chapitre chaos repris

[hdrcouchot.git] / sdd.tex

diff --git a/sdd.tex b/sdd.tex
index 37552951ecc85d033d2eddf4a966a7f12fcc59af..c41efa9f35977fa5216b3cff07e52d3b124b0d1a 100644 (file)
--- a/sdd.tex
+++ b/sdd.tex
@@ -1,17 +1,7 @@
 
 

-\JFC{Chapeau chapitre à faire}

 
 
 
 
 
 

-% Cette section énonce quelques notions suffisantes 
-% à la compréhension de ce document.
-% Elle commence par formaliser ce que sont les systèmes dynamiques booléens 
-% (section \ref{sub:sdd}) 
-% et montre comment en extraire leur graphe d'itérations (section~\ref{sub:grIter})
-% et d'interactions (section~\ref{sub:sdd:inter}). 
-% Elle se termine en définissant une distance sur l'espace 
-% $\llbracket 1;n\rrbracket^{\Nats}\times \Bool^n$ (section~\ref{sub:metric}).
-

 
 
 
 
 
 


@@ -23,32 +13,32 @@ de conjonction \og . \fg{} et
 unaire de négation \og $\overline{\mathstrut\enskip}$ \fg{}.
 
 
 unaire de négation \og $\overline{\mathstrut\enskip}$ \fg{}.
 
 

-Soit $n$ un entier naturel.
-On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^n$. 
-L'ensemble $\{1,\dots, n\}$ sera par la suite noté $[n]$.
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel.
+On introduit quelques notations à propos d'éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$. 
+L'ensemble $\{1,\dots, {\mathsf{N}}\}$ sera par la suite noté $[{\mathsf{N}}]$.

 Le $i^{\textrm{ème}}$ composant d'un élément 
 Le $i^{\textrm{ème}}$ composant d'un élément 

-$x \in \Bool^n$ s'écrit  $x_i$.
-Si l'ensemble $I$ est une partie de $[n]$, alors 
-$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in  \Bool^n$
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ s'écrit  $x_i$.
+Si l'ensemble $I$ est une partie de $[{\mathsf{N}}]$, alors 
+$\overline{x}^I$ est l'élément $y\in  \Bool^{\mathsf{N}}$

 tel que $y_i = 1 - x_i$ si $i\in I$ et  
 $y_i = x_i$ sinon. 
 tel que $y_i = 1 - x_i$ si $i\in I$ et  
 $y_i = x_i$ sinon. 

-On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[n]}$ 
+On considère les deux abréviations $\overline{x}$ pour $\overline{x}^{[{\mathsf{N}}]}$ 

 (chaque composant de $\overline{x}$ est nié:
 c'est une négation composante à composante)
 (chaque composant de $\overline{x}$ est nié:
 c'est une négation composante à composante)

-et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [n]$
+et $\overline{x}^i$ pour $\overline{x}^{\{i\}}$ pour $i \in [{\mathsf{N}}]$

 (seul $x_i$ est nié dans $\overline{x}$).
 (seul $x_i$ est nié dans $\overline{x}$).

-Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^n$, l'ensemble 
-$\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [n]$
+Pour tout $x$ et  $y$ dans  $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 
+$\Delta(x, y)$,  contient les $i \in [{\mathsf{N}}]$

 tels que $x_i \neq y_i$.
 tels que $x_i \neq y_i$.

-Soit enfin $f : \Bool^n \rightarrow \Bool^n$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
-est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^n$ dans $\Bool$.
+Soit enfin $f : \Bool^{\mathsf{N}} \rightarrow \Bool^{\mathsf{N}}$. Son $i^{\textrm{ème}}$ composant
+est nommé $f_i$ qui est une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans $\Bool$.

