talk/chaosDevaneyTransitivite.tex

   1 \begin{definition}[Chaos selon Devaney]
   2 $k$ continue sur $(\mathcal{X},d)$ est chaotique si elle est transitive,
   3 régulière et fortement sensible aux conditions initiales.
   4
   5 \begin{itemize}
   6 \item \emph{Transitivitivé}: pour chaque point, chacun de ses voisinages
   7   a un futur pouvant contenir tout point de l'espace.
   8 \item  \emph{Régularité}:   l'ensemble de ses points
   9 périodiques est dense dans $\mathcal{X}$.
  10 \item \emph{Forte sensibilité aux cond. initiales}: pour chaque point,
  11   chacun de  ses voisinages a un point dont un futur est éloigné.
  12 \end{itemize}
  13 \end{definition}
  14
  15 \begin{itemize}
  16 \item Vers une fonction de
  17 $\mathcal{X}_u =\Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats$
  18 dans lui même
  19 \begin{itemize}
  20 \item $F_{f_u}: \mathcal{X} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$,
  21 $(x,i) \mapsto (x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_{\mathsf{N}})$
  22 \item $\sigma: \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats \rightarrow \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^\Nats$ t.q. $\forall t\in\Nats,\sigma(s)_t=s_{t+1}$
  23 \item $G_{f_u}$ définie par
  24   $G_{f_u}(s,x)=(F_{f_u}(x,s_0),\sigma(s))$
  25 \end{itemize}
  26
  27 \item Distance $d$: $d((x,s),(x',s'))= d_H(x,x')+d_S(s,s')$
  28 \end{itemize}
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