PROMELA.  
  Si $\psi$ vérifie
  la propriété  LTL  (\ref{eq:ltl:conv})  sous hypothèse d'équité faible,  alors
  les itérations de $\phi$ sont universellement convergentes.
\end{theorem}



\begin{theorem}[Complétude]\label{Theo:completeness}
  Soit $\phi$ un modèle de système dynamique discret et $\psi$ sa traduction.  Si $\psi$ ne vérifie pas 
  la propriété LTL (\ref{eq:ltl:conv}) sous hypothèse d'équité faible,
  alors les itérations de  $\phi$ ne sont pas universellement convergentes.
\end{theorem}




\section{Données pratiques}
\label{sec:spin:practical}
Cette section donne tout d'abord quelques mesures de complexité de l'approche 
puis présente ensuite les expérimentations issues de ce travail.

\begin{theorem}[Nombre d'états ]
  Soit  $\phi$  un modèle de système dynamique discret à  $n$ éléments, $m$ arc dans le graphe d'incidence
  et $\psi$ sa traduction en PROMELA.  Le nombre de configurations 
  de l'exécution en SPIN de $\psi$ est bornée par $2^{m\times(\delta_0+1)+n(n+2)}$.
\end{theorem}
\begin{Proof}
  Une configuration est une valuation des variables globales.
  Leur nombre ne dépend que de celles qui ne sont pas constantes.

  Les  variables  \verb+Xp+ et \verb+X+ engendrent  $2^{2n}$ états.
  La variable
  \verb+Xs+ génère $2^{n^2}$ états.  
  Chaque canal de \verb+array_of_channels+
  peut engendrer $1+2^1+\ldots+2^{\delta_0}=  2^{\delta_0+1}-1$  états. 
  Puisque le nombre d'arêtes du graphe d'incidence  est $m$,  
  il y a  $m$ canaux non constants,  ce qui génère approximativement $2^{m\times(\delta_0+1)}$ états. 
  Le nombre de configurations est donc borné par $2^{m\times(\delta_0+1)+n(n+2)}$.
  On remarque que cette borne est traitable par SPIN pour des valeurs raisonnables de  $n$, 
  $m$ et $\delta_0$.
  \JFC{Donner un ordre de grandeur de cet ordre de grandeur}
  
\end{Proof}

La méthode détaillée ici a pu être appliquée sur l'exemple jouet
pour prouver formellement sa convergence uniforme.

On peut remarquer que SPIN n'impose l'équité faible qu'entre les process
alors que les preuves des deux théorèmes précédentes reposent sur le fait que 
celle-ci est établie dès qu'un choix indéterministe est effectué.
Naïvement, on pourrait considérer comme hypothèse la formule suivante 
chaque fois qu'un choix indéterministe se produit entre $k$ événements
respectivement notés $l1$, \ldots $lk$:  
$$
[] <> (l == l0) \Rightarrow 
(([] <> (l== l1)) \land  \ldots \land ([] <> (l == lk)))
$$

où le libellé $l0$ dénote le libellé de la ligne précédent le choix indéterministe.
Cette formule traduit exactement l'équité faible.
Cependant en raison de l'explosion de la taille du produit entre 
l'automate de Büchi issu de cette formule et celui issu du programme  PROMELA,
SPIN n'arrive pas à vérifier si la convergence uniforme est établie ou non sur des exemples 
simples\JFC{faire référence à un tel exemple}. 

Ce problème a été pratiquement résolu en laissant SPIN générer toutes les traces d'exécution,
même les non équitables, puis en le laissant vérifier la propriété de convergence dessus. 
Il reste alors à interpréter les résultats qui peuvent être de deux types. Si la convergence est 
établie pour toutes les traces, elle le reste en particulier pour les traces équitables.
Dans le cas contraire on doit analyser le contre exemple produit par SPIN.

% \begin{xpl}
% \JFC{Reprendre ce qui suit}
% Experiments have shown that all the iterations of the running example are 
% convergent for a delay equal to 1 in less than 10 min.
% The example presented in~\cite{abcvs05} with five elements taking boolean 
% values has been verified with method presented in this article.   
% Immediately, SPIN computes a counter example, that unfortunately does not
% fulfill fairness properties. Fair counter example is obtained
% after few minutes.
% All the experimentation have been realized in a classic desktop computer.
% \end{xpl}


La méthode détaillée ici a été appliquée sur des exemples pour prouver formellement 
leur convergence ou leur divergence (Fig.~\ref{fig:async:exp}).
Dans ces expériences, les délais on été bornés par $\delta_0=10$.
Dans ce tableau,  $P$ est vrai ($\top$) si et seulement si la convergence uniforme 
est établie et faux ($\bot$) sinon. Le nombre $M$ et la taille de la  mémoire consommée (en MB) et 
$T$ est le temps d'exécution sur un  Intel Centrino Dual Core 2 Duo @1.8GHz avec 2GB de mémoire vive
pour établir un verdict.