 Pour chaque 
 Pour chaque 

-$x$ dans $\Bool^n$, l'ensemble 
+$x$ dans $\Bool^{\mathsf{N}}$, l'ensemble 

 $\Delta f(x)$ est défini par $\Delta f(x) = \Delta(x,f(x))$.
 On peut admettre que $f (x) = \overline{x}^{\Delta f(x)}$ .
 
 \begin{xpl}\label{xpl:1}
 $\Delta f(x)$ est défini par $\Delta f(x) = \Delta(x,f(x))$.
 On peut admettre que $f (x) = \overline{x}^{\Delta f(x)}$ .
 
 \begin{xpl}\label{xpl:1}

-On considère $n= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que
+On considère ${\mathsf{N}}= 3$ et $f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que

 $f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ avec  
 $$\begin{array}{rcl}
 f_1(x_1, x_2, x_3) &=& (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 \textrm{, }\\
 $f(x)=(f_1(x),f_2(x),f_3(x))$ avec  
 $$\begin{array}{rcl}
 f_1(x_1, x_2, x_3) &=& (\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3 \textrm{, }\\


@@ -105,47 +95,72 @@ Pour $x=(0,1,0)$ les assertions suivantes se déduisent directement du tableau:
 \end{xpl}
 
 \subsection{Réseau booléen}
 \end{xpl}
 
 \subsection{Réseau booléen}

-Soit $n$ un entier naturel représentant le nombre 
-d'éléments étudiés (gènes, protéines,\ldots).
+Soit ${\mathsf{N}}$ un entier naturel représentant le nombre 
+d'éléments étudiés.

 Un réseau booléen  est 
 défini à partir d'une fonction booléenne:
 \[
 Un réseau booléen  est 
 défini à partir d'une fonction booléenne:
 \[

-f:\Bool^n\to\Bool^n,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x)),
+f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}},\qquad x=(x_1,\dots,x_{\mathsf{N}})\mapsto f(x)=(f_1(x),\dots,f_{\mathsf{N}}(x)),

 \]
 \]

-et un  {\emph{schéma itératif}} ou  encore \emph{mode de  mise à jour}. À  partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^n$,  la suite $(x^{t})^{t
+et un  {\emph{schéma itératif}} ou  encore \emph{mode de  mise à jour}. À  partir d'une configuration initiale $x^0\in\Bool^{\mathsf{N}}$,  la suite $(x^{t})^{t

   \in  \Nats}$ des  configurations  du  système est  construite  selon l'un  des
 schémas suivants :
 \begin{itemize}
 \item \textbf{Schéma parallèle  synchrone :} basé sur la  relation de récurrence
   \in  \Nats}$ des  configurations  du  système est  construite  selon l'un  des
 schémas suivants :
 \begin{itemize}
 \item \textbf{Schéma parallèle  synchrone :} basé sur la  relation de récurrence

-  $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous  les $x_i$, $1 \le  i \le n$,  sont ainsi mis à  jour à
+  $x^{t+1}=f(x^t)$. Tous  les $x_i$, $1 \le  i \le {\mathsf{N}}$,  sont ainsi mis à  jour à

   chaque itération en utilisant l'état global précédent du système $x^t$.
   chaque itération en utilisant l'état global précédent du système $x^t$.

-\item \textbf{Schéma  unaire :} cette terminologie  a plusieurs 
-  interprétations
-  dans  la littérature,  mais celle  que  nous
-  retenons ici  consiste à modifier la valeur 
-  d'un unique élément $i$,  $1 \le i \le  n$, à
+\item \textbf{Schéma  unaire :} ce schéma  est parfois 
+  qualifié de chaotique 
+  dans  la littérature. 
+  Il  consiste à modifier la valeur 
+  d'un unique élément $i$,  $1 \le i \le  {\mathsf{N}}$, à

   chaque itération. Le choix de l'élément qui est modifié à chaque itération est
   défini  par une  suite 
   $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ qui est  une séquence
   chaque itération. Le choix de l'élément qui est modifié à chaque itération est
   défini  par une  suite 
   $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ qui est  une séquence

-  d'indices dans $[n]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}. 
-%  Lorsque  cette  suite est  strictement cyclique  (sans
-  % occurrences multiples  dans le motif) sur l'ensemble  des éléments $\{1,\ldots
-  % n\}$, alors on retrouve le comportement du mode séquentiel synchrone.
+  d'indices dans $[{\mathsf{N}}]$. Cette suite est appelée \emph{stratégie unaire}. 
+  Ce mode est défini pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  
+\begin{equation}
+  x^{t+1}_i=
+  \left\{ \begin{array}{l}
+      f_i(x^t) \textrm{ si } i=s^t, \\
+      x^t_i\textrm{ sinon.}
+    \end{array}
+  \right.
+\label{eq:schema:unaire}
+\end{equation}
+
+
+

 \item \textbf{Schéma généralisé:}  dans ce schéma, ce sont les valeurs  
 \item \textbf{Schéma généralisé:}  dans ce schéma, ce sont les valeurs  

-  d'un ensemble d'éléments de $[n]$ qui sont modifiées à  chaque  itération.
+  d'un ensemble d'éléments de $[{\mathsf{N}}]$ qui sont modifiées à  chaque  itération.

   Dans  le  cas  particulier où  c'est la valeur d'un  singleton
   Dans  le  cas  particulier où  c'est la valeur d'un  singleton

-  $\{k\}$, $1 \le k  \le n$, qui est modifiée à
+  $\{k\}$, $1 \le k  \le {\mathsf{N}}$, qui est modifiée à

   chaque  itération, on retrouve le
   mode unaire. Dans le second cas particulier où ce sont les valeurs de 
   chaque  itération, on retrouve le
   mode unaire. Dans le second cas particulier où ce sont les valeurs de 

-  tous les éléments de $\{1, \ldots,  n\}$ qui sont  modifiées
+  tous les éléments de $\{1, \ldots,  {\mathsf{N}}\}$ qui sont  modifiées

   à chaque  itération, on retrouve  le mode
   parallèle.  Ce mode généralise donc les deux modes précédents.  
   Plus formellement,  à  la  $t^{\textrm{ème}}$
   itération, seuls les éléments de la partie 
   à chaque  itération, on retrouve  le mode
   parallèle.  Ce mode généralise donc les deux modes précédents.  
   Plus formellement,  à  la  $t^{\textrm{ème}}$
   itération, seuls les éléments de la partie 

-  $s^{t} \in \mathcal{P}([n])$ sont mis à
+  $s^{t} \in \mathcal{P}([{\mathsf{N}}])$ sont mis à

   jour.  La  suite $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ est  une séquence
   de sous-ensembles 
   jour.  La  suite $S  = \left(s^t\right)^{t \in  \mathds{N}}$ est  une séquence
   de sous-ensembles 

-  de   $[n]$   appelée   \emph{stratégie généralisée}.
+  de   $[{\mathsf{N}}]$   appelée   \emph{stratégie généralisée}.
+  Il est basé sur la relation définie pour tout $i \in [{\mathsf{N}}]$ par
+  \begin{equation}
+  x^{t+1}_i=
+  \left\{ \begin{array}{l}
+      f_i(x^t) \textrm{ si } i \in s^t, \\
+      x^t_i\textrm{ sinon.}
+    \end{array}
+  \right.
+\label{eq:schema:generalise}
+\end{equation}
+
+
+
+

   \end{itemize}
 
 
   \end{itemize}
 
 


@@ -157,22 +172,24 @@ La section suivante détaille comment représenter graphiquement les évolutions
 
 
 
 
 
 

-Pour un entier naturel $n$ et une 
-fonction $f : B^n \rightarrow B^n$, plusieurs évolutions sont possibles
+Pour un entier naturel ${\mathsf{N}}$ et une 
+fonction $f : B^{\mathsf{N}} \rightarrow B^{\mathsf{N}}$, plusieurs évolutions sont possibles

 en fonction du schéma itératif retenu. 
 Celles-ci sont représentées par un graphe orienté dont les noeuds 
 en fonction du schéma itératif retenu. 
 Celles-ci sont représentées par un graphe orienté dont les noeuds 

-sont les éléments de $\Bool^n$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).
+sont les éléments de $\Bool^{\mathsf{N}}$ (voir \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs}).

 
 
 \begin{itemize}
 \item Le \emph{graphe des itérations synchrones} de $f$, noté $\textsc{gis}(f)$ 
 
 
 \begin{itemize}
 \item Le \emph{graphe des itérations synchrones} de $f$, noté $\textsc{gis}(f)$ 

-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 

 et seulement si $y=f(x)$.
 et seulement si $y=f(x)$.

-\item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{gia}(f)$
-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
-et seulement s'il existe $x \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
+\item Le \emph{graphe des itérations unaires} de $f$, noté $\textsc{giu}(f)$
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ pour $x \neq$ si 
+et seulement s'il existe $i \in \Delta f(x)$ tel que $y = \overline{x}^i$.
+Si $\Delta f(x)$ est vide, on ajoute l'arc $x \rightarrow x$.
+

 \item Le \emph{graphe des itérations généralisées} de $f$, noté $\textsc{gig}(f)$
 \item Le \emph{graphe des itérations généralisées} de $f$, noté $\textsc{gig}(f)$

-est le graphe orienté de $\Bool^n$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 
+est le graphe orienté de $\Bool^{\mathsf{N}}$ qui contient un arc $x \rightarrow y$ si 

 et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que 
 $y = \overline{x}^I$. On peut remarquer que ce graphe contient comme 
 sous-graphe à la fois celui des itérations synchrones et celui 
 et seulement s'il existe un ensemble $I\subseteq \Delta f(x)$ tel que 
 $y = \overline{x}^I$. On peut remarquer que ce graphe contient comme 
 sous-graphe à la fois celui des itérations synchrones et celui 


@@ -190,7 +207,7 @@ d'images (\textsc{Table}~\ref{table:xpl:images}).
 La \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs} donne les trois graphes d'itérations 
 associés à $f$.
 
 La \textsc{Figure}~\ref{fig:xpl:graphs} donne les trois graphes d'itérations 
 associés à $f$.
 

-\begin{figure}[ht]
+\begin{figure}%[ht]

   \begin{center}
     \subfigure[$\textsc{gis}(f)$]{
       \begin{minipage}{0.33\textwidth}
   \begin{center}
     \subfigure[$\textsc{gis}(f)$]{
       \begin{minipage}{0.33\textwidth}


@@ -200,7 +217,7 @@ associés à $f$.
       \end{minipage}
       \label{fig:fsig}
     }
       \end{minipage}
       \label{fig:fsig}
     }

-    \subfigure[$\textsc{gia}(f)$]{
+    \subfigure[$\textsc{giu}(f)$]{

       \begin{minipage}{0.33\textwidth}
         \begin{center}
           \includegraphics[scale=0.4]{faig}
       \begin{minipage}{0.33\textwidth}
         \begin{center}
           \includegraphics[scale=0.4]{faig}


@@ -232,23 +249,20 @@ On remarque le cycle $((101,111),(111,011),(011,101))$
 \subsection{Attracteurs}
 
 On dit que le point 
 \subsection{Attracteurs}
 
 On dit que le point 

-$x \in \Bool^n$ est un \emph{point fixe} de $f$ si  $x = f (x)$.
+$x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ est un \emph{point fixe} de $f$ si  $x = f (x)$.

 Les points fixes sont particulièrement intéressants car ils correspondent 
 aux états stables:
 dans chaque graphe d'itérations, le point $x$ est un point fixe 
 si et seulement si il est son seul successeur.
 Les points fixes sont particulièrement intéressants car ils correspondent 
 aux états stables:
 dans chaque graphe d'itérations, le point $x$ est un point fixe 
 si et seulement si il est son seul successeur.

-Dans le contexte des réseaux de régulation de gènes,
-ces points fixes correspondent aux configurations stables pour l'expression de
-gènes.

 
 
 
 
 
 

-Soit $\Gamma$ un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées)
+Soit un graphe d'itérations (synchrones, unaires ou généralisées)

 de $f$. 
 de $f$. 

-Les \emph{attracteurs}  de $\Gamma$ sont les 
+Les \emph{attracteurs}  de ce graphe sont les 

 plus petits sous-ensembles (au sens de l'inclusion) non vides
 plus petits sous-ensembles (au sens de l'inclusion) non vides

-$A \subseteq \Bool^n$ tels que pour tout arc
-$x \rightarrow y$ de $\Gamma$, si $x$ est un élément de $A$, alors 
+$A \subseteq \Bool^{\mathsf{N}}$ tels que pour tout arc
+$x \rightarrow y$, si $x$ est un élément de $A$, alors 

 $y$ aussi.
 Un attracteur qui contient au moins deux éléments  est dit \emph{cyclique}.
 On en déduit qu'un attracteur cyclique ne contient pas de point fixe.
 $y$ aussi.
 Un attracteur qui contient au moins deux éléments  est dit \emph{cyclique}.
 On en déduit qu'un attracteur cyclique ne contient pas de point fixe.


@@ -260,19 +274,19 @@ On a la proposition suivante:
 
 
 \begin{theorem}\label{Prop:attracteur}
 
 
 \begin{theorem}\label{Prop:attracteur}

-Le point $x$ est un point fixe si et seulement si 
-$\{x\}$ est un attracteur de $\Gamma$.
-En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de $\Gamma$ 
+La configuration $x$ est un point fixe si et seulement si 
+$\{x\}$ est un attracteur du graphe d'itération (synchrone, unaire, généralisé).
+En d'autres termes, les attracteurs non cycliques de celui-ci 

 sont les points fixes de $f$.
 sont les points fixes de $f$.

-Ainsi pour chaque $x\in \Bool^n$, il existe au moins un chemin 
+Ainsi pour chaque $x\in \Bool^{\mathsf{N}}$, il existe au moins un chemin 

 depuis $x$ qui atteint un attracteur.
 depuis $x$ qui atteint un attracteur.

-Ainsi $\Gamma$ contient toujours au moins un attracteur.
+Ainsi tout graphe d'itérations contient toujours au moins un attracteur.

 \end{theorem}
 
 
 
 \begin{xpl}
 \end{theorem}
 
 
 
 \begin{xpl}

-Les attracteurs de $\textsc{gia}(f)$ et de $\textsc{gig}(f)$ sont 
+Les attracteurs de $\textsc{giu}(f)$ et de $\textsc{gig}(f)$ sont 

 le point fixe $000$ et l'attracteur cyclique 
 $\{001, 101,111, 011  \}$. 
 Les attracteurs de $\textsc{gis}(f)$ sont le point fixe $000$
 le point fixe $000$ et l'attracteur cyclique 
 $\{001, 101,111, 011  \}$. 
 Les attracteurs de $\textsc{gis}(f)$ sont le point fixe $000$


@@ -284,7 +298,7 @@ Les interactions entre les composants du
 système peuvent être mémorisées 
 dans la {\emph{matrice jacobienne discrète}} $f'$.
 Celle-ci est définie comme étant la fonction  qui  à chaque 
 système peuvent être mémorisées 
 dans la {\emph{matrice jacobienne discrète}} $f'$.
 Celle-ci est définie comme étant la fonction  qui  à chaque 

-configuration $x\in\Bool^n$ associe la matrice de taille 
+configuration $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$ associe la matrice de taille 

 $n\times n$ telle que 
 \begin{equation}
 f'(x)=(f'_{ij}(x)),\qquad 
 $n\times n$ telle que 
 \begin{equation}
 f'(x)=(f'_{ij}(x)),\qquad 


@@ -298,7 +312,7 @@ $\overline{x}^j_j$ et $x_j$ sont considérés comme des entiers naturels
  dans $\Z$.
 Lorsqu'on supprime les signes dans la matrice jacobienne discrète, 
 on obtient une matrice notée $B(f)$ aussi de taille 
  dans $\Z$.
 Lorsqu'on supprime les signes dans la matrice jacobienne discrète, 
 on obtient une matrice notée $B(f)$ aussi de taille 

-$n\times n$.
+${\mathsf{N}}\times {\mathsf{N}}$.

 Celle-ci mémorise uniquement 
 l'existence d'une dépendance de tel élément vis à vis de 
  tel élément.
 Celle-ci mémorise uniquement 
 l'existence d'une dépendance de tel élément vis à vis de 
  tel élément.


@@ -307,8 +321,8 @@ les uns par rapport aux autres. Cette matrice est nommée
 \emph{matrice d'incidence}.  
 
 \begin{theorem}
 \emph{matrice d'incidence}.  
 
 \begin{theorem}

-Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [n]$, 
-$f_i(\overline{x}^j)$ est égal à  $f_i(x)$, \textit{i.e}, 
+Si $f_i$ ne dépend pas de $x_j$, alors pour tout $x\in [{\mathsf{N}}]$, 
+$f_i(\overline{x}^j)$ est égal à  $f_i(x)$, \textit{i.e.}, 

 $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
 \end{theorem} 
 
 $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
 \end{theorem} 
 


@@ -316,11 +330,11 @@ $f'_{ij}(x)=0$. Ainsi $B(f)_{ij}$ est nulle. La réciproque est aussi vraie.
 
 
 En outre, les interactions peuvent se  représenter à l'aide d'un 
 
 
 En outre, les interactions peuvent se  représenter à l'aide d'un 

-graphe $G(f)$ orienté et signé défini ainsi: 
+graphe $\Gamma(f)$ orienté et signé défini ainsi: 

 l'ensemble des sommets est 
 l'ensemble des sommets est 

-$[n]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe
+$[{\mathsf{N}}]$ et il existe un arc de $j$ à $i$ de signe

  $s\in\{-1,1\}$, noté $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins
  $s\in\{-1,1\}$, noté $(j,s,i)$, si $f_{ij}(x)=s$ pour au moins

-un $x\in\Bool^n$. 
+un $x\in\Bool^{\mathsf{N}}$. 

 
 On note que la présence de 
 deux arcs de signes opposés entre deux sommets donnés 
 
 On note que la présence de 
 deux arcs de signes opposés entre deux sommets donnés 


@@ -398,9 +412,9 @@ $x_1$ et  de $x_3$
 Ainsi la seconde ligne (resp. la troisième ligne) de $B(f)$ est $1~0~1$ (resp. est $1~1~1$). 
 La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complète. 
 
 Ainsi la seconde ligne (resp. la troisième ligne) de $B(f)$ est $1~0~1$ (resp. est $1~1~1$). 
 La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complète. 
 

-\begin{figure}[ht]
+\begin{figure}%[ht]

   \begin{center}
   \begin{center}

-     \subfigure[Matrice jacobienne de $f$.]{
+     \subfigure[Matrice jacobienne]{

        \begin{minipage}{0.90\textwidth}
          \begin{center}
         $
        \begin{minipage}{0.90\textwidth}
          \begin{center}
         $


@@ -440,8 +454,8 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complèt
        \end{minipage}
        \label{fig:f:jacobienne}
      } 
        \end{minipage}
        \label{fig:f:jacobienne}
      } 

-     
-    \subfigure[Graphe d'interaction de $f$.]{
+    ~ 
+    \subfigure[Graphe d'interaction]{

       \begin{minipage}{0.45\textwidth}
       \begin{center}
         \includegraphics[scale=0.5]{gf}
       \begin{minipage}{0.45\textwidth}
       \begin{center}
         \includegraphics[scale=0.5]{gf}


@@ -450,7 +464,7 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complèt
     \end{minipage}
     }
     
     \end{minipage}
     }
     

-    \subfigure[Matrice d'incidence de $f$.]{
+    \subfigure[Matrice d'incidence]{

       \begin{minipage}{0.45\textwidth}
         \begin{center}
           $
       \begin{minipage}{0.45\textwidth}
         \begin{center}
           $


@@ -468,24 +482,30 @@ La \textsc{Figure}~(\ref{fig:f:incidence}) donne la matrice d'incidence complèt
     \end{minipage}
   }
 \end{center}  
     \end{minipage}
   }
 \end{center}  

-\caption{Représentations des dépendances entre les éléments de la fonction $f$ de l'exemple illustratif.}
+\caption{Représentations des dépendances entre les éléments 
+de la fonction 
+$f:\Bool^3 \rightarrow \Bool^3$ telle que  
+$(x_1, x_2, x_3) \mapsto 
+((\overline{x_1} + \overline{x_2}).x_3,
+x_1.x_3,
+x_1 + x_2 + x_3)$}

 \end{figure}
 \end{xpl}
 
 
 
 
 \end{figure}
 \end{xpl}
 
 
 
 

-Soit $P$ une suite d'arcs de $G(f)$ de la forme
+Soit $P$ une suite d'arcs de $\Gamma(f)$ de la forme

 \[
 (i_1,s_1,i_2),(i_2,s_2,i_3),\ldots,(i_r,s_r,i_{r+1}).
 \]
 \[
 (i_1,s_1,i_2),(i_2,s_2,i_3),\ldots,(i_r,s_r,i_{r+1}).
 \]

-Alors, $P$ est dit un chemin de $G(f)$ de longueur $r$ et de signe
+Alors, $P$ est dit un chemin de $\Gamma(f)$ de longueur $r$ et de signe

 $\Pi_{i=1}^{r}s_i$ et  $i_{r+1}$ est dit accessible depuis
 $i_1$. 
 $P$ est un {\emph{circuit}} si $i_{r+1}=i_1$ et si les sommets
 $i_1$,\ldots $i_r$ sont deux à deux disjoints.
 $\Pi_{i=1}^{r}s_i$ et  $i_{r+1}$ est dit accessible depuis
 $i_1$. 
 $P$ est un {\emph{circuit}} si $i_{r+1}=i_1$ et si les sommets
 $i_1$,\ldots $i_r$ sont deux à deux disjoints.

-Un sommet $i$ de $G(f)$ a une {\emph{boucle}} 
-positive (resp. négative) , si $G(f)$ a un 
+Un sommet $i$ de $\Gamma(f)$ a une {\emph{boucle}} 
+positive (resp. négative) , si $\Gamma(f)$ a un 

 arc positif (resp. un arc négatif) de $i$ vers lui-même.
 
 
 arc positif (resp. un arc négatif) de $i$ vers lui-même.
 
 


@@ -493,52 +513,52 @@ arc positif (resp. un arc négatif) de $i$ vers lui-même.
 \subsection{Conditions de convergence}\label{sec:Robert:async}
 
 Parmi les itérations unaires caractérisées par leurs stratégies
 \subsection{Conditions de convergence}\label{sec:Robert:async}
 
 Parmi les itérations unaires caractérisées par leurs stratégies

-$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'éléments appartenant à $[n]$,
+$S=(s^t)^{t \in \Nats}$ d'éléments appartenant à $[{\mathsf{N}}]$,

 sont jugées intéressantes 
 celles qui activent au moins une fois
 sont jugées intéressantes 
 celles qui activent au moins une fois

-chacun des $i\in[n]$. Dans le cas contraire, un élément n'est jamais modifié. 
+chacun des $i\in[{\mathsf{N}}]$. Dans le cas contraire, un élément n'est jamais modifié. 

