$f$ dont le graphe d'itérations
$\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
-\begin{theorem}\label{th:Adrien}
+\begin{restatable}{theorem}{thAdrien}
+\label{th:Adrien}
Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ vers lui-même telle que:
\begin{enumerate}
\item
une boucle négative.
\end{enumerate}
Alors, $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+\end{restatable}
La preuve de ce théorème est donnée en annexe~\ref{anx:sccg}.
-Illustrons ce théorème par un exemple. On considère par le graphe d'interactions
+Illustrons ce théorème par un exemple. On considère le graphe d'interactions
$\Gamma(f)$ donné en figure~\ref{fig:Adrien:G}.
Il vérifie le théorème~\ref{th:Adrien}:
toutes les fonctions $f$ possédant un tel graphe d'interactions
Dans le schéma unaire, à la $t^{\textrm{ème}}$ itération,
seul le $s_{t}^{\textrm{ème}}$
-composant (entre 1 et $n$) est mis à jour.
+composant (entre 1 et $\mathsf{N}$) est mis à jour.
Pour une stratégie $s = \left(s_t\right)_{t \in \mathds{N}}$
(\textit{i.e.}, une séquence d'indices
-de $\llbracket 1;\mathsf{N} \rrbracket$), on peut définir
-la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket$
+de $[\mathsf{N}]$), on peut définir
+la fonction $F_{f_u}: \Bool^{\mathsf{N}} \times [\mathsf{N}]$
vers $\Bool^\mathsf{N}$ par
\[
F_{f_u}(x,i)=(x_1,\dots,x_{i-1},f_i(x),x_{i+1},\dots,x_\mathsf{N}).
Dans le schéma des itérations unaires pour une configuration initiale
$x^0\in\Bool^\mathsf{N}$ et une stratégie $s\in
-\llbracket1;\mathsf{N}\rrbracket^\Nats$, les configurations $x^t$
+[\mathsf{N}]^\Nats$, les configurations $x^t$
sont définies par la récurrence
\begin{equation}\label{eq:asyn}
x^{t+1}=F_{f_u}(x^t,s_t).
On peut alors construire l'espace
$\mathcal{X}_u =
-\Bool^{{\mathsf{N}}} \times \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats}$
+\Bool^{{\mathsf{N}}} \times [{\mathsf{N}}]^{\Nats}$
et la fonction d'itération $G_{f_u}$ définie de
$\mathcal{X}_u$
dans lui-même par
\end{equation}
Dans cette définition, la fonction
-$\sigma: \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats} \longrightarrow
- \llbracket1;{\mathsf{N}}\rrbracket^{\Nats}
+$\sigma: {\mathsf{N}}]^{\Nats} \longrightarrow
+ [{\mathsf{N}}]^{\Nats}
$
décale
la stratégie fournie en argument d'un élément vers la gauche en supprimant
Sur $\mathcal{X}_u$,
on définit la distance $d$ entre les points $X=(x,s)$ et
$X'=(x',s')$ de $\mathcal{X}_u$ par
-\[
+\begin{equation}
d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(s,s'),~\textrm{où}~
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle{d_S(s,s')=\frac{9}{n}\sum_{t\in\Nats}\frac{|s_t-s'_t|}{10^{t+1}}}.
\end{array}
\right.\,.
-\]
+\end{equation}
+
On note que dans le calcul de $d_H(x,x')$--
appelée distance de Hamming entre $x$ et $x'$--
les termes $x_i$ et $x'_i$ sont considérés comme des entiers naturels
chaotiques $G_{f_u}$ sur $\mathcal{X}_u$}
-On peut tout d'abord démontrer que pour toute fonction booléenne $f$,
-$G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).
+% On peut tout d'abord démontrer que pour toute fonction booléenne $f$,
+% $G_{f_u}$ est continue sur $\mathcal{X}_u$ (cf annexe~\ref{anx:cont}).
Pour caractériser les fonctions rendant chaotiques dans $\mathcal{X}_u$ les itérations de $G_{f_u}$
on se focalise donc que sur la régularité et sur la transitivité de $G_{f_u}$.
et $\mathcal{C}$ des fonctions chaotiques définis respectivement ci-dessous:
\begin{itemize}
\item $\mathcal{T} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
+\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est transitive} \right\}$,
\item $\mathcal{R} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
+\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est régulière} \right\}$,
\item $\mathcal{C} = \left\{f : \mathds{B}^n \to
-\mathds{B}^n \big/ G_{f_u} \textrm{ est chaotique} \right\}$.
+\mathds{B}^n \textrm{ t. q. } G_{f_u} \textrm{ est chaotique} \right\}$.
\end{itemize}
-On énonce les théorèmes successifs suivants.
-Leur preuve est donnée en annexe~\ref{anx:chaos:unaire}.
+On énonce les théorèmes successifs suivants dont les preuves sont données
+dans~\cite{guyeux10}.
\begin{theorem} $G_{f_u}$ est transitive si et seulement si
$\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
\label{Th:CaracIC}
-Soit $f:\Bool^n\to\Bool^n$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique
+Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_u}$ est chaotique
si et seulement si $\textsc{giu}(f)$ est fortement connexe.
\end{theorem}
Dans le schéma généralisé, à la $t^{\textrm{ème}}$ itération,
c'est l'ensemble
-des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[n]$) qui
+des $s_{t}^{\textrm{ème}}$ éléments (inclus dans $[{\mathsf{N}}]$) qui
sont mis à jour (cf. équation~(\ref{eq:schema:generalise})).
On redéfinit la fonction la fonction
$F_{f_g}: \Bool^{\mathsf{N}} \times \mathcal{P}(\{1, \ldots, \mathsf{N}\})
\]
où la fonction $\sigma$ est définie comme à la section précédente.
A nouveau, les itérations généralisées
- de $f$ induites par $x^0$ et la stratégie $S$.
+ de $f$ induites par $x^0$ et la stratégie $S$
décrivent la même orbite que les
itérations parallèles de $G_{f_g}$ depuis un point initial
$X^0=(x^0,S)$
\Bool^{\mathsf{N}}$ et
on définit la distance $d$ entre les points $X=(S,x)$ et
$X'=(S',x')$ de $\mathcal{X}_g$ par
-\[
+
+\begin{equation}
d(X,X')= d_H(x,x')+d_S(S,S'),~\textrm{où}~
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle{d_S(S,S')=\frac{9}{{\mathsf{N}}}\sum_{t\in\Nats}\frac{|S_t \Delta S'_t|}{10^{t+1}}}.
\end{array}
\right.\,.
-\]
+\label{eq:distance:Xg}
+\end{equation}
La fonction $d$ est une somme de deux fonctions.
La fonction $d_H$ est la distance de Hamming; il est aussi établi que la
de montrer que $d_S$ en une aussi, ce qui est fait en annexe~\ref{anx:distance:generalise}.
La section suivante caractérise les fonctions $f$ qui sont
-chaotiques pour le schéma généralisées.
+chaotiques pour le schéma généralisé.
\subsection{Caractérisation des fonctions rendant
chaotiques $G_{f_g}$ sur $\mathcal{X}_g$}
On a les théorèmes suivants dont les preuves sont données en
annexe~\ref{anx:chaos:generalise}.
-\begin{theorem} $G_{f_g}$ est transitive si et seulement si
+
+
+\begin{restatable}{theorem}{caractransitivegeneralise}
+\label{Theo:carac:transitive:gen}
+$G_{f_g}$ est transitive si et seulement si
$\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+\end{restatable}
-\begin{theorem}
-\label{Prop: T est dans R:g} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
-\end{theorem}
+
+
+\begin{restatable}{theorem}{caracsubgeneralise}
+\label{Prop: T est dans R:g}
+ $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
+\end{restatable}
+
+On peut conclure que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
+= \mathcal{T}$. On a alors la caractérisation suivante:
\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
\end{Proof}
+On peut alors prouver le théorème:
+\thAdrien*
+
\begin{Proof}
-du Théorème~\ref{th:Adrien}.
La preuve se fait par induction sur ${\mathsf{N}}$.
Soit $f$ une fonction de $\Bool^{\mathsf{N}}$ dans lui-même et qui vérifie les hypothèses
du théorème.
${\mathsf{N}}$ n'a pas de boucle, \emph{i.e.}, la valeur de $f_{\mathsf{N}}(x)$
ne dépend pas de la valeur de $x_{\mathsf{N}}$.
D'après la troisième hypothèse,
-il existe $i\in \llbracket 1;{\mathsf{N}} \rrbracket$ tel que $G(f)$ a un arc de
+il existe $i\in [{\mathsf{N}}]$ tel que $G(f)$ a un arc de
$i$ vers ${\mathsf{N}}$.
Ainsi, il existe $x \in \Bool^{\mathsf{N}}$ tel que $f_{{\mathsf{N}}i}(x) \neq 0$ et donc
%$n$ n'est donc pas de degré zéro dans $G(f)$, \emph{i.e.}
-Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives:
+Commençons par caractériser l'ensemble $\mathcal{T}$ des fonctions transitives dans le cas
+des itérations généralisées.
-\begin{theorem} $G_{f_g}$ est transitive si et seulement si
- $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+\caractransitivegeneralise*
\begin{Proof}
Prouvons à présent le théorème suivant:
-\begin{theorem}
-\label{Prop: T est dans R:gp} $\mathcal{T} \subset \mathcal{R}$.
-\end{theorem}
+\caracsubgeneralise*
\begin{Proof}
\end{Proof}
On peut conclure que $\mathcal{C} = \mathcal{R} \cap \mathcal{T}
-= \mathcal{T}$. On a alors la caractérisation suivante:
-
-\begin{theorem}%[Characterization of $\mathcal{C}$]
-\label{Th:CaracIC:gp}
-Soit $f:\Bool^{\mathsf{N}}\to\Bool^{\mathsf{N}}$. La fonction $G_{f_g}$ est chaotique
-si et seulement si $\textsc{gig}(f)$ est fortement connexe.
-\end{theorem}
+= \mathcal{T}$.
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l'Habilitation à Diriger des Recheches (HDR).
Je vous informe que je n'ai effectué aucune demande inscription dans une
autre université cette année universitaire et que cette requête
-constitue ma première demande.
+constitue ma seconde demande. Ma première demande d'inscription
+a été formulé le 31 aout 2015.
Département d'Informatique des Systèmes Complexes (DISC)
du laboratoire FEMTO-ST.
Je relève de l'école doctorale 37 Sciences Pour l'Ingénieur et Microtechniques (SPIM) de l'UFC.
-Mon directeur de recherche pour cette HDR est Pr. J. {\sc Bahi}
-du département DISC. Son avis, ainsi que celui du directeur de l'équipe (Pr. R. {\sc Couturier}, du directeur de l'école doctorale (PR. P. {\sc Lutz})
-et du directeur du département (Pr. O. {\sc Kouchnarenko}) sont donnés en annexes.
+Les avis du directeur de l'équipe AND (Pr. R. {\sc Couturier} et du directeur du département DISC (Pr. O. {\sc Kouchnarenko}) sont donnés en annexes.
% \subsection{Avis du directeur de l'équipe}\label{sec:avis:directeur:equipe}
La suite de ce document se focalise sur des systèmes dynamiques discrets qui ne
convergent pas. Parmi ceux-ci se trouvent ceux qui sont \og chaotiques\fg{}.
La première section de ce chapitre rappelle ce que sont les systèmes
-dynamiques chaotiques et leur caractéristiques. Celles-ci dépendent
-tout d'abord de la stratégie itérée. La section~\ref{sec:TIPE12}
-se focalise sur le schéma unaire tandis que la section~\ref{sec:chaos:TSI}
-considère le mode généralisé. Pour chacun de ces modes,
-une distance est définie. Finalement, la section~\ref{sec:11FCT}
+dynamiques chaotiques et leur caractéristiques.
+La section~\ref{sec:TIPE12}, qui est une reformulation de~\cite{guyeux10},
+se focalise sur le schéma unaire. Elle est rappelée pour avoir un document se
+suffisant à lui-même.
+La section~\ref{sec:chaos:TSI} étend ceci au mode généralisé. Pour chacun de ces modes,
+une métrique est définie. Finalement, la section~\ref{sec:11FCT}
exhibe des conditions suffisantes premettant d'engendrer
des fonctions chaotiques seon le mode unaire.
Les sections~\ref{sec:TIPE12} et~\ref{sec:11FCT} ont été publiées
-dans~\cite{bcgr11:ip}.
+dans~\cite{bcg11:ij,bcgr11:ip}.
\section{Systèmes dynamiques chaotiques selon Devaney}
\label{subsec:Devaney}
\chapter{Preuves sur les systèmes chaotiques}
-\section{Continuité de $G_f$ dans $(\mathcal{X}_u,d)$}\label{anx:cont}
-\input{annexecontinuite.tex}
+%\section{Continuité de $G_f$ dans $(\mathcal{X}_u,d)$}\label{anx:cont}
+%\input{annexecontinuite.tex}
-\section{Caractérisation des fonctions $f$ rendant chaotique $G_{f_u}$ dans $(\mathcal{X}_u,d)$}\label{anx:chaos:unaire}
-\input{caracunaire.tex}
-
+%\section{Caractérisation des fonctions $f$ rendant chaotique $G_{f_u}$ dans $(\mathcal{X}_u,d)$}\label{anx:chaos:unaire}
+%\input{caracunaire.tex}
\section{Preuve que $d$ est une distance sur $\mathcal{X}_g$}\label{anx:distance:generalise}
\input{preuveDistanceGeneralisee}
\input{caracgeneralise.tex}
-\section{Théorème~\ref{th:Adrien}}\label{anx:sccg}
+\section{Conditions suffisantes pour un $\textsc{giu}(f)$ fortement connexe \label{anx:sccg}}
\input{annexesccg}
\[
\displaystyle{d_S(S,S')=\frac{9}{{\mathsf{N}}}\sum_{t\in\Nats}\frac{|S_t \Delta S'_t|}{10^{t+1}}}.
\]
-Montrons que $d_S$ est une distance sur $\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})$.
+Montrons que $d_S$ est une distance sur $\mathcal{P}(\{1, \ldots, {\mathsf{N}}\})$ et ainsi
+que $d$ définie à l'equation~(\ref{eq:distance:Xg}) est une distance.
