la veille

[hdrcouchot.git] / talk / gclth3demo.tex

\begin{theorem}[]%[Théorème 3]
Soit $m$ un nombre premier. On peut toujours trouver $a$ d'ordre $m-1$,
$1 \le a \le m-1$.
\end{theorem}

Preuve constructive:
\begin{enumerate}
\item Décomposition de $m-1  = p_1^{k_1} \dots  p_s^{k_s}$  en produit de facteurs premiers;
\item $x^{p_i^{k_i}}  -1 \equiv 0 \mod m$ admet une solution $g_i$ sur $\{1,\dots,m-1\}$ d'ordre $p_i^{k_i}$ ({\sc Lemme} 4);
\item $a = g_1\dots g_s$ est d'ordre  $p_1^{k_1}\dots p_s^{k_s} = m-1$ ({\sc Lemme} 5).

\end{enumerate}