 
 Plus formellement, une séquence finie $S=(s^t)^{t \in \Nats}$
 
 Plus formellement, une séquence finie $S=(s^t)^{t \in \Nats}$

-est dite \emph{complète} relativement à $[n]$ si 
-tout indice de $[n]$
+est dite \emph{complète} relativement à $[{\mathsf{N}}]$ si 
+tout indice de $[{\mathsf{N}}]$

 s'y retrouve au moins une fois.
 
 Parmi toutes les stratégies unaires de 
 s'y retrouve au moins une fois.
 
 Parmi toutes les stratégies unaires de 

-$[n]^{\Nats}$, on qualifie de:
+$[{\mathsf{N}}]^{\Nats}$, on qualifie de:

 \begin{itemize}
 \item \emph{périodiques} celles 
 \begin{itemize}
 \item \emph{périodiques} celles 

-qui sont constituées par une répétition indéfinie 
-d'une même séquence $S$ complète relativement à $[n]$.
+qui sont constituées par une répétition infinie 
+d'une même séquence $S$ complète relativement à $[{\mathsf{N}}]$.

 En particulier toute séquence périodique est complète.
 \item \emph{pseudo-périodiques} celles 
 En particulier toute séquence périodique est complète.
 \item \emph{pseudo-périodiques} celles 

-qui sont constituées par une succession indéfinie de séquences 
+qui sont constituées par une succession infinie de séquences 

 (de longueur éventuellement variable non supposée bornée) complètes.
 Autrement dit dans chaque stratégie pseudo-périodique, chaque indice de
 (de longueur éventuellement variable non supposée bornée) complètes.
 Autrement dit dans chaque stratégie pseudo-périodique, chaque indice de

-$1$ à $n$ revient indéfiniment.
+$1$ à ${\mathsf{N}}$ revient infiniment.

 \end{itemize}
 
 
 \end{itemize}
 
 

-François Robert~\cite{Rob95}
-a énoncé en 1995 le théorème suivant de convergence 
+On a le théorème suivant de convergence 

 dans le mode des itérations unaires.
 
 dans le mode des itérations unaires.
 

-\begin{theorem}\label{Th:conv:GIA}
-Si le graphe $G(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est
-pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{GIA}(f)$ atteint 
-l'unique point fixe $\zeta$ en au plus $n$ pseudo-périodes.
+\begin{theorem}[~\cite{Rob95}]\label{Th:conv:GIU}
+Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie unaire est
+pseudo-périodique, alors tout chemin de $\textsc{giu}(f)$ atteint 
+l'unique point fixe $\zeta$ en au plus ${\mathsf{N}}$ pseudo-périodes.

 \end{theorem}
 
 Le qualificatif \emph{pseudo-périodique} peut aisément 
 s'étendre aux stratégies généralisées comme suit.
 Lorsqu'une stratégie généralisée est constituée d'une 
 \end{theorem}
 
 Le qualificatif \emph{pseudo-périodique} peut aisément 
 s'étendre aux stratégies généralisées comme suit.
 Lorsqu'une stratégie généralisée est constituée d'une 

-succession indéfinie de séquences de parties de $[n]$ 
-dont l'union est $[n]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.
-J. Bahi~\cite{Bah00} a démontré le théorème suivant:
+succession infinie de séquences de parties de $[{\mathsf{N}}]$ 
+dont l'union est $[{\mathsf{N}}]$, cette stratégie est {pseudo-périodique}.
+On a le théorème suivant.

 
 

-\begin{theorem}\label{Th:Bahi}
-Si le graphe $G(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie généralisée
+\begin{theorem}[~\cite{Bah00}]\label{Th:Bahi}
+Si le graphe $\Gamma(f)$ n'a pas de cycle et si la stratégie généralisée

 est pseudo-périodique alors
 est pseudo-périodique alors

-tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ finit par atteindre
+tout chemin de $\textsc{gig}(f)$ (et donc de $\textsc{giu}(f)$) 
+finit par atteindre

 l'unique point fixe $\zeta$. 
 \end{theorem}
 
 l'unique point fixe $\zeta$. 
 \end{theorem}