L'exemple RE est l'exemple jouet de ce chapitre,
AC2D est un automate cellulaire  avec 9 elements prenant des valeurs booléennes en fonction de 
de 4 voisins et BM99, issu de~\cite{BM99} consiste en  10 process
qui modifient leur valeur booléennes dans un graphe d'adjacence proche du graphe complet.


\begin{figure}
\begin{center}
\tiny
\begin{tabular}{|*{13}{c|}}
\cline{2-13}
\multicolumn{1}{c|}{ }
&\multicolumn{6}{|c|}{Mixed Mode} & \multicolumn{6}{|c|}{Only Bounded} \\
\cline{2-13}
\multicolumn{1}{c|}{ }
&\multicolumn{3}{|c|}{Parallel} & \multicolumn{3}{|c|}{Pseudo-Periodic} &
\multicolumn{3}{|c|}{Parallel} & \multicolumn{3}{|c|}{Pseudo-Periodic} \\
\cline{2-13}
\multicolumn{1}{c|}{ }
&P & M & T &
P & M & T &
P & M & T&
P & M & T \\
\hline %cline{2-13}
Running Example & 
$\top$ & 409 & 1m11s&
$\bot$ & 370 & 0.54 &
$\bot$ & 374 & 7.7s&
$\bot$ & 370 & 0.51s \\
\hline %\cline{2-13}
AC2D 
&$\bot$ & 2.5 & 0.001s  % RC07_async_mixed.spin
&$\bot$ & 2.5 & 0.01s   % RC07_async_mixed_all.spin
&$\bot$ & 2.5 & 0.01s   % RC07_async.spin
&$\bot$ & 2.5 & 0.01s  \\ % RC07_async_all.spin 
\hline %\cline{2-13}
BM99 
&$\top$ &  &   %BM99_mixed_para.spin 
&$\top$ &  &    % RC07_async_mixed_all.spin
&$\bot$ &  &    % RC07_async.spin
&$\bot$ &  &   \\ % RC07_async_all.spin 
\hline %\cline{2-13}
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Expérimentations avec des itérations asynchrones}\label{fig:async:exp}
\end{figure} 



L'exemple~\cite{RC07} concerne un réseau composé de deux gènes à valeur dans $\{0,1,2\}$. 
Comme la convergence n'est déjà pas établie pour les itérations parallèles, il en est donc 
de même pour les itérations asynchrones.
LA {\sc Figure}~\ref{fig:RC07CE} donne une trace de la sortie de SPIN de menant à la violation 
de la convergence. Celle-ci correspond à une stratégie périodique qui répète
$\{1,2\};\{1,2\};\{1\};\{1,2\};\{1,2\}$ et débute avec $X=(0,0)$.
   
  
Dans l'exemple issu de~\cite{BM99}, nous avons 10 process
à valeur booléennes. En raison de la dépendance forte entre les éléments, 
$\delta_0$ est réduit à 1. Cela aboutit cependant à $2^{100}$ 
configurations dans le mode des itérations asynchrones.
La convergence des itérations asynchrones de l'exemple~\cite{BCVC10:ir} n'est pas établie 
lorsque pour $\delta_0$ vaut 1. Il ne peut donc y avoir convergence uniforme.

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tiny}
\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7}
\multicolumn{1}{c|}{ }
&\multicolumn{3}{|c|}{Parallel} & \multicolumn{3}{|c|}{Pseudo-Periodic} \\
\cline{2-7}
\multicolumn{1}{c|}{ }& 
P & M & T&
P & M & T \\
\hline %\cline{2-7}
Running  &
$\top$ & 2.7 & 0.01s & 
$\bot$ & 369.371 & 0.509s \\ 
\hline %\cline{2-7}
\cite{RC07} exemples &
$\bot$ & 2.5 & 0.001s & % RC07_sync.spin
$\bot$ & 2.5 & 0.01s \\ % RC07_sync_chao_all.spin
\hline
\cite{BM99} exemple &
$\top$ & 36.7 & 12s & % BM99_sync_para.spin
$\top$ &  &  \\ % BM99_sync_chao.spin
\hline
\end{tabular}
\end{tiny}
\end{center}
\caption{Expérimentations avec des itérations synchrones}\label{fig:sync:exp}
\end{figure} 






% \begin{tabular}{|*{19}{c|}}
% % \hline 
% % e \\
% % 
% \hline
% & \multicolumn{6}{|c|}{Synchronous} & \multicolumn{12}{|c|}{Asynchronous}\\
% \cline{8-19}
% Delay &  \multicolumn{6}{|c|}{ }
% & \multicolumn{6}{|c|}
% {Only Bounded}
% & \multicolumn{6}{|c|}
% {Bounded+Mixed Mode}\\
% Strategy&
% \multicolumn{3}{|c|}{Parallel} & \multicolumn{3}{|c|}{Chaotic} &
% \multicolumn{3}{|c|}{Parallel} & \multicolumn{3}{|c|}{Chaotic} &
% \multicolumn{3}{|c|}{Parallel} & \multicolumn{3}{|c|}{Chaotic} \\


%  \end{tabular}

 
\section{Conclusion}
\label{sec:spin:concl}
Des méthodes de simulation basées sur des stratégies et des délais générés aléatoirement 
ont déjà été présentées~\cite{BM99,BCV02}.
Cependant, comme ces implantations ne sont pas exhaustives, elles ne donnent un résultat 
formel que lorsqu'elles fournissent un contre-exemple. Lorsqu'elles exhibent une convergence,  
cela ne permet que donner une intuition de convergence, pas  une preuve.
Autant que nous sachions, aucune démarche de preuve formelle de convergence n'a jamais été établie. 
Dans le travail théorique~\cite{Cha06}, Chandrasekaran a montré que les itérations asynchrones sont convergentes 
si et seulement si on peut construire une fonction de Lyaponov décroissante, mais il ne donne pas de méthode 
automatique pour construire cette fonction.

\JFC{Déplacer ceci dans les perspective}
Among drawbacks of the method,  one can argue that bounded delays is only 
realistic in practice for close systems. 
However, in real large scale distributed systems where bandwidth is weak, 
this restriction is too strong. In that case, one should only consider that 
matrix $S^{t}$ follows the  iterations of the system, \textit{i.e.},
for all $i$, $j$, $1 \le i \le j \le n$,  we have$
\lim\limits_{t \to \infty} S_{ij}^t = + \infty$. 
One challenge of this work should consist in weakening this constraint. 
We plan as future work to take into account other automatic approaches 
to discharge proofs notably by deductive analysis~\cite{CGK05